3.5.2 Построение характеристической функции

Для дальнейшей работы необходимо сделать некоторые предпо­ложения относительно поведения фазовой переменной. Ниже будет приведена формальная математическая модель ее стохастической ди­намики, которая а) пригодна для практического анализа данных; б) дает в результате заданные априори критерии шокового события и восстановления после шока.

где- полиномиальная функция, имеющая значение тренда, най­денная на предыдущем шаге;

b - неизвестная положительная константа;

X(t) - гауссовский процесс с нулевым мат.ожиданием и известной ковариационной функцией:

^ηo^,ηι^,∙∙∙^,ηn- независимые одинаково распределенные случайные ве­личины, имеющие нормальное распределение

При сделанных предположениях верно следующее утверждение:

Теорема (Kimeldorf-Wahbad) [93]. Оценкапроцесса F(t) в классе

- несмещенных,

- линейных по наблюдениям

- минимизирующих невязкусреди всех несмещенных

оценок

совпадает с решением>задачи минимизации:

где W - класс Соболева функций f (t) таких, что f (t), f ∖t) - абсолют­но непрерывны на [0,T], а f "(t)∈Z₂[0,T].

В дальнейшем решение задачи минимизации будет рассматри­ваться как функция двух переменных tи ε: f_ε(t) = f (t,ε). Исходя из приведенной теоремы, можно вычислить невязку при известном па­раметре ε = ε₀:

где- отклонение от «среднего» значения.

Однако на практике оценка F(t) не может быть найдена, так как неизвестны значения bи дисперсии шума σ²,а значит, и параметра регуляризации ε.Пусть известно не точное значение, а некоторая априорная информация о том, какие значения и с какой вероятностью может принимать ε. Исходя из логической интерпретации вероятно­сти, можно считать εслучайной величиной с известным распределе­нием. При отсутствии каких-либо априорных предположений предла­гается считать распределение параметра εэкспоненциальным с за­данным средним λ, так как при заданном среднем экспоненциальное обладает наибольшей энтропией среди всех распределений на поло­жительной полуоси. Эмпирические исследования показывают, что чувствительность метода к выбору λдовольно низкая, значение сред­него достаточно приближенно (с точностью до порядка) оценить, ис­ходя из получаемых результатов. В рассматриваемом примере было использовано значение λ = 1.

Учитывая стохастическую природу ε, можно вычислить ожи­даемую невязку

Полученная функция ψ(t)является знакопостоянной и имеет скачки в те моменты времени, где ожидаемая невязка наибольшая, значит, в эти моменты оценить поведение фазовой переменной на ос­нове наблюдений сложнее всего, т.е. в это время поведение перемен­ной отличается от обычного, предсказуемого, что интерпретируется как шоковое состояние.

величина скачка ψ(t), то в дальнейшем для облегчения вычислений под ψ(t) подразумевается ее нормированное значение. На Рис. 9 и Рис. 10 представлены графики траектории фазовой переменной и соответ­ствующей ей функции ψ(t):

Рис. 9 - График траектории фазовой переменной.

Рис. 10 - График характеристической функции.

Из полученных результатов видно, что при стационарной дина­мике характеристическая функция близка к нулю. При интуитивно

понятном шоковом состоянии ψ(t)также имеет резкое отклонение с большой амплитудой.

Результат можно улучшить, если отдельно рассматривать рез­кий рост и резкое уменьшение значений фазовой переменной, а не все отклонения от среднего. В частности, для рассматриваемой в статье задачи важен случай роста переменной, что соответствует ухудшению ликвидности на рынке в силу ее экономического смысла (Xetra Liquid­ity Measure). В дальнейшем именно эта задача и будет рассматривать­ся.

Различие между двумя классами отклонений в каждый момент времени может быть установлено, исходя из знака функции g(t,ε), что объясняется ее построением. В предположении стохастической при­роды εв качестве характеристики класса можно взять следующее:

В таком случае росту значения переменной соответствует убыванию - χ(t) = -1.Теперь в качестве характеристической функции можно рассматривать

которая обладает всеми свойствами предыдущей характеристики, но не является знакопостоянной. Резкие скачки ψ(t) в положительной полуплоскости соответствуют моментам роста фазовой переменной, т.е. ухудшению ликвидности. На Рис. 11 и Рис. 12 представлены гра­фики траектории фазовой переменной и соответствующей ей функции ψ(t):

Рис. 11 - График траектории фазовой переменной.

Рис. 12 - График характеристической функции для знакопеременного слу­чая.

По виду полученной характеристики даже эмипирически легко установить, в какие моменты времени наблюдалось ухудшение лик­видности (резкий рост ψ(t)). В следующей части будет описан подход

к построению формального критерия и автоматическому определению

моментов шокового состояния.

1 46