ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЙ В МОДЕЛИ ЭНДОГЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ КОАЛИЦИЙ

С. А. Вартанов,

А.А. Васин,

Ю.В. Сосина

Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Введение

В современной теории игр одним из актуальных направлений является ис­следование моделей эндогенного формирования коалиций в больших неодно­родных множествах игроков.

Несмотря на разнообразие областей применения моделей эндогенного фор­мирования коалиций, можно выделить общие черты, характерные для всех них. Так, во всех случаях рассматривается некоторое множество игроков, или аген­тов, каждый из которых характеризуется своей идеальной точкой, отражающей его предпочтение на некотором множестве. Часто в качестве этого множества рассматривается отрезок числовой прямой. В зависимости от области примене­ния модели идеальная точка агента может интерпретироваться как место его жительства, желаемая величина налога, политическая программа, наиболее близкая его интересам, и т.д. Функция выигрыша агента зависит от расстояния между его идеальной точкой и точкой, соответствующей выбору коалиции, к которой он примыкает, а также от размера этой коалиции. При этом предпола­гается, что чем ближе идеальная точка агента к выбору коалиции и чем больше ее размер, тем больше выигрыш агента. Итоговый выбор коалиции чаще всего определяется как идеальная точка медианного ее члена.

Для моделей эндогенного формирования коалиций важнейшим вопросом является устойчивость получающейся коалиционной структуры.

В настоящей работе развивается модель эндогенного формирования коа­лиций, изучавшаяся в работах [Сосина, 2004; Vasin, Stepanov, 2008; Вартанова, 2012]. Основными отличительными свойствами этой модели являются отсутст­вие побочных платежей и некооперативный характер решения.

В работах Сосиной [Сосина, 2004] и Васина и Степанова [Vasin, Stepanov, 2008] основные результаты получены в предположении равномерного распре­деления агентов по идеальным точкам. На практике типичны ситуации, когда распределение агентов по идеальным точкам не является равномерным. Так, при формировании государств или размещении общественных благ рассматривается распределение населения по реальным территориям, оно, очевидно, не является равномерным. Другим примером может быть распределение граждан в соответ­ствии с их политическими убеждениями, используемое в моделях формирова­ния политических партий. Многими социологическими исследованиями фикси­руется преобладание тех или иных взглядов в обществе.

Целью данной работы является исследование вопросов существования и устойчивости равновесий Нэша к расколу и объединению входящих в него коа­лиций. В других работах подобное исследование производилось либо для кон­кретной функции выигрыша агентов, как [Сосина, 2004], либо для равномерного распределения агентов [Vasin, Stepanov, 2008]. В настоящей статье представле­ны результаты для функций выигрыша общего вида и распределений с унимо­дальной функцией плотности.

Модель

Приведем формальное описание игры, соответствующей исследуемой мо­дели.

Каждый агент выбирает стратегию из множества

Выбирая одну из стратегий, агент присоединяется к соответствующей коалиции или же воздерживается, не вступая ни в одну из них (что соответствует стратегии

Регулярным равновесием Нэша называется такое равновесие, в котором политики всех коалиций различны. Так как нерегулярные равновесия заведомо неустойчивы к объединению коалиций с одинаковыми политиками, далее рас­сматриваются только регулярные равновесия. Следующее утверждение, дока­занное в работе Сосиной [Сосина, 2006], описывает структуру регулярного рав­новесия.

205

Таким образом, множество Xв регулярном равновесии разбивается на конечное число непересекающихся интервалов X_i, i∈I, и множество X₀, где X_iоднозначно (с точностью до множества игроков меры ноль) соответ­ствует множеству игроков, присоединившихся к коалиции i, а X₀- множест­ву игроков, воздержавшихся от присоединения к коалициям. Далее интервал X_i, i ∈I, будем называть носителем коалиции i.

На рис. 1 показан пример регулярного равновесия, состоящего из пяти коалиций и двух интервалов игроков, воздержавшихся от присоединения. Политики коалиций - p_i, i = 1,5, а c_i, i = 1,7 - идеальные точки их гранич­ных агентов.

Рис. 1. Возможный вид регулярного равновесия

Будем считать, что коалиции упорядочены по их расположению на мно­жестве X. Коалиции iи i + 1, носители X_iи X_i+1которых имеют общую граничную точку с, будем называть соседними.

