15.2. Первая задача ПП. Графический метод решения.

Пример 1. Предприятие должно выпустить два вида продукции Р1 и Р2, для изготовления которых используется три вида сырья I, II и III. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы продукции каждого вида, запасы сырья каждого вида приведены в таблице.

При этом цена единицы продукции может изменяться для изделия Р1 от 2 до 12 руб., а для изделия Р2 – от 13 до 3 руб. Эти изменения мож-

но определить соотношениями с1=2+t, с2=13-t, t??0;10?. Для каждого из возможных значений цены единицы продукции каждого вида необходимо найти такой план их производства, при котором общая стоимость выпущенной продукции будет максимальной. ¦ Введем неизвестные пере-менные этой задачи. Пусть х1 – количество изделий Р1, а х2 – количество изделий Р2, изготов-ленные предприятием. Тогда со-ответствующая задача ЛП имеет

Рис.1

вид:

z=(2+t)х1+(13-t)х2?max,                   (13)

                                 4х1+х2?16,

2х1+2х2?22,                                       (14)

                                 6х1+3х2?36,

                                  х1?0, х2?0, t??0;10?.

Для нахождения решения задачи (13), (14) построим ОДР, определяемую неравенствами (14) (рис.1, пятиугольник ОАВСD). После этого, полагая t=0, строим прямую 2х1+13х2=26 (число 26 выбрано из удобств построения графика) и вектор с1(2;13). Передвигая эту прямую в положительном направлении вектора с1, видим, что последней общей точкой ее с ОДР – пятиугольником ОАВСD– является точка А(0;11). Следовательно, задача (13) – (14) при t=0 имеет оптимальный план (0;11).

Т.о., если цена единицы продукции вида Р1 с1=2+0=2 руб., а цена единицы продукции вида Р2 с2=13-0=13 руб., то оптимальным планом производства является план, при котором не производятся изделия вида Р1 и производится 11 изделий вида Р2. При таком плане производства продукции ее суммарная стоимость максимальна и равна zmax=143 руб.

Пусть теперь t равно, например, 2. Построим прямую (2+2)х1+(13-2)х2=4х1+11х2=44 (число 44 выбрано из удобств построения графика) и вектор с2(4;11). Передвигая эту прямую в положительном направлении вектора с2, видим, что последней общей точкой ее с ОДР ОАВСD является также точка А(0;11). Следовательно, задача (13) – (14) при t=2 имеет оптимальный план (0;11). Т.о., если цена единицы продукции вида Р1 с1=2+2=4 руб., а цена единицы продукции вида Р2 с2=13-2=11 руб., то оптимальным планом производства по-прежнему является план, при котором не производятся изделия вида Р1 и производится 11 изделий вида Р2. При таком плане производства продукции ее суммарная стоимость максимальна и равна zmax=4·0+11·11=121 руб.

Как видно из рис.1, такой план производства будет оставаться оптимальным для всякого значения t, пока прямая (2+t)х1+(13-t)х2=h (h – произвольная константа) не станет параллельной прямой 2х1+2х2=22. Для этого, как известно, должно выполняться следующее условие:

,

откуда t=5,5.

Возьмем теперь tgt;5,5, например, t=6 и найдем решение задачи (13) – (14). Строим прямую (2+6)х1+(13-6)х2=8х1+7х2=56 (число 56 выбрано из удобств построения графика) и вектор с3(8;7). Передвигая эту прямую в положительном направлении вектора с3, видим, что последней общей точкой ее с ОДР является точка В(1;10). Следовательно, при t=6 имеем оптимальный план (1;10), т.е. при с1=2+6=8 руб., с2=13-6=7 руб. имеем zmax=8·1+7·10=78 руб.

Как видно из рис.1, план (1;10) является оптимальным до тех пор, пока прямая (2+t)х1+(13-t)х2=h (h – произвольная константа) не станет параллельной прямой 6х1+3х2=36. Это произойдет тогда, когда , т.е. при t=8. При этом значении t координаты любой точки отрезка ВС дают оптимальный план задачи (13) – (14). Т.о., для любого значения t из промежутка 5,5?t?8 задача имеет оптимальный план (1;10), при котором значение целевой функции составляет zmax=(2+t)·1+(13-t)·10=132-9t руб.

Используя рис.1 и проводя аналогичные рассуждения, получим, что для любого значения t из промежутка 8?t?10 задача имеет оптимальный план (2;8). Это означает, что если цена единицы продукции вида Р1 заключена между 10 и 12 руб., а цена единицы продукции вида Р2 между 3 и 5 руб., то оптимальным планом производства является план, при котором производится 2 единицы изделия вида Р1 и 12 единиц изделия вида Р2. При таком плане производства продукции ее суммарная стоимость для любого значения t из промежутка 8?t?10 составляет zmax=108-6t руб. Следовательно, получаем следующее решение задачи:

при 0?t?5,5 оптимальный план (0;11), zmax=143-11t руб.;

при 5,5?t?8 оптимальный план (1;10), zmax=132-9t руб.;

при 8?t?10 оптимальный план (2;8), zmax=108-6t руб.               ?