1.8. Оценка изменения благосостояния.

Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до проведения мероприятий экономической политики и после).

ности потребителя равна v(p°,R°), а при (p1,R1) — v(p1,R1). Если v(p°,R°) < v(p1,R1), то вторая ситуация более благоприятна для потребителя, а если v(p°,R°) > v(p1,R1), то менее благоприятна.

Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений. При этом используются введенные выше денежные функции полезности. Опишем процедуры их использования и возникающие здесь проблемы.

Непрямую функцию полезности можно определить на основе любого «базового» вектора цен q>0. Оценка изменения благосостояния при этом будет равна

АМ(!) = К?, P1,R1) - ^ /Л

Значение Ад(?), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q, и поэтому соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые описываются квазилинейной функцией полезности). В этом случае все меры благосостояния эквивалентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна единице (последнее благо является numeraire), они совпадают.

Покажем это, вычислив Ад(?) для квазилинейной функции полезности u(%1, ..., %) = s(x 1, ..., Xl-1) Y XI, со строго вогнутой дифференцируемой функцией A(.) в предположении, что pi = 1.

Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид

/-1

v(p-i,1,R) = s(%1(p-i), ...,xi-1(p_i)) Y R - ^piXi(p-i).

i= 1

Пользуясь соотношениями двойственности получаем, что функция расходов в случае квазилинейных предпочтений имеет вид e(p, U) = U - s(x~i (p-i)) Y p-i Х-i (p-i).

По определению непрямой денежной функции полезности |l(q,p, R) = e(q,v(p, R)),

Поэтому

|l(q, p, R ) = v(p, R ) - s(x-i (q -i)) Y q — x-i (q -i).

По определению A^(q) имеем, что

A^q) = M(q, P1,R 1) - p\R °) = v(p1,R1 ) - s(x-i (q -)) Y Y q -i x-i (q -i) - v(p°,R °) Y A(X-I (q -i)) - q -i x-i (q -i) = = v(p1,R 1 ) - v(p°,R °).

В общем случае, когда значение A^(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами на выбор вектора q представляются следующие системы цен — цены в первой ситуации (до изменений) — р° и цены после изменений — р1.

Определение 26.

Эквивалентная вариация — это такое изменение дохода, которое позволяет в базовых ценах получить ту же полезность, что и после изменений:

v(p0,R0+EV(p0,R°,p\ R !)) = v(p\ R l).

'/////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Заметим, что д(^0, p1 R 1) = e(p0,v(p1, R 1)) — доход, достаточный для того, чтобы при ценах p обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т.е. при ценах (p1) и доходе R1). Поэтому, если воспользоваться тождеством v(p, e(p,U)) = U можно дать эквивалентной вариации несколько другое определение:

EV(p0, R 0, p1, R 1) = e(p0,v(p1, R 1)) -R 0.

Таким образом, можно определить эквивалентную вариацию в терминах непрямой функции полезности, измеренной в деньгах при q = p°:

EV(p0, R 0,p1, R 1) = д(/, jp1,R 1) - R 0 = д(/,P,R 1) - д^0, p0,R 0).

Определение 27.

Компенсирующая вариация — это такое изменение дохода, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности старой ситуации:

v(p\ R°) = v(p\ R 1 - СУ(р°, R°,p\R 1)).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

По определению денежной непрямой функции полезности дО1,^0,— 0) = e(p1,v(p0, R 0)) — доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т.е. при ценах p° и доходе R0). Поэтому компенсирующую вариацию можно выразить в терминах денежной непрямой функции полезности при q = p1:

CV(p0, R 0, p1, R 1) = R 1 - e(p1,v(p0, R 0)) = R 1 - д(р, p0,R 0) = = д(р, p1,- 1) - д(р, p0,R 0).

Рассмотрим соотношение между этими мерами в простом случае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе последствий налогообложения).

R00=- 1= R,p1 P = Р,...P = P, 1

Обозначим и = v(p , R ), и = v(p , R ).

EV(p0, R 0, Р, R 0) = EV( p0, p1) = e(p,v(p, R1)) - R = e(p0, и1) - R .

Аналогично

CV(p0, R 0, P, R 0) = CV(p0, p1) = R 1 - e(p,v(p, R)) = R - e(p, и0).