На рис. 1 такими граничными агентами являются агенты с идеальными точками c₁и c₆.

Если множество X_iграничит с множеством X₀, то граничный агент по­лучает нулевой выигрыш. Таким агентам на рис. 1 соответствуют идеальные точки c₂, c₃, c₄, с₅.

Для унимодальной функции f(х) структуру равновесия можно охарак­теризовать более точно с помощью следующего утверждения.

206

Таким образом, коалиции в равновесии расположены последовательно: правая граница предыдущей коалиции является левой границей последую­щей. Кроме того, могут существовать интервалы X₀воздержавшихся от при­соединения игроков, лежащие «по краям» множества идеальных точек.

Множество равновесий Нэша в зависимости от числа коалиций

Рис. 2. Взаимное расположение функций выигрыша граничного агента

в зависимости от размера его коалиции в случае присоединения к левой и правой коалициям

Для исследования вопроса существования регулярных равновесий фик­сированного типа Tрассмотрим его общий размер, т.е. сумму размеров n коалиций данного типа. Она является непрерывной функцией размера первой коалиции. Для того чтобы существовало равновесие заданного типа из nкоа­лиций, необходимо и достаточно, чтобы максимальное значение общей дли­ны было не меньше, а минимальное - не больше единицы.

Заметим, что в общем случае длина равновесия не является монотонной функцией размера крайней коалиции. Однако в случае монотонности f (х) для равновесий, состоящих только из минимальных коалиций, монотонность общей длины имеет место. Кроме того, существует такое значение n₀, что для любого n ≥ n₀в исследуемой модели существует регулярное равновесие из nминимальных коалиций. Это означает, что заведомо существуют равно­весия, состоящие из большого числа коалиций небольшого размера. Однако небольшой размер коалиций может обуславливать стремление их участников к объединению.

Устойчивость к локальному объединению

Равновесие называется устойчивым к локальному объединению, если не существует такой новой коалиции, состоящей из двух соседних существующих коалиций, что всем ее участникам выгодно объединение.

Утверждение 3. Равновесие является устойчивым к локальному объеди­нению тогда и только тогда, когда объединение невыгодно хотя бы одному граничному агенту формирующейся коалиции. Иными словами, для каждой пары соседних коалиций выполнено хотя бы одно из следующих условий:

Рассмотрим пару соседних минимальных коалиций, расположенных на участке возрастания функции плотности f(х) и имеющих общую граничную точку c.При любом фиксированном значении cсуществует единственное ми­нимальное значение размера левой коалиции, при котором равновесие, включа­ющее рассматриваемые коалиции, устойчиво к их объединению. Исходя из ут­верждения 3, этот размер определяется из уравнения

ного игрока левой коалиции.

Для коалиций, расположенных на участке убывания функции плотности, справедливы аналогичные рассуждения относительно правой коалиции и функ­ции выигрыша ее правого граничного агента

При этом уравнение для вычисления порогового размера имеет аналогич­ный вид:

Теорема 1. Пусть f(х) является унимодальной, достигая максимума в точке M. Для того чтобы равновесие Нэша было устойчивым к локальному объединению, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары соседних коалиций, имеющих размеры r_Lи r_Rи общую границу с, выполнялось одно из двух условий:

Устойчивость к расколу

Равновесие называется устойчивым к расколу, если не существует новой коалиции, являющейся собственным подмножеством одной из существующих коалиций и обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам.

210

Утверждение 4. Пусть R(•) вогнута. Коалиция размера r устойчива к расколу тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

Из Утверждения 4 следует, что вогнутости функции R(•) недостаточно для устойчивости к расколу (см. ниже примеры 1, 3 а). В то же время условие об убывании R"(•) не является необходимым, и существуют вогнутые функ­ции R(•), для которых любая равновесная структура устойчива к расколу (см. примеры 2, 3б).

Пример 1. Рассмотрим кусочно-линейную функцию

Для неет.е. выигрыш граничных агентов неот­

рицателен в любой коалиции. Следовательно, для любого натурального nкоа­лиционная структура, состоящая из nкоалиций одинакового размера, яв­ляется равновесием Нэша.

