РАВНОВЕСИЕ В БЕЗОПАСНЫХ СТРАТЕГИЯХ И МНОЖЕСТВО НАИЛУЧШИХ БЕЗОПАСНЫХ ОТВЕТОВ В МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ ХОТЕЛЛИНГА

М.Б. Искаков,

А.Б. Искаков

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Работа посвящена исследованию классической теоретической задачи про­странственно распределенной конкуренции, поставленной Хотеллингом в 1929 г.

Рассматривается отрезок [A, В] длины l.Это может быть улица в городе, береговая линия, автомагистраль, а также некоторая линейка свойств товара предлагаемого на рынке, для моделей монополистической конкуренции. На нем равномерно распределены покупатели с некоторой плотностью, которую без потери общности можно считать единичной. На расстоянии а и bот концов от­резка в точках x₁, x₂(x₁≤ x₂) расположены магазины игроков 1 и 2, предлагаю­щие одинаковый товар по ценам p₁, p₂. Расстояние между магазинами обо­значается d = l — а — b. Каждый покупатель тратит на транспортировку товара до дома некоторую цену на единицу длины, которая, также без потери общно­сти, считается единичной. При постановке задачи с неэластичным спросом по­купатель всегда покупает единицу товара. При постановке задачи с эластично­

стью спроса единица товара приобретается покупателем, находящимся в неко­торой точке отрезка, если сумма цены и транспортных расходов до этой точки не превосходит единичной полезности, хотя бы для одного магазина. Все по­требители не имеют никаких предпочтений по выбору продавца, кроме как по сумме стоимости товара и затрат на транспортировку. Таким образом, объемы проданного товара q₁ q₂равны длине отрезков, на которых расположены по­купатели, выбравшие тот или иной магазин.

Исследуется равновесие, совершенное по подыграм в динамической иг­ре, которая проходит в два шага.

Шаг 1. Продавцы определяют точки своего расположения a, b, (a + b ≤ /).

Шаг 2. Продавцы определяют цену на свой товар p₁, p₂.

Целевая функция игрока-продавца 1:

Целевая функция игрока 2 выписывается симметрично.

Основная сложность, обнаружившаяся при исследовании модели Хотел­линга, - отсутствие равновесий Нэша в игре установления цен для многих слу­чаев расположения магазинов продавцов, предлагающих товар [D'aspremont et al., 1979]. В работе [D'aspremont et al., 1979], посвященной полностью модели Хотеллинга, определены условия существования равновесия Нэша.

Если рассмотреть игру установления цен при фиксированных местополо­жениях игроков, то при несовпадающих x₁≠ X₂каждый игрок может, назна­чив достаточно низкие цены, обеспечить себе положительный выигрыш неза­висимо от стратегии конкурента. Однако при некоторых местоположениях ма­газинов не существует равновесия Нэша в игре цен потому, что в локальном равновесии, найденном Хотеллингом, возникает следующая ситуация. По край­ней мере один из игроков может, опустив цены относительно данного равнове­

сия, полностью завладеть рынком и получить при этом дополнительную при­быль. Поскольку при реализации этой угрозы одним игроком второй теряет все и получает наихудший результат из возможных, естественно предположить, что рациональной стратегией в областях несуществования равновесия Нэша будет стремление к наибольшему выигрышу при исключении возможности указанно­го наихудшего результата игры. Именно эта логика поведения заложена в идее равновесия в безопасных стратегиях, впервые предложенного в работе [Иска­ков, 2005]. Применительно к игре цен в задаче Хотеллинга его можно рассмат­ривать как демпинговое ценовое равновесие[Iskakov et al., 2011].

І ‘

Если множество равновесий Нэша обозначить M_ne,а множество РБС - M_sse,то справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.Обратное вложение множеств — не­

верно.

Решение подыгры цен ищется как подмножество множества наилучших безопасных ответов игры. Для этого последовательно строятся: множество си­туаций игры безопасных для всех игроков, функции наилучших безопасных ответов, множество наилучших безопасных ответов, для элементов которого проверяется выполнение определения РБС. После того, как определено реше­ние подыгры цен, исследование подыгры расположений не встречает теорети­ческих сложностей. Для случая неэластичного спроса решение игры в безопас­ных стратегиях представлено в работе [Iskakov et al., 2011]. Приведем решение задачи для обоих случаев.

