Страхование

Страхование — это социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические потери, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами.

Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ уменьшения потерь от неопределенностей — это объединение отдельных людей и организаций в страховые сообщества, поскольку трудно предсказать время, место и характер событий, способных повлиять на экономическое состояние индивидуумов, вместе с тем, по закону больших чисел, средние (или суммарные) потери большой группы индивидуумов предсказать можно.

Иными словами, страхование заменяет неопределенность будущих возможных потерь вполне определенными (относительно небольшими) разовыми выплатами в определенные моменты.

Первые формы страхования представляли собой страхование морских грузов и датируются примерно четвертым тысячелетием до н. э., зарождение страхования жизни относится примерно к 600 г. до н. э.

Довольно быстро страховые сообщества трансформировались в страховые компании, извлекающие прибыль из страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские страховщики стали собираться в кофейном магазине британца Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским перевозкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально утверждена Королевским указом, а в 1871 г. — зарегистрирована Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют (кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пианистов, зубы фотомоделей, приемы для гостей на открытом воздухе от потерь в ненастье и т.

В России первая страховая компания, «Страховое акционерное общество от огня», была организована в Сибири в 1827 г. В 1835 г. появилось «Российское общество страхования капиталов и доходов», которое занималось страхованием жизни и финансовых операций.

По договору страхования (или страховому полису) одна сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщику) определенную денежную сумму (страховую премию), и за это страховщик гарантирует возмещение возможных убытков страхователя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса состоит в том, что страхователь подвержен определенному риску (который заключается в возможном наступлении некоторого страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а задачей страховщика является предоставление такой защиты.

В качестве страхового случая может выступать болезнь, смерть, автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря финансовых средств при неблагоприятно складывающейся рыночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у балерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п.

В страховом полисе указываются срок его действия, условия и способ возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование гражданской ответственности водителя транспортного средства обычно указывается, что если в момент наступления страхового случая (при аварии) водитель находился в состоянии алкогольного опьянения, то страховщик ответственности по полису не несет. Если в указанный в полисе срок страховой случай не наступил, страхователь теряет уплаченную премию.

Таким образом, страхование представляет собой еще одну схему переноса риска — разделение риска между большой группой страхователей. Три схемы переноса риска (диверсификация, хеджирование и страхование) в определенном смысле эквивалентны: мы чем-то жертвуем сегодня в обмен на возрастание определенности будущих потоков платежей: при диверсификации мы вкладываем часть денег в безрисковый актив, при хеджировании мы обычно покупаем производный финансовый инструмент, при страховании мы оплачиваем договор страхования.

Рассмотрим простейшую модель страхования, предложенную Т.

а клиент пойдет на страхование, только если

Пусть с₁ — наименьшее число с, для которого верно (9.5.1), а с₂ — наибольшее из чисел с, для которых верно (9.5.2). Еслито

страхование невозможно. Если жето возникает проблема

выбора с из отрезкаЕсли страховая компания является мо

нополистом, она, естественно, установит с = с₂. При наличии конкуренции (или при государственном контроле за страхованием) с будет близко к с₁.

Наибольшее развитие получило страхование жизни. Математические модели такого страхования мы и рассмотрим ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть обязательным (в силу действия определенного закона) или добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или долгосрочным.

Основным источником случайности в страховании жизни является неопределенность момента смерти отдельного человека. Однако в случае, когда одновременно у одного и того же страховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, типу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в силу закона больших чисел можно говорить об устойчивости относительных частот и рассматривать продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину X с функцией распределения.

равна вероятности того, что человек из данной однородной группы проживет не менее x лет. Функция выживания (9.5.3) предполагается монотонно убывающей (иначе в определенных интервалах времени смерть будет невозможна) и непрерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть наступает с положительной вероятностью). Кроме того, функция выживания (9.5.3) должна удовлетворять всем свойствам, которые следуют из того, что F(x) = 1 — s(x) является функцией распределения случайной величины X.

