Классификация игр

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Весь материал, представленный в теории оптимизации, можно рассматривать как теорию игр с одним игроком. В принципе возможны также игры с бесконечным числом игроков.

Согласно другому принципу классификации — по количеству стратегий — различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода — они могут выбрать «орел» или «решку»). Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями (смысл этого названия будет ясен далее). Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий — так, в ситуации Продавец—Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.

Третий способ классификации игр — по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко — типичные примеры антагонистических игр. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

Формальное представление игр

Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков.

Например, I=(1,2) при игре в орлянку, I = [Продавец, Покупатель] в ситуации монополия — монопсония, I ={1, 2,..., п] в случае анализа результатов голосования в парламенте.

Множество стратегий игрока i обозначим через Xi. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Хi = {0рел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против]. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на. продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них Xi: Pi > 0.

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию хi в результате чего складывается набор стратегий х={х1, х2,..., хn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в парламенте описывает список [За, За, Против, За,...}, полученный в итоге проведенного голосования.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(х), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока г называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Hi.

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы — стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций.

Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят Орел или оба говорят Решка, 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1-й игрок проигрывает 1 рубль, а 2-й игрок соответственно этот 1 рубль выигрывает.

В итоге матрица выигрышей 1-го игрока Я, выглядит следующим образом:

Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение H1 ==-H2. Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.

Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление о всей игре:

В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа — значения выигрыша 2-го игрока.

Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с ненулевой суммой, называемой в литературе по теории игр дилеммой заключенного. Содержание игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет.

Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:

Приведем, наконец, пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену р,, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределят свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П1(р1, р2) будет иметь вид

Аналогично выглядит функция выигрыша второй фирмы П2(р1, р2).

Довольно часто экономические субъекты сталкиваются с потоком требований на обслуживание, поступающих в экономические системы обслуживания, например, от клиентов, которые надо выполнять, что связано с такими параметрами, как длительность ожидания и длины очередей и т.п., и их зависимостью от правил обслуживания: При этом рациональным выбором структуры экономической системы обслуживания и процесса обслуживания занимается теория массового обслуживания.