2.4.1 Задачи

В следующих нескольких .задачах не предполагается, что предпочтения являются неоклассическими (см. пояснения в тексте параграфа).

^ 25. Алина Александровна Алексашенко предложила следующее определение функции полезности: "Будем называть u(-): X ^ R функцией полезности, соответствующей предпочтениям (У, , если для всякой пары альтернатив x, y ? X соотношение x У y выполнено тогда и только тогда, когда u(x) > u(y)".

^ 26. Пусть допустимое множество альтернатив состоит из 4 альтернатив X = {a, b, c, d}. На этом множестве задано следующее нестрогое отношение предпочтения: ^ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (d, c), (b, a), (a, c), (b, c)}. Возможно ли построить функцию полезности, представляющую данные предпочтения? Если нет, то почему? Если да, то постройте ее.

Таблица 2.1. r^J У r^j У У r^j a r^J b У r^j У У c У r^j r^J d У r^J r^J c

a

b

c

a

d

b

^ 27. Для каждой из частей Таблицы 2.1 рассмотрите изображенные предпочтения, предполагая, что ^ = уи~. Ответьте на вопрос предыдущей задачи.

^ 28. Пусть X состоит из n-мерных векторов с неотрицательными компонентами, а нестрогое отношение предпочтения задано следующим образом: x ^ y, если все компоненты вектора x не меньше соответствующих компонент вектора y. Существует ли функция полезности, представляющая эти предпочтения? ^ 29. Рассмотрите предпочтения, заданные на R++:

(Ж1 , Ж2) ^ (yi, ^2) ^ (xi - "2)(yi - ^2) Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ f Z f;

(Ж1,Ж2) ^ (yi,y2) ^ xix2 Z yiy2 ;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ min{xi + x2,yi + y2} Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ min{xi,x2} - min{yi,y2} Z 0;

(xi,x2) ^ (yi,y2) ^ xix2 Z min{yi,y2}.

Какие из них представимы функцией полезности? Попытайтесь записать такую функцию полезности в явном виде.

^ 30. Покажите, что суперпозиция возрастающей функции и функции полезности, представляющей некоторые предпочтения, также является функцией полезности, представляющей эти предпочтения.

^ 31. Какие из нижеприведенных функций могут подходят в качестве преобразования, о котором речь идет в предыдущей задаче, если область значений исходной функции полезности - R+ ?

(a) f (x) = x2; (b) f (x) = x3 + x; (c) f (x) = ^; (d) f (x) = ex. ^ 32. Докажите, что если u(-) и u(-) - две функции полезности, представляющие одни и те же предпочтения, то существует возрастающая функция f (?), такая что u(-) является суперпозицией u(-) и f (?).

^ 33. Для каких из нижеприведенных множеств X можно утверждать, что произвольные неоклассические предпочтения (не обязательно непрерывные), заданные на множестве X могут быть представлены некоторой функцией полезности?

X = { x ? RN | xi - целые числа };

X = { x ? RN | 0 < xi < 1 };

X = RN;

X = R+;

X = { x ? RN | Xi - иррациональные числа };

X = { x ? RN | Xi = a\/2 + b\/3, где a и b - любые рациональные числа }.

^ 34. Покажите, что если неоклассические предпочтения заданы на конечном множестве альтернатив, то в этом множестве существует как наименьшая (наихудшая), так и наибольшая (наилучшая) альтернатива. (Этот факт был использован в доказательстве Теоремы 7.) ^ 35. В Теореме 7 докажите, рассмотрев все возможные случаи, что построенная функция является функцией полезности.

^ 36. Докажите, что если множество кривых безразличия для некоторых неоклассических предпочтений счетно, то существует функция полезности, представляющая эти предпочтения. ^ 37. Пусть X = Xi х X2, где Xi = {1, 2,...}, а X2 - множество всех рациональных чисел между 0 и 1 . Пусть на парах из X введено лексикографическое упорядочение. Докажите, что существует функция полезности, отвечающая этому упорядочению. Запишите ее явную формулу.

^ 38. Борис Бенедиктович Бахвалин на основании полного, транзитивного и непрерывного нестрогого отношения предпочтения построил следующую функцию полезности:

если Xi + X2 ^ 1, иначе.

Покажите, что эта функция не является непрерывной.

^ 40. Покажите, что если функция полезности u(x) непрерывна, то предпочтения, породившие эту функцию полезности, также являются непрерывными.

^ 41. Закончите доказательство Теоремы 8, показав, что для построенных окрестностей Vx и Vy, справедливо, что для любых x' ? VX П X и y' ? Vy П X выполнено x' У y'. ^ 42. Пусть на выпуклом множестве X заданы непрерывные предпочтения, и пусть для наборов x, y ? X выполнено x У y. Докажите, что найдется набор z ? X, такой что x У z У y. ^ 43. Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонны представляемые ею предпочтения.