Пусть

остаточное время жизни человека в возрасте x лет. Символом

обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще не менее t лет.

По определению условной вероятности

В таблицах продолжительности жизни рассматривается группа новорожденных одного пола, проживающих в одинаковой местности, в количествечел. Пусть продолжительность

жизни k-го человека из данной группы₀ Количество

доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах продолжительности жизни приводится математическое ожидание случайной величины L(x):

Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведен в табл. 9.5.1.

Таблица 9.5.1

Фрагмент таблицы продолжительности жизни городского населения Российской Федерации в 1993 г.

Простейший вид краткосрочного страхования жизни заключается в следующем. Страхователь (некоторый человек) платит страховщику (страховой компании) страховую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается выплатить наследникам страхователя страховую выплату (или страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года (и не платить ничего в противном случае).

Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много больше страховой премии.

Пример 9.5.1. Вероятность смерти тридцатилетнего мужчины составляет 0,006. Страховая компания заключила 10 000 договоров страхования с мужчинами в возрасте тридцати лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица в течение ближайшего года его наследникам в конце этого года выплачивается 120 000 руб. Стоимость одного договора равна 1200 руб., а годовая ставка по банковским депозитам равна 20%. Каковы вероятности следующих событий: а) к концу года страховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компании превысит 4 000 000 руб.?

Решение. Пусть за год наступило K страховых случаев, тогда доход страховой компании составит

Поэтому компания окажется в убытке (U < 0), если за год наступит более 120 страховых случаев (т. е. от 121 до 10 000). Доход страховой компании пре-

высит 4 000 000 руб. (U > 4 000 000), если за год наступит менее 80 страховых случаев. Вероятность наступления страхового случая p_x = 0,006. Всего проводится п = 10 000 испытаний. Поскольку число испытаний т велико, можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра — Лапласа:

т. е. страховая компания окажется в убытке с нулевой вероятностью;

значит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятностью 0,995, очень близкой к единице, т. е. почти наверное. ?

Одной из важнейших задач актуарной математики является вычисление соотношений между страховой выплатой b и страховой премией с.

Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного возраста (х лет), проживающим в одинаковой местности, п договоров страхования, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна с ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

В общем случае страховщик получит доход, не меньший и, если разность U между суммарной страховой премией и суммарными страховыми выплатами за год окажется не менее и.

Суммарная страховая премия, которую получит страховщик от всех n страхователей, равна, очевидно, C = пс ден. ед. Пусть за год наступит K страховых случаев (умрет K человек из п страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты составят B = Kb ден. ед. Приведя их к настоящему времени [умножив на коэффициент дисконтированияполучим, что искомая вероятность

Вероятность того, что любой страхователь, случайно выбранный из n человек, которые приобрели полисы, умрет в течение ближайшего года, можно найти по таблице продолжительности жизни для данной социальной группы:

где_х — количество доживших до возраста х.

При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и можно рассмотреть биномиальную случайную величину .—

количество смертей в группе из n страхователей. Приможно

воспользоваться интегральной теоремой Муавра — Лапласа, согласно которой

В частности,

Напомним, что в пакете Microsoft Excel для вычислений по формуле (9.5.4) можно воспользоваться функцией

Определим такое соотношение между страховой выплатой b и страховой премией c на один договор, чтобы с вероятностью у, близкой к единице, обеспечить страховой компании доход, не меньший и. При этом, поэтому по формуле (9.5.4) получим, что

где

Если— квантиль уровня а стандартного нормального распределения N(0; 1), то

или

Естественно, в реальных страховых компаниях стоимость договора страхования складывается из теоретической оценки страховой премии (9.5.8) и оценки средних транзакционных издержек на один договор. Первое из этих слагаемых одинаково для всех страховых компаний, действующих на одном рынке, и компания может обеспечить конкурентоспособность своих страховых продуктов только за счет снижения транзакционных издержек.