Построение микроэконометрических зависимостей

Под микроэконометрической зависимостью понимается модель у = /(X₁, ..., х_п) взаимосвязи между показателями у, X₁, ..., x_n, отражающими деятельность одного или нескольких микроэкономических объектов - предприятий, организаций, домохозяйств (в данном докладе рассматриваются только модели функционирования предприятий), построение которой базируется на использовании статистических данных о значениях показателей у, Xi, ..., x_n.

То обстоятельство, что объектами моделирования являются предприятия, определяет некоторые особенности ситуации моделирования, к числу которых можно отнести: а) неустойчивость статистических характеристик зависимостей, нестационарность и изменчивость состава внешних факторов, влияющих на характер и протекание моделируемых процессов; б) присутствие значимого субъективного компонента в составе факторов микроэкономического процесса, сильное влияние принимаемых на данном предприятии решений; в) наличие значительного количества более или менее аналогично функционирующих объектов и их групп; г) возможность, как правило, дополнить «внешнюю» количественную статистическую информацию о значениях моделируемых показателей «внутренней» качественной информацией о характере зависимости, получаемой непосредственно от инсайдеров; д) отсутствие преемственности в моделировании, характерной для моделирования макрообъектов, крайняя ограниченность числа (как правило, отсутствие) публикаций о ходе и результатах моделирования данного процесса на данном микрообъекте.

Применительно к отечественным предприятиям к этим обстоятельствам следует добавить нестабильность внешней среды предприятия, обусловленную переходно-кризисным состоянием экономики России.

Все это вместе в значительной степени ограничивает возможности применения традиционных вероятностно-статистических методов, выводит процедуру построения микроэконометрических зависимостей из числа методически отработанных и делает актуальной задачу инвентаризации и ревизии подходов к микростатистическому моделированию.

Задача построения и анализа математической модели более или менее тесной зависимости между экономическими показателями одного объекта или группы объектов рассматривается в рамках таких научных направлений, как анализ регрессий в рамках прикладной статистики [1, 2], детерминированный анализ систем показателей [3, 4], теория производственных функций [5], анализ данных [6] и др.

Для каждого из перечисленных направлений характерны свои подходы, базирующиеся на определенных предпосылках моделируемого процесса, характера и системы измерения показателей у, X₁, ..., х_п и связей между ними, а также сферы предполагаемого использования разрабатываемой модели. Различна также и трактовка самой построенной тем или иным способом зависимости у =/(хі, ..., х_п).

В общем случае оценка качества построенной модели определяется двумя взаимодополняющими составляющими - адекватностью модели, т. е. соответствием имеющейся информации о процессе P, и эффективностью модели, т. е. способностью отвечать цели (наиболее часто среди целей исследования встречаются анализ влияния и взаимозависимости факторов, прогнозирование результатов процесса при тех или иных условиях и т. п.).

Реализация этих требований к качеству построенной модели приводит к формулировке общего принципа построения микроэкономических зависимостей, который можно назвать принципом максимальной целевой согласованности. Согласно этому принципу, обобщающему принцип наибольшего правдоподобия, из всех кандидатов на «замещение должности» модели у = Дхі, ..., х_п) наиболее предпочтителен тот, для которого степень рассогласования между известными из исходной информации или в результате теоретического анализа характеристиками моделируемого процесса, с одной стороны, и характеристиками зависимости у =/(хі, ..., х_п), с другой, является наименьшей; при этом объединение (сравнение) различных аспектов этого рассогласования производится с учетом информации о целях построения (сфере использования) модели.

В ряде случаев в качестве меры такого согласования выступает функционал на пространстве пробных функций f, значения которого сами имеют дополнительный содержательный смысл. Так, если предполагается, что величины X₁, ..., х_п наблюдаются (измеряются) без ошибок, а показатель у является случайной величиной, так что каждое наблюденное значение y_t есть функция от некоторого истинного значения и ошибки наблюдения, причем истинное значение совпадает с условным математическим ожиданием у при данных значениях факторов, то мы оказываемся в наиболее популярной ситуации регрессионного подхода с аддитивной ошибкой, где критериальной является функция правдоподобия. Если же в составе исходной информации недостаточно данных для принятия всех перечисленных предположений или более убедительными являются конкурирующие предположения, то вместо функции максимальной вероятности согласования могут появляться иные функционалы. В этом контексте хотелось бы подчеркнуть различие между критерием качества модели и технологией (в том числе и с элементами оптимизационной оценки параметров) ее построения. Как правило, для оценки качества построенной модели следует применять многокритериальный подход, в то время как техника оценивания параметров опирается на минимизацию одного обобщенного критерия.

В достаточно общем случае исходная информация при построении микроэконометрической зависимости включает в себя:

- числовые данные наблюдений (измерений) показателей, участвующих в зависимости;

- информацию о типе неопределенности этих показателей и их отдельных значений (вероятностные, нечеткие, интервальные, «наделенные правдоподобием» [7], иные типы неопределенности);

- сведения о характере динамики этих показателей;

- сведения о характеристиках зависимости между показателями (возрастание, убывание, выпуклость, вогнутость, влияние автономного, одновременного или последовательного изменения входных показателей на выходной, эластичности влияния и замены факторов и т.

