Тема 4 ОБОБЩЕННЫЕ КРИТЕРИИ

При принятии управленческих решений проблемы сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов играют особую роль.

ПРИМЕР 6.3. Пусть рассматриваются инвестиционные проекты в области машиностроения

В качестве обобщенного критерия, характеризующего сравнительную предпочтительность инвестиционных проектов, представленных на инвестиционный конкурс, определена сравнительная эффективность проекта.

В качестве частных критериев первого иерархического уровня выбраны конкурентоспособность, ресурсосбереже.ния, экологическая безопасность и социальная значимость В этом случае'

К, — конкурентоспособность,

К2 — ресурсосбережения,

К3 — экологическая безопасность,

К4 — социальная значимость

Пусть инвестиционный проект А характеризуется вектором оценок

ХА = (4, 3, 2, 4), а инвестиционный проект В — вектором оценок

Хв = (3, 2, 2, 1).

Инвестиционный проект А более предпочтителен, чем инвестиционный проект В, поскольку вектор оценок ХА по всем компонентам (частным критериям) предпочтительнее, чем вектор оценок Хв

Приведем общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы, характеризующихся соответствующими векторами оценок.

Альтернативный вариант (объект) о(. недоминируем, если не существует альтернативного варианта превосходящего (не уступающего) а. по всем компонентам (частным критериям).

Естественно, что наиболее предпочтительный среди сравниваемых альтернативных вариантов av ..., ап относится к числу недоминируемых.

Недоминируемые альтернативные варианты, как уже говорилось выше, образуют множество Парето.

При выборе наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, как правило, недостаточно ограничиться лишь указанием множества Парето, которому может принадлежать слишком много объектов.

Например, частные критерии К,, ..., Ks могут принимать лишь два значения: 1, если альтернативный вариант обладает соответствующим свойством, и 0 — в противном случае.

Тогда число альтернативных вариантов, половина оценок которых по частным критериям равна 1, может уже при s = 20 стать больше 100 тыс.

Очевидно, что ни один из этого множества альтернативных вариантов не доминируем другими, ему принадлежащими, и все они могут одновременно принадлежать множеству Парето.

В этом случае число альтернативных вариантов, признанных наилучшими, слишком велико.

Поэтому часто используются другие, более тонкие методы сравнительной оценки альтернативных вариантов. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть частные критерии Кр ..., К5, по которым оцениваются объекты принятия управленческих решений, таковы, что К, существенно важнее всех остальных частных критериев, К2 существенно важнее всех остальных частных критериев, за исключением К,, и т. д.

В этом случае если альтернативный вариант а; предпочтительнее альтернативного варианта а; по частному критерию К,, то независимо от оценок ап aj по остальным частным критериям о(. более предпочтительна, чем о.

Если же оценки альтернативных вариантов совпадают по первым г частным критериям и различаются по (г + 1)-му частному критерию, то более предпочтительным в этом случае является альтернативный вариант по (г + 1)-му частному критерию.

Такое упорядочение альтернативных вариантов — объектов принятия управленческих решений по предпочтениям называется лексикографическим.

Легко заметить, что при лексикографическом упорядочении все альтернативные варианты оказываются строго про- ранжированными. Одинаково предпочтительными могут оказаться лишь альтернативные варианты с совпадающими векторами оценок.

В случае лексикографического упорядочения задача выбора заданного числа наиболее предпочтительных для эксперта или ЛПР альтернативных вариантов оказывается легко решаемой. Для этого достаточно выбрать нужное число первых альтернативных вариантов — объектов принятия управленческого решения в их лексикографическом упорядочении.

Однако далеко не всегда частные критерии оценки альтернатив К,, ..., настолько неравноценны, настолько несоизмеримы по важности, что одни из них настолько более важны, чем другие.

Более типична ситуация, когда относительная важность критериев, по которым осуществляется сравнительная оценка объектов принятия управленческого решения, является сопоставимой.

В этом случае прибегают, если возможно, к различным методам свертки — построению обобщенного критерия, позволяющего дать единую численную оценку каждому из сравниваемых альтернативных вариантов.

Различные подходы к формированию обобщенного критерия будут обсуждены ниже.

Одним из наиболее важных предположений о характере частных критериев при установлении факта их сопоставимости является предположение об их независимости.

Для случая s = 2 (двух критериев) свойство независимости критериев может быть сформулировано следующим образом:

(*„, ха) lt; (хп, ха) =gt; (ал, xfl) lt; (х/Л, хд),              (6.1)

Ц,' xnJ lt; Ц-p x/igt; =* Цр х/|) lt; Ц|gt; хд)gt;              (6-2)

где хп и XjX — значения оценок альтернативных вариантов aj и cij по частному критерию Кр а ха и xj2 — значения оценок альтернативных вариантов at и о. по К2.

Соотношение (6.1) показывает, что предпочтения альтернатив сохраняются при любых одинаковых значениях оценок по частному критерию К2 и определяются оценками по Кр а соотношение (6.2) показывает, что предпочтения альтернативных вариантов сохраняются при любых одинаковых значениях по частному критерию К, и определяются оценками по К2.