Для доказательства существования РБС в игре цен сначала сузим область поиска, выделив множество, в котором все стратегии безопасны и в пределах которого должны находиться решения задачи, если они существуют. Согласно теореме 1, в ситуации РБС выбор каждого игрока - наилучший безопасный ответ на выбор конкурентов. Поэтому, чтобы найти РБС в ценовой игре Хотеллинга, требуется проанализировать, какие угрозы игрокам возникают при выборе цен и какие соответственно профили являются безопасными. Угрозу сопернику могут представлять только изменения игроком цены в сторону уменьшения. Угроза может представлять одну из трех ситуаций: появление отсутствующего на рынке («вытесненного») продавца, расширение уже существующей покупательской зоны, которая может быть связана с полным вытеснением соперника либо без такого вытеснения.

Теорема 2. Пусть задана игровая задача определения цен с эластичным спросомзначения u_iопределяются (1).

Тогда множество профилей, безопасных для обоих игроков, Mss, задается системой неравенств:

Любое решение игры в смысле РБС принадлежит множеству Mss■

Неравенства в (3) имеют понятный экономический смысл. Значение пер­вых двух неравенств было раскрыто еще самим Хотеллингом. Они исключают для игроков возможность потерь в ходе конкурентной борьбы, когда сопернику выгодно понизить цену и увеличить свой объем продаж. Третье и четвертое ус­ловия исключают для игроков ситуацию вытеснения, когда конкуренту стано­вится выгодно понизить цену настолько, чтобы захватить весь рынок. Эти ус­ловия используются в работе [D'aspremont et al., 1979], чтобы найти ограничения для решения, полученного Хотеллингом. Однако вопрос о том, каким будет со­держательное решение, когда третье или четвертое ограничения становятся клю­чевыми, до настоящего времени остается открытым.

Для случая неэластичного спроса можно заметить, что на множестве M_ssцелевые функции каждого игрока возрастают по его цене. Поэтому наи­лучшие безопасные ответы будут располагаться на верхней границе множества M_ssпо их стратегиям (ценам). Подставляя в (3) значения целевых функций, соответствующие этому случаю, получаем систему неравенств:

Решение системы дает формулы равновесия ценовой игры.

Теорема 3. Игровая задачагде u_iопре­

деляются (1), имеет следующее единственное решение в смысле РБС для любых допустимых значений параметров

равновесные цены и выигрыши:

при решении подыгры первого шага сложностей принципиального ха­рактера не возникает, применяется обычное равновесие Нэша. Решение игры расположений для неэластичной задачи следующее.

Других равновесий Нэша в игре нет.

Случай эластичного спроса. Рассмотрим более подробно множество ^MSS и ограничивающие его условия безопасности (3). Первые два неравенства задают условия безопасности от частичного сокращения покупательской зоны. Это ус­ловие ограничивает множество M_ssсверху функцией наилучшего ответа.

Лемма 1. Функция наилучшего ответа в игре

где u_iзадаются (1), (2), BR_i(p_-i) определяется следующей формулой:

Вторые два неравенства задают условия безопасности игрока от полного вытеснения с рынка или от демпинга. Эти условия ограничивают цены сверху функцией, которую можно обозначить как функцию демпинга. Введем следую­щие обозначения:

Лемма 2. Для профиляусловие безопасности от полного

вытеснения в ценовой игре с эластичным спросом (1), (2) можно записать в формегде функции ограничения безопасности от вытеснения

однозначно определены и непрерывны для всех

Функция наилучшего безопасного ответа определяется объединением двух ограничений - функции наилучшего ответа и функции демпинга.

Полученные вспомогательные утверждения дают возможность доказать существование решения в безопасных стратегиях в игре цен для задачи Хо­теллинга с эластичным спросом.

Таким образом, решение задачи ценовой игры сводится к решению систе­мы уравнений (6) с подстановкой значений функций (4), (5), (6). Используемые функции наилучшего ответа и демпинговых цен являются кусочно-непрерыв­ными. Поэтому решение системы уравнений (зависящее от трех пространствен­ных параметров a, bи d) распадается на мозаику из большого количества (бо­лее 60) непрерывных кусочков. Возможные варианты решения распадаются на пять классов решений.