- характеристики области применения построенной зависимости (дискретная, непрерывная), конфигурации и расположения этой области относительно наблюдавшихся значений);

- целесообразность учета тех или иных элементов исходной информации при оценке качества модели.

Поскольку исходная информация о моделируемом процессе Р в микроэкономическом случае складывается из качественно различных компонент и носит, как правило, мозаичный характер, а неопределенность различных характеристик может описываться различными моделями, то построение или обоснованный выбор общей агрегирующей критериальной функции (заметим, что она по самому смыслу определяется с точностью до монотонного преобразования, поэтому применение в качестве такой функции вероятности согласованности наблюдений и расчетных значений имеет как бы «избыточно конкретный» характер) представляет собой достаточно сложную и не имеющую универсального решения задачу.

В докладе рассматриваются общая схема решения таких задач и некоторые важные частные ее случаи; указываются соответствующие этим случаям новые, ранее не употреблявшиеся критерии качества (и оценки параметров) модели; предлагаются новые интерпретации для известных в литературе критериев оценивания параметров микроэконометрических зависимостей, а также затрагиваются вопросы методики преподавания данных задач.

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1986.

3. Клейнер Г.Б. Детерминированный анализ системы показателей // Экономика и математические методы. 1981. Т. 17. Вып. 6.

4. Клейнер Г.Б., Пионтковский Д.И. О детерминированном анализе систем показателей // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34. Вып. 2.

5. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы. М.: Финансы и статистика, 1986.

6. Методы анализа данных: подход, основанный на методе динамических сгущений. М.: Финансы и статистика, 1985.

7. Смоляк С.А. О сравнении альтернатив, параметры которых характеризуются функциями правдоподобия // Экономика и математические методы. 1996. Т. 32. Вып. 1.

К вопросу о разрывности квалитативных функций^* [237]

В [1, с. 134] квалитативная функция (квалифункция, к. ф.) определяется как произвольная числовая функция на подмножествах вещественной полуоси или, если более обобщенно, на множестве всех подмножеств конечномерного пространства R+”. В [2] изучается более узкий класс к. ф., когда к рассмотрению допускаются не все подмножества в R^r^, а лишь те, которые содержат конечное число точек; всякое конечное множество называется кортежем. Если ограничить количество точек кортежа некоторым фиксированным числом n, то мы получим класс к. ф. ранга п. Там же, в [2], отмечалось, что если ввести на множестве кортежей метрику Хаусдорфа, то к. ф. оказываются, как правило, разрывными. В данной работе мы намерены обсудить причины этого явления и наметить возможные пути корректировки исходных понятий.

1. Формальное описание квалифункций. Опишем класс к. ф. ранга n. Это - функции, определенные на множестве кортежей длина которых r не превосходит n (r < n). Элементы кортежа суть различные точки р пространства Р := R+", каждая из которых называется совокупным признаком. Координаты точки р в R+” называются частными признаками, их значения обозначаются буквой х; таким образом p = (Χι,..., x_m).

Обозначим через Pⁿ n-кратное декартово произведение пространства Р. Всякий кортеж К можно изобразить набором

включающим все элементы данного кортежа, в котором ровно п (векторных) компонент. Если длина кортежа r меньше п, то некоторые его элементы можно повторить в наборе z по нескольку раз (набор не является множеством, и в нем могут быть, в отличие от кортежа, повторяющиеся элементы) так, чтобы общее число компонент стало равным п; совокупность всех таких наборов обозначается через Z(K). Напротив, каждому набору z є Pⁿ отвечает вполне определенный кортеж K(z), включающий

в себя все различные элементы данного набора. Это позволяет связать с к. ф. f обычную функцию - изображение F, определенную формулой

Обратно, всякая кортежная функция F(z) (т. е. функция, зависящая от z только через кортеж K(z), порождает квалифункцию-оригинал f по формуле

В [2] показано, что к. ф. непрерывна в метрике Хаусдорфа на множестве кортежей тогда и только тогда, когда F непрерывна на Pⁿ = R+}ⁿ. Из приводимых в [1] примеров к. ф. только одна квалифункция - максиманта Μ_φ, определяемая формулой

непрерывна (если φ непрерывна). В [2] дано аксиоматическое определение максиманты, опирающееся на понятие монотонности (к. ф. называется монотонной по кортежам, если с расширением аргумента-кортежа ее значения возрастают); именно, имеет место

Утверждение 1. Пусть задана элементная функция φ. Рассмотрим класс ϋφ квалифункций f, обладающих свойствами:

а) f имеет φ своим носителем, т. е.

б) f монотонна по кортежам.

2. Об однородности пространства признаков Р. Трудности содержательного определения понятия «квалифункция» вызываются желанием совместить в одном понятии качественные и количественные характеристики ее аргументов. Обсудим этот вопрос на примере ресторанной интерпретации. В ресторанном меню важно, чтобы было разнообразие блюд - мясо, рыба, овощи, напитки и т. д.; чем шире ассортимент, тем выше оценка ресторана. Это - монотонность по составу качественно различимых признаков. В описании, данном в п. 1, такого рода монотонность не отражена: состав признаков задается числом m, он фиксирован и назван в целом совокупным признаком. Подчеркнем, для содержательной интерпретации к. ф. весьма существенно, что состав признаков фиксирован.