Поскольку меняется только цена первого блага, не будем в дальнейшем указывать остальные цены и доход в качестве аргументов соответствующих функций.

Следующий рисунок предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (pi = р = 1).

Рисунок 6. Эквивалентная и компенсирующая вариация при

0 10 1 Ro = Ri = R, p1 > p1r p2 = p2 = 1

Поскольку d (p, u ) = hi(p, u1) (лемма Шепарда для теории потребления), мы dpi

можем записать:

dEV . , , к dCV 0 °

dp Pi) = >1^ u * dp ^ Pi) = - ^^ u ).

Проинтегрируем эти равенства отp доp\: 0

р1

0

р 1

г г 3EV

J1 dp0

j >1(*, u1)^* = j -dj(t, PDdt = EV(p0, ^1) - EV(p1, ^1) = EV(p0, ^1), р1

0

р1

р1 0

р1

. . dCV

j >1(t, u°)dt=- j (p0, t)dt = CV(P0, ^1) - CV(P0, p0) = CV(P0, ^1).

р1 р Таким образом, 0

0

р1 EV(p0, ^1) = j >1(t, u1)dt, CV(p0, P1) = j >1(t, u°)dt. Как известно, изменение потребительского излишка вычисляется по формуле

0

р1

ACS(p0, ^1) = j X1(t)dt.

i р1

В данном случае все три величины положительны:

EV(p0, ^1)>0, CV(p0, ^1)>0, ACS(p0, P1) >0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

>1(p1, u°) < X1 (p) < >1(p1, u1) приp < p1 < p1. Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрируется следующим рисунком.

Докажем эти неравенства формально. Положительность эффекта дохода означает, что при увеличении дохода спрос на благо увеличивается (^R > 0). В разложении Слуцкого

д>-( и0) = др1 (^ь e(pl, и0 ## + %1( ^ь e(pl, и0 )) |R( e(Pl, и0 ## в этом случае %1(р, e(p1, и )) "^R!р, e(p1, и )) > 0. Поэтому ^ 0W ЗЁЬ / 0 чч ч

др(^и # > dp1(^ e(p1,и ## = Эр1(^1),

и

^ 1w / 1 чч m ч

др(и # > др(e(P1,и ## = др1(R) = др(р). Проинтегрируем эти неравенства. Неравенство сохраняется, если нижний предел интегрирования меньше верхнего.

Первое неравенство интегрируем от р до р при р > р у

р р

>l(p?, и0) - >1( и0)=j эр!^ и0)@* > j эр1(*)@*=%1( - %1(

Поскольку >1(р", и ) = %1(р), то >1(р, и ) < %1(р).

pi Pi

г э> г э%

>1( и1) - >1( и1) = j эр1^ и1)@* > j эр1(*)@*=%1( - %1( ^^

р1 1 р1 1

Поскольку >1(р1, и1) = %1(р), то %1(р) < >1(р, и1).

Отсюда получим требуемое неравенство >1(р, и0) < %1(р) < >1(р, и1). Неравенство везде строгое, кроме двух крайних точек.

Интегрируя это неравенство отр до р, получаем, что имеет место соотношение

EV(P, Р) < ACS^j, Р) < CV(P, Р). Следующий рисунок иллюстрирует это соотношение.

I

p . . iAi(pi-m0) po А Чв \ С D Xi(pi) po

o hi(pi'u ^Xi ¦ Рисунок 8. Связь между потребительским излишком и эквивалентной и компенсирующей вариацией

Здесь CV $ S{ACDF),

ACS $ S(ABDF ) (заштрихованная область), EV $ S(ABEF).

Предложенная диаграмма позволяет проиллюстрировать ситуацию с квазилинейными предпочтениями, когда компенсирующая вариация совпадает с эквива-

лентно$. В Этом слуЧае отсутствует Э))ект дохода отсутствует (д- = 0#. Т°Гда и3

уравнения Слуцкого получаем, что h(p,u°) = x(p,R) = h(p,u) и следовательно,

CV(p?, p\) = ACS(pj, p\) = EV(4?, p\).

Таким образом, все три кривые спроса, изображенные на диаграмме, совпадают; следовательно, совпадают и три меры благосостояния.

Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бессмысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.

Предположим, что существуют п потребителей с функциями полезности u(xi) и доходами Ri. Пусть цены изменились с p° до p1. Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т.е.