211

212

Заключение

В работе исследована модель эндогенного формирования коалиций с функ­цией выигрыша агентов видаМодель иссле­

довалась в предположении, что распределение агентов по идеальным точкам обладает унимодальной плотностью. Рассматривался вопрос существования и количества равновесий Нэша, а также их устойчивости к расколу и локальному объединению. Исследование проводилось в предположении, что для любого расположения границы с соседних коалиций уравнение безразличия (1) имеет не более двух решений как относительно r_Rпри фиксированном r_L, так и на­оборот. Для описания результатов было введено понятие минимальной (мак­симальной) коалиции - коалиции, размер которой определяется меньшим (боль­шим) решением уравнения (1).

Проведенный анализ показал, что в модели заведомо существуют равно­весия, состоящие из достаточно большого числа коалиций сравнительно не­большого размера. Далее в работе исследовалась устойчивость регулярных равновесий к попарному объединению соседних коалиций. Результатом этого исследования является теорема об устойчивости равновесий к локальному объединению. Согласно ей устойчивыми являются равновесия, в которых в каждой паре коалиций хотя бы одна является максимальной. Кроме того, рав­новесия, состоящие из минимальных коалиций, также могут являться устойчи­выми к локальному объединению. Для этого достаточно, чтобы в каждой паре соседних коалиций размер левой коалиции из них превышал пороговое значе­ние, определяемое выражением (3) или (3'). Более того, для рассмотренных классов функций указанные условия являются не только достаточными, но и необходимыми.

Также в работе был рассмотрен вопрос об устойчивости равновесий Нэша к расколу. Показано, что любое равновесие Нэша является устойчивым к расколу, если функция Rвогнута, ее вторая производная убывает, а функ­ция Lвыпукла.

В дальнейшем представляет интерес поиск условий существования коа­лиционных равновесий (т.е. равновесий, устойчивых к образованию любой но­вой коалиции). Возможно также изменение модели, отражающее зависимость выигрыша агентов не только от характеристик «его» коалиции, но и всей струк­туры. В реальных ситуациях редко бывает так, чтобы влиятельность коалиции зависела бы только от ее размера. Для более точного отражения влияния коали­ций можно рассматривать индексы влияния Шепли - Шубика, Банцафа и др.

Литература

Вартанов С.А. Об устойчивости к расколу равновесий в модели эндоген­ного формирования коалиций // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Вып. 4. Т. 1. С. 3-20.

Сосина Ю.В. Эндогенное формирование политических структур и иссле­дование их устойчивости: препринт WP7/2004/04. М.: ГУ ВШЭ, 2004.

Alesina A., Spolaore E. On the Number and Size of Nations: National Bureau of Economic Research. Working Paper № 5050. March 1995.

Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev A., Weber S. Stability of Jurisdiction Structures under the Equal Share and Median Rules // Economic Theory. Springer, 2008. Vol. 34(3). Р. 525-543.

Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev A., Weber S. Stability under Unani­mous Consent, Free Mobility and Core // International Journal of Game Theory. 2007. Vol. 35. № 2. Р. 185-204.

Dreze J., Le Breton M., Savvateev A., Weber S. «Almost» Subsidy-free Spatial Pricing in a Multi-dimensional Setting // Journal of Economic Theory. 2008. 143. Р. 275-291.

Dreze J., Le Breton M., Savvateev A., Weber S. A Problem of Football Bars: Vertically and Horizontally Differentiated Public Goods // X Международная науч­ная конференция по проблемам развития экономики и общества. Т. 2. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2010. С. 86-90.

Gomberg A.M., Marhuenda F.Endogenous Platforms: The Case of Many Par­ties // International Journal of Game Theory. Springer, 2007. Vol. 35(2). Р. 223-249.

Gomberg A.M., Marhuenda F., Ortuno-Ortin I. A Model of Endogenous Politi­cal Party Platforms // Economic Theory. 2004. Vol. 24. № 2. Р. 373-394.

Savvateev A. Achieving Stability in Heterogeneous Societies // Economics Edu­cation and Research Consortium: Working Paper Series № 04/13. 2005.

Vasin A., Stepanov D. Endogenous Formation of Political Parties // Mathemati­cal and Computer Modelling. 2008. 48. Р. 1519-1526.