В первом случае уравнения задают такую игровую ситуацию, в которой для каждого игрока текущий выигрыш (в правых частях уравнений) равен его выиг­рышу при стратегии вытеснения соперника (в левых частях). Это означает, что при заданных пространственных параметрах (a, b, d) в точке решения (p₁*, p2) функции наилучшего безопасного ответа совпадают с функциями демпинговых цен. Система двух уравнений при выполнении ограничений имеет единствен­ное решение. Данный случай можно определить как двустороннее РБС или равновесие взаимного сдерживания, так как требование безопасности страте­гий ограничивает обоих игроков. Обозначим его как ^-решение.

Во втором случае уравнения задают такой игровой профиль, в котором стратегия игрока 1 (или 2) является наилучшим ответом. Одновременно его вы­игрыши в данном профиле и при стратегии вытеснения соперника одинаковы. Это означает, что при заданных пространственных параметрах (a, b, d) в точке решения (p₁^*, p₂^*) функции наилучшего безопасного ответа совпадают с функ­

цией демпинговых цен для одного уравнения и с функцией наилучшего ответа для другого. Система из двух уравнений при выполнении ограничений имеет единственное решение. Этот случай можно рассматривать как одностороннее РБС или равновесие одностороннего сдерживания, так как угрозы ограничи­вают действие только одного игрока из двух. Обозначим его как Ul-решение.

В оставшихся трех случаях функции наилучшего безопасного ответа сов­падают с функциями наилучшего ответа. Равновесие Хотеллинга, эквивалент­ное исследовавшимся до сих пор в других работах решениям задачи с неэла­стичным спросом, обозначается как H-решение. Условием равновесия отрыва является нулевая полезность покупателя, находящегося на границе покупатель­ских зон магазинов. Его можно интерпретировать как ценовое равновесие с разделом сфер влияния. Особенностью этого решения является его неединст­венность. Множество таких равновесий обозначим как B-решение. Наконец, не­зависимое равновесие, тот вырожденный случай, при котором покупательские зоны не соприкасаются, обозначается как I-решение.

Общее решение игровой задачи цен можно записать следующим образом.

задача имеет множественные B-решения:

и2-решение. В общем случае решение системы сводится к решению урав­нения иегпеггтй степени. Было доказано, что для таких решений всегда выполня­ется Из этого следует, что в двухшаговой игре расположений ни од­на точкакоторой соответствует в качестве решения ценовой игры дву­

стороннее РБС, не будет пространственным равновесием. Поэтому можно не выписывать его аналитическое решение, а когда это потребуется, решать сис­тему численно.

Итак, были найдены решения ценовой игры Хотеллинга для произволь­ных расположений (a, b, d) или (a, b, l). Это позволяет сформулировать задачу и найти решения для двухшаговой игры расположений Хотеллинга с эластич­ным спросом. Поскольку для некоторых расположений игра цен имеет множе­ственные решения, то требуется доопределить отношения предпочтения. В слу­чае, когда решением является множество ценовых равновесий, игрок в рамках этого множества может получить выигрыш в пределах некоторого интервала, от минимального до максимального значения. Будем считать, что профиль явля­ется предпочтительным для игрока, если как минимальный, так и максимальный возможный его выигрыш не меньше и хотя бы один из них строго больше.

Чтобы найти решение аналитически, необходимо провести анализ произ­водных целевых функций игроков по расположению для ценовых. Полученный результат формулируется в виде следующего утверждения.

225

Таким образом, в статье представлено аналитическое решение в безопас­ных стратегиях задачи Хотеллинга для постановок задачи с неэластичным и эластичным спросом. Также продемонстрирован метод исследования - поиск решения игры как подмножества множества наилучших безопасных ответов игры. Для этого последовательно строятся: множество ситуаций игры, безопас­ных для всех игроков, функции наилучших безопасных ответов, множество наилучших безопасных ответов, для элементов которого проверяется выпол­

нение определения РБС. Последовательность сформулированных в работе ут­верждений отражает указанную логику.

Литература

Искаков М.Б. Равновесие в безопасных стратегиях // Автоматика и теле­механика. 2005. № 3. С. 139-153.

D'aspremont C., Gabszewicz J., Thisse J.-F. On Hotelling's «Stability in Com­petition» //Econometrica. 1979. Vol. 47. № 5. Р. 1145-1150.

Hotelling H. Stability in Competition // The Economic Journal. 1929. Vol. 39. № 153. Р. 41-57.

IskakovM., Iskakov A., Pavlov P. Solution of the Hotelling’s Game in Secure Strategies: Препринт WP7/2011/06. М.: Изд. дом НИУ ВШЭ, 2011.