Ei CVi(/, p1, Ri) > 0. Покажем, что существует такое перераспределение доходов {R/} (EiR/ < ЕЛ), что

Vi(p\ Ri') > Vi(p°, Ri) Vi, то есть возможно компенсировать изменение цен каждому потребителю. По определению компенсирующей вариации имеем, что

CVA = Ei CVi(p°, Ri , p1, Ri ) = Ei (Ri - el(p1,Vl(p°, R))) > 0

Мы можем выбрать R/ так, что R/> e!(p1,v!(p0, Rj)) (достаточно взять R/ = e!(p1,v!- (p0, Rj)) + CVA/ И). Покажем, что в этом случае vJ(p1, Rt') > vj(p0, Rj).

Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством двойственности между vj(.,.) и e^.,.), получим vt(p\ Rj') > v^1, e,Тесты и задачи для самостоятельного решения

Какое из нижеприведенных выражений верно

CV = e(p0, и1) - R

EV = e(p0, и1) - R

CS = e(p0, и1) - R

Какое из нижеприведенных выражений верно

EV = R - e(pb и0)

CV = R - e(pb и0)

CS = R - e(pb и0)

Какое из нижеприведенных выражений является определением эквивалентной вариации

v(p1+EV,R1) = v(p2,-1)

v(p1,-1) = v(p2,R1+EV)

v(p1,R1-EV) = v(p2,-1)

Какое из нижеприведенных выражений является определением компенсирующей вариации

v(p1,-1) = v(p2,-1+CV)

v(pbR1-CV) = v^2,-1+EV)

v(p-CV,R1) = v^2+CV,-1)

Пусть цена одного из товаров возросла, в то время как цены остальных товаров остались неизменными. Если этот товар не является малоценным, то

CV < CS < EV

EV < CS < CV

CV = CS = EV

6. Пусть цена одного из товаров возросла, в то время как цены остальных товаров остались неизменными. Если этот товар является малоценным, то

CV < CS < EV

EV < CS < CV

CV = CS = EV

7. Пусть цена одного из товаров возросла, в то время как цены остальных товаров остались неизменными. Если кроме того отсутствует эффект дохода, то

CV < CS < EV

EV < CS < CV

CV = CS = EV

8. Пусть цена одного из товаров возросла, в то время как цены остальных товаров остались неизменными. Если кроме того функция полезности квазилинейна и этот товар входит в нее нелинейно, то

CV < CS < EV

EV < CS < CV

CV = CS = EV

9. В каком случае при изменении цены только одного блага можно гарантировать, что эквивалентная вариация совпадает с компенсирующей

При квазилинейных предпочтениях

Если функция полезности выпукла

Если блага комплементарные 10. В каком случае при изменении цены что эквивалентная вариация совпадает с

При квазилинейных предпочтениях

Если функция полезности выпукла

Если функция полезности вогнута

только одного блага можно гарантировать, потребительским излишком В каком случае при изменении цены только одного блага можно гарантировать, что компенсирующая вариация совпадает с потребительским излишком

При квазилинейных предпочтениях

Если функция полезности линейна (совершенно заменимые блага)

Если блага комплементарные

Что вы можете сказать о соотношении эквивалентной и компенсирующей вариаций при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Эквивалентная вариация больше с компенсирующей

Эквивалентная вариация меньше с компенсирующей

Эквивалентная вариация совпадает с компенсирующей

Что вы можете сказать о соотношении эквивалентной вариации и потребительского излишка при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Эквивалентная вариация совпадает с потребительским излишком

Эквивалентная вариация больше потребительского излишка

Эквивалентная вариация меньше потребительского излишка

Пусть функция спроса на благо линейна и зависит только от его цены и имеет вид D(p)=20 - 2p. Известно, что цена на него повышается с 2 до 3 денежных единиц, тогда потребительский излишек равен

-15

15

0

Что вы можете сказать о соотношении компенсирующей вариации и потребительского излишка при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Компенсирующая вариация совпадает с потребительским излишком

Компенсирующая вариация больше потребительского излишка

Компенсирующая вариация меньше потребительского излишка

В каком случае при изменении цены одного блага можно гарантировать, что компенсирующая вариация совпадает с потребительским излишком?