Рассматривая различные элементы р пространства Р, мы имеем дело с различными количественными значениями одного и того же совокупного признака; в этом смысле совокупный признак назван в [2] однородным: свойство однородности означает как раз возможность количественного

измерения признака. Точка р - это вектор значений частных признаков, в ресторанном меню это весовые характеристики порций мяса, рыбы, овощей и т. д.; таким образом, совокупный признак р есть количественная характеристика меню (и тем самым ресторана).

В условиях, когда ассортимент блюд фиксирован, расширение поля выбора может быть только за счет расширения сети ресторанов; в модельном описании кортеж К как раз и является образом сети ресторанов с одним и тем же меню, но с разными по величине порциями. Монотонность функции f по кортежу - это повышение оценки ситуации (кортеж = ситуация) при расширении сети ресторанов, т. е. при расширении возможностей выбора.

Другим естественным в данной интерпретации свойством было бы свойство монотонности к. ф. по р в смысле обычного покоординатного упорядочения векторов в пространстве P = R+¹: чем весомее порции меню, тем выше оценка ресторана (и как будто ситуации в целом! Но именно здесь кроется подводный камень, о чем речь будет в следующем пункте).

3. О свойствах монотонности квалифункций. Проанализируем упомянутые выше два свойства монотонности к. ф. и их взаимосвязь более строго.

Квалифункция f названа монотонной по кортежам, если выполняется соотношение

Скажем, что кортеж К2 мажорирует кортеж K₁ (пишем), если

оба кортежа имеют одинаковую длину r, и при некоторой подходящей нумерации каждый из элементов кортежа К₂ не меньше соответствующего элемента кортежа К₁, т. е.

(неравенства между векторамив (5) понимаются, как обычно,

в покоординатном смысле). Квалифункцию f назовем монотонной по р, если

Замечание 1. Важно отметить, что монотонность к. ф. f в смысле (6) не означает монотонности по z ее изображения F. Более того, монотонность F не обеспечивается даже дважды монотонностью (т. е. монотонностью в смысле (4) и (6) одновременно). Например, квалифункция «сумма элементов», т. е. к. ф.

монотонна и по кортежам, и по р, но ее функция-изображение

не монотонна: при совпадении каких-либо точек набора z число элементов кортежа K(z) уменьшается и, соответственно, уменьшается сумма F(z). Если, однако, к. ф. f непрерывна (в указанном выше смысле, по Хаусдорфу), то F непрерывна и свойство (6) влечет монотонность F по z. ■ Обозначим

(максимум в покомпонентном смысле). Для произвольной непрерывной элементной функции φ назовем мажорантой функцию

Очевидно, мажоранта является непрерывной функцией, монотонной как по кортежам, так и по р.

Имеет место

Утверждение 2. Пусть задана элементная функция φ. Рассмотрим класс ϋφ непрерывных квалифункцийf, обладающих свойствами:

а) f имеет φ своим носителем (в смысле (3));

б) f монотонна по р.

Доказательство. В силу замечания 1, из б) следует, что функция- изображение F непрерывна и монотонна по z. Поэтому, в соответствии с (1) и с учетом а), имеем

Соединяя утверждения 1, 2 вместе, получим

Утверждение 3. Пусть задана элементная непрерывная функция φ. Рассмотрим класс непрерывных квалифункций f, обладающих свойствами:

а) f имеет φ своим носителем;

б) f дважды монотонна (т. е. монотонна по кортежам и по р). Тогда при всех К справедливы неравенства

В частном случае одномерного признака (т = 1, скалярный признак, когда р есть скаляр р = х) максиманта (2) и мажоранта (8) монотонной функции φ(χ), очевидно, совпадают, и поэтому из (9) вытекает важное

Следствие. Всякая дважды монотонная непрерывная квалифункция, определенная на скалярных кортежах, есть мажоранта (= максиманта). ■

В общем т-мерном случае авторами высказывается гипотеза, что всякая дважды монотонная непрерывная квалифункция представляется как мажоранта вида (8) в некотором пространстве вторичных признаков. Именно, пусть- некоторый оператор, ставящий в соответствие

каждому признаку р вторичный признак(s - размерность

вторичного признака); скажем, что оператор А монотонен, если при P₁ > Р2 (оба неравенства в покоординатном смысле). Точная формулировка нашей гипотезы такова.

Гипотеза. Пусть к. ф. f дважды монотонна и непрерывна. Тогда существуют непрерывный монотонный оператор(отображающий

Р в некоторое вторичное пространство Q) и непрерывная монотонная функциятакие, что

где кортеж AK с Q есть A-образ кортежа K с P и операция sup в пространстве Q понимается в смысле, аналогичном (7). ■

Пока что эта гипотеза ни подтверждена, ни опровергнута.

Замечание 2. В частности, максиманