Задачи на условный экстремум

В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное значение f(x10,x20) функции y=f(x1 ,x2) в точке (x10,x20) с частными значениями f (x1, x2) этой функции во всех точках (x1, x2), близких к точке (x10,x20).

Рассмотрим теперь другую задачу. Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции у •= f(x1, x2) при условии, что независимые переменные х1 и х2 удовлетворяют ограничению g(x1, x2)=0 в виде равенства, т.е.

Задача (9.4.1), (9.4.2) называется задачей на условный локальный максимум (минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные x1 и x2 удовлетворяют условию (ограничению) (9.4.2). Вместо двух терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин экстремум. В задаче (9.4.1), (9.4.2) на условный экстремум функцию f(x1, x2) принято называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема производства при фиксированных затратах). Функцию g называют функцией, задающей ограничение, или функцией связи.

Уравнение (9.4.2) есть уравнение нулевой линии (точнее множества) уровня функции g(x1, x2), ибо g(x1, x2)=r, где г=0. Поэтому задачу на условный локальный максимум (минимум) можно еще сформулировать так: среди точек нулевой линии уровня функции У = g(x1, x2) найти точку (х10,х20), в которой частное значение f (x10, x20) функции у -=- f (x1, x2) больше (или меньше) ее частных значений f (x1, x2) в остальных точках (x1, x2) этой линии, близких к точке (x10, x20) (см. рис. 9.4.1). Точка (x10, x20) называется точкой условного локального максимума (минимума) функции f (x1, x2), само частное значение f (x10, x20) — условным локальным максимумом (минимумом) функции f (x1, x2) при наличии ограничения g f (x1, x2) = 0.

Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном пространстве (рис. 9.4.2).

Точка (x1*, x2*) — точка абсолютного локального максимума функции (x1, x2), ибо точка (x1*, x2*; f (x1*, x2*) —локальная (т.е. местная) «макушка» графика Г f этой функции f (x1, x2). Точка f (x10, x20) —точка условного локального максимума функций f (x1, x2), ибо точка (x10, x20 f; (x10, x20) —самая высокая точка «тропинки» L, которая проходит через «перевал» графика Г f На рис. 9.4.2 четко видно, что точка (x10, x20; f (x10, x20)) «макушкой» не является т.е. точка (x10, x20) условного локального максимума может не быть точкой безусловного локального максимума. Линия g(x1, x2)=0 есть проекция «тропинки» L на координатную плоскость Ох1x2.

Отметиим, что если известен график Г f, функции f (x1, x2 двух переменных, x1, и х2, то, глядя на него., можно сразу понять, есть ли точки абсолютного и условного локального экстремума или какие-то из них (а, возможно, все) отсутствуют.

В случае, если графика Гf нет, точки абсолютного локального экстремума отыскиваются с помощью формального анализа функции у == f (x1, x2).

Существует формальный метод отыскания точек условного локального экстремума, для использования которого также не требуется знания графика Гf. .функции y= f (x1, x2) и графика уравнения g (x1, x2) = 0. Этот метод называется методом Лагранжа.

Если значение f (x10, x20) функции f (x1, x2) больше (меньше) значений f (x1, x2) этой функции во всех точках (x1, x2) линии g (x1, x2)=0, то значение f (x10, x20) называется условньм глобальным максимумом (минимумом) функции f (x1, x2) при наличии ограничения g (x1, x2)=0, а точка (x10, x20) — точкой условного глобального максимума (минимума) функции f (x1, x2).

Точка условного глобального максимума (минимума) функции f (x1, x2) является точкой условного локального максимума (минимума) этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно,. На рис. 9.4.2 точка (x10, x20) является точкой не только локального, но и глобального условного максимума функции f (x1, x2) при наличии ограничения g (x1, x2)=Q.

В случае функции f (x1…… xn) п независимых переменных х1...хn задача на условный максимум (минимум) формулируется так:

Если частное значение f (x10,.. xn0) сравниваются со значениями f (x1,.. xn) в точках. (х1...xn), удовлетворяющих уравнениям (9.4.4) и близких к точке (х1° ...хn°), то имеем задачу на условный локальный экстремум (максимум или минимум) функции f (x1,.. xn).

Если значение f (x10,.. xn0) сравнивается с значениями во всех точках (x1,.. xn), удовлетворяющих уравнениям (9.4.4), то имеем задачу на условный глобальный экстремум (максимум или минимум) функции f (x1,.. xn).

Теория условного экстремума активно используется в микро- и макроэкономической теории. В задачах этой теории обычно локальный условный экстремум является также и глобальным условным экстремумом.

В конце XVIII века Лагранж предложил остроумный метод решения задачи (9.4.1), (9.4.2) на условный экстремум, в котором не следует прибегать к разрешению уравнения (9.4.2) относительно одной переменной при фиксированной другой переменной. В этом методе число независимых переменных не сокращается, а, наоборот, растет.

Метод Лагранжа позволяет решать не только задачи вида (9.4.1), (9.4.2), но более общие задачи вида (9.4.3), (9.4.4).l

Отображение экономического пространства с помощью элементов сетевого планирования, представляющих собой совокупность математических методов, использующих сетевую модель как основную форму представления информации об управляемом комплексе экономических действий, позволяет повысить качество планирования и управления в экономической сфере, дает возможность четко координировать действия всех экономических субъектов.