Что вы можете сказать о соотношении эквивалентной и компенсирующей вариаций при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Что вы можете сказать о соотношении эквивалентной вариации и потребительского излишка при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Что вы можете сказать о соотношении компенсирующей вариации и потребительского излишка при изменении цены только одного блага, если хиксианский спрос на него совпадает с маршалианским?

Постройте пример, в котором потребительский излишек не является корректной мерой изменения благосостояния при изменении цен. (Подсказка: рассмотрите случай, когда изменяются цены сразу нескольких благ.)

Функция полезности Петрова U(x) = min{x, &}. Его доход - 150 д.е., цена первого и второго блага - 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два раза выше. Петров еще в университете познакомился с поняти-

ем компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?

Функция полезности Петрова ((%) = %&. Его доход — 100 д.е., цена первого и второго блага — 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два раза выше. Петров еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?

Покажите, что чистые потери от количественного налога на благо измеряется величиной - EV - K, где EV — эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увеличением цены блага, а K — поступление от налога.

Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна. Покажите, что если эластичность маршалианского спроса по доходу на первое благо постоянна, то компенсирующая вариация является функций этой эластичности, дохода и потребительного излишка следующего вида:

CV = R ![1 Y ^ ACS] 111 - R 1

2 "l

где ACS = J %1(p,R 1) {41 — изменение потребительского излишка.

25. Покажите, что если непрямая функция полезности имеет вид

v(p,R) = a(p) + 7(p)R, то компенсирующая вариация вычисляется по так называемой формуле Сида:

д%

Р (V д% i

cv=J е-'"2 д- (Р '-)ф x(p,r l)dp.

1 Р

Если к тому же эластичность по доходу П постоянна, то формула Сида имеет вид: R 1 г

CV = — [б - 1].

С использованием этой формулы, докажите, что компенсирующая вариация и потребительский излишек равны в случае квазилинейных предпочтений.

Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе благо — деньги (используемые на приобретение других благ), и функция полезности квазилинейна:

u(x) = ,(x1) + x2.

Пусть, далее, г1 - резервная цена приобретения i-ой единицы первого блага и определяется соотношением

u(i-1, x2 - (i-1)r) = u(i, x2 - ir). (а) Покажите, что если потребитель приобретает п единиц первого блага, то цена p1 на него удовлетворяет соотношению:

Гn ^ Pl > Г„_1.

При каких условиях верно и обратное утверждение?

(в) Покажите, что если ,(0) = 0, то ,(п) $ Ei Г1, а потребительский излишек

CS = ,(п) + R -p1 п совпадает с "чистой" выгодой от приобретения первого блага

(с) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага, (увеличив тем самым потребление второго блага на величину компенсации).

Пусть предпочтения представимы функцией полезности Кобба-Дугласа. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности и вычислите на этой основе их величины при I = 2, R° = R1 = 100, p = (1,1), p1 = (2,1).

В каком случае при изменении цены только одного блага можно гарантировать, что эквивалентная вариация совпадает с компенсирующей?

В каком случае при изменении цены только одного блага можно гарантировать, что эквивалентная вариация совпадает с потребительским излишком?

Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности и вычислите на этой основе их величины при (I = 2, R° = R1 = 100, p = (1,1), p1 = (2,1)), когда...

предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;

блага абсолютно заменимы;

блага комплементарны.

В условиях упражнения 30 проделайте аналогичные вычисления для случая, когда цена на первое благо падает (I = 2, R° = R1 = 100, p° = (2,1), p1 = (1,1)). Сравните результаты вычислений этого и предыдущего упражнений и объясните различия.

Проиллюстрируйте на графике при условиях I = 2, R ° = R 1 = const, p2 = const поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответ-

ствующие фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек когда

(а) предпочтения представимы функцией полезности Кобба-Дугласа; (а) предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности; (а) блага вполне заменимы; (а) блага комплементарны

в случае (I) падения и (II) роста цены первого блага.

33. Пусть / = 2, р = const. Для заданной на плоскости (ж, р) системы кривых спроса Хикса на первое благо изобразите

(а) возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо; (в) соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек при (I) падении и (II) росте цены первого блага.

(с) Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка в разных ситуациях, различающихся типом благ (нормальное-малоценное благо) и характером изменения цен (падение-рост).