Однако сформулированные условия независимости критериев оказываются необходимыми, но недостаточными для существования обобщенных критериев.

Сегодня известны необходимые и достаточные условия существования функций полезности н,(х), ..., us(x) таких, что альтернативный вариант ai предпочтительнее альтернативного варианта cij тогда и только тогда, когда

2“v(*«v)gt;“              (6'3)

v-l              v-=l

а альтернативные варианты aj и aj равноценны тогда и только тогда, когда

'2,uv(xiv)-'2,uv(xjv)-              (6.4)

V- 1

Исследованию функций ценности (полезности) ^uv[xv^

посвящена обширная литература (см., например, [3, 4]).

Поэтому не будем останавливаться на этом подробнее.

Линейные обобщенные критерии строятся в предложениях аддитивности частных критериев и сопоставимости их по относительной важности. Случай, когда одни из частных критериев существенно важнее других, приводит к лексикографическому упорядочению критериев, рассмотренному выше.

Заметим, что сравнивать по предпочтительности целесообразно лишь однородные критерии, измеряющие интенсивность свойств одной и той же природы.

В случае когда критерии таковыми не являются, необходимо их преобразовать в однородные.

Для этого, если измерения по частным критериям произведены в шкалах отношений, оценки по ним преобразуются по формуле:

k’ = k J xv,              (6.5)

гдеxv — максимально возможная оценка по v-му критерию.

Если измерения по частным критериям произведены в шкалах интервалов [3, 4], оценки преобразуются по формуле

к\ = (kv - xv) / (xv - xv),              (6.6)

где xv — минимальная оценка по v-му критерию [3].

Непротиворечивость частных критериев позволяет получать непротиворечивую информацию о сравнительной предпочтительности альтернативных вариантов при экспертном оценивании.

Измерение частных критериев в шкале порядка не позволяет корректно вводить операции сложения оценок по различным частным критериям, например по и К?, взятым соответственно с коэффициентами ср и cq.

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленческих решений в практике управления — метод обобщенных линейных критериев.

В этом методе предполагается определение весовых коэффициентов с,, ..., с5 частных критериев К|; ..., К5, содержащих большую информацию о сравнительной важности критериев, чем их измерение в шкале порядка [3, 4].

Измеримость оценок важности частных критериев в шкале отношений делает корректной процедуру сравнительной оцен

ки многокритериально оцениваемых альтернативных вариантов с помощью обобщенного линейного критерия

(6.7)

V’= 1

Этот обобщенный линейный критерий позволяет установить отношение линейного порядка (предпочтительности) на множестве оцениваемых с помощью нескольких критериев альтернативных вариантов, что и является одним из способов решения задачи выбора наиболее предпочтительного альтернативного варианта наиболее эффективного управленческого решения.

Наиболее предпочтительным признается альтернативный вариант ар для которого справедливо следующее соотношение:

/ е {1, ..., п).

Если необходимо выбрать к наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, то ими будут к альтернативных вариантов, получивших наибольшие оценки по критерию (6.6).

При назначении весовых коэффициентов cv, характеризующих относительную важность частных критериев К,, ..., К5, необходимо производить сравнение значений критериев, соответствующих их одинаковым уровням.

В качестве таких уровней можно выбрать уровень максимальных или минимальных значений частных критериев, как, например, это делается при сведении частных критериев к однородным.

Для определенности будем сравнивать максимальные уровни и в.дальнейшем; говоря о сравнительном влиянии частных критериев на общую оценку альтернативных вариантов, будем иметь в виду прежде всего максимальные уровни, предполагая, что сравнительные влияния частных критериев на других, но обязательно одинаковых уровнях аналогичны.

Пусть улучшение значения оценки альтернативного варианта по критерию К5 на Д единиц эквивалентно ухудшению значения оценки альтернативного варианта по критерию К^, на АД единиц и не зависит от конкретных значений оценок альтернативных вариантов по критериям Кр ..., Кт, и в частности от конкретных значений оценок по критериям К^, и К?.

Коэффициент Я называют глобальным коэффициентом замещения.

Обобщенный линейный критерий (6.6) существует тогда и только тогда, когда значения частных критериев максимального уровня измеримы в шкале отношений (т. е. в шкале, аналогичной той, в которой измеряются вес, длина и т. д.).

Отсюда следует [4], что для получения коэффициентов важности частных критериев К,, ..., К^ при практическом использовании оценочных систем можно воспользоваться любым методом, позволяющим получать измерения и оценки альтернативных вариантов в шкале отношений.

Внутри каждого частного критерия может допускаться равномерная зависимость значений частных критериев от оценок экспертов. Если характер оценок таков, что они нелинейно влияют на значения частного критерия, то для получения результирующей оценки необходимо в обобщенном критерии представить указанную зависимость.

С учетом неравномерных и, вообще говоря, нелинейных зависимостей значений частных критериев, по которым осуществляется оценка объектов принятия управленческих решений, от оценок экспертов Kv (я(.) обобщенный аддитивный критерий запишется в виде аА («/)gt;              (6.9)

V lt;= I

где kv (а) могут быть и нелинейными функциями.

Если обобщенный критерий построить не удается, необходимо пользоваться другими методами сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов.