14.3. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.
14.3.1. Графическое решение игр 2?п. Рассмотрим игру 2?п, в которой игрок А имеет две стратегии.
Игра предполагает, что игрок А смешивает стратегии А1 и А2 с соответствующими вероятностями p1=р и p2=1-p, 0?p?1. Игрок В смешивает стратегии В1, B2, ..., Вп с вероятностями q1, q2, …, qп, где
| qj?0,j=1,2,...,п, и  =1. В этом случае ожидаемый выигрыш игрока А, соответствующий j-й чистой |
стратегии игрока В, вычисляется в виде
w=(а1j-а2j)p+а2j, j=1,2,...,п. (11)
На плоскости (p, w) эти уравнения описывают прямые. Тем самым каждой чистой стратегии игрока В на этой плоскости соответствует своя прямая. Поэтому сначала на плоскости (р, w) последовательно рисуются все прямые (11) (рис. 1). Затем для каждого значения р,
 | 0?р?1, путем визуального срав-нения соответствующих ему значений w на каждой из по-строенных прямых определяет-ся и отмечается наименьшее из них. В результате описанной процедуры получается лома-ная, которая и является графи-ком функции (1) (жирная линия на рис. 4). |
Эта ломаная огибает снизу все семейство построенных прямых, и поэтому называется нижней огибающей этого семейства. Абсциссой верхней точки полученной ломаной будет значение р*, определяющее оптимальную смешанную стратегию игрока А, а ординатой ? – цена игры (рис. 1).
Пример 6. Рассмотрим следующую игру 2?3:
| ¦ Игра не имеет решения в чистых стратегиях (?=2, ?=3), и, следовательно, стратегии должны быть смешанными. Ожидаемые выигрыши игрока |
А, wА, соответствующие чистым стратегиям игрока В, приведены в следующей таблице.
| На рис. 2 изображены три прямые линии, соответствующие чистым стратегиям игрока В. Чтобы определить наилучший результат из наихудших, построена нижняя огибающая трех |
указанных прямых (изображенная на рисунке толстыми линейными сегментами), которая представляет минимальный (наихудший) выигрыш для игрока А независимо от того, что делает игрок В. Максимум (наилучшее) нижней огибающей соответствует максиминному решению в точке 
=0,5. Это значение определяется из уравнения 2+p=6-7p, отвечающего пересечению прямых 2 и 3.
v=
 | Оптимальная смешанная стратегия игрока В опреде-ляется двумя стратегиями, которые определяют ниж-нюю огибающую графика. Это значит, что игрок В мо-жет смешивать стратегии B2 и В3, в этом случае q1=0 и q3=1-q2=1-q. |
Следовательно, ожидаемые платежи игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока А, имеют следующий вид.
| Наилучшее решение из наихудших для игрока В представляет собой точку минимума верхней огибаю-щей заданных двух прямых. Эта процедура эквивалент- |
на решению уравнения -1+4q=6-4q. Его решением будет q=7/8, что определяет цену игры v=-1+4?(7/8)=5/2. Таким образом, решением игры для игрока А является смешивание стратегий A1 и А2 с равными вероятностями 0,5 и 0,5, а для игрока В – смешивание стратегий В2 и В3 с вероятностями 7/8 и 1/8: v=5/2, р*=(?; ?) и q*=(0; 7/8; 1/8). ?
Еще по теме 14.3. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.:
- 14.3.2. Графическое решение игр m?2.
- 1.11. Дополнение. Решение биматричных игр 2x2
- 14.2. Чистые и смешанные стратегии и их свойства.
- 3.2. Альтернативный взгляд на смешанные стратегии
- Вопрос 11. Теория игр: игроки, стратегии, выигрыши
- 1.7. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях
- 16.2.5 Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
- Равновесие Нэша в смешанных стратегиях
- Глава 25 Смешанные стратегии на основе собственного капитала
- Алгоритм принятия управленческого решения по выбору антикризисной стратегии развития некоммерческой организации
- 14.3.3. Приведение матричной игры т?п к задаче линейного программирования.
- Матричный менеджмент: организационные структуры нашего времени
- 21.3. Матричная алгебра в бухгалтерском учете на персональном компьютере
- Проектные и матричные структуры