14.3.2. Графическое решение игр m?2.

.

Анализ такой игры во многом напоминает рассуждения, описанные для игры 2?п.

Пусть q=(q, 1-q) – произвольная смешанная стратегия игрока В. Если игрок А выбирает i-ю чистую стратегию, i=1,2,..., т, то средний выигрыш игрока В в ситуации {i,q} будет равным

w=ai1q+ai2(l-q), i=1, 2,..., т.                               (12)

Зависимость этого выигрыша от переменной q описывается прямой. Графиком функции (ai1q+ai2(l-q)) является верхняя огибающая семейства прямых (12), соответствующих чистым стратегиям игрока А (рис. 3). Абсциссой нижней точки полученной ломаной будет значение q*, определяющее оптимальную смешанную стратегию иг-

рока В, а ординатой ? – цена игры. Отыскание оптимальной сме-шанной стратегии игрока А проводится по той же схеме, которая позволяет находить оп-тимальную смешанную страте-гию игрока В в игре 2?п. Рас-смотрим конкретный пример.

Пример 7. Игра 3?2 задана матрицей .

¦ Нижняя цена игры равна 0, верхняя – равна 3. Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях. Ожидаемые выигрыши игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока A, приведены в следующей таблице.

(2). Решая уравнение -1+4q=3-4q, получаем q*=, ?=1.

Оптимальная смешанная стратегия игрока А определя-ется двумя стратегиями, кото-рые определяют нижнюю оги-бающую графика. Это значит, что игрок А может смешивать стратегии А1 и А2, в этом слу-чае р3=0 и р2=1-р1=1-р. Сле-довательно, ожидаемые пла-

тежи игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, имеют следующий вид.

и находим р*=1/2.

Таким образом, цена игры и оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно равны:

v=1, р*=(, , 0), q*=(, ).                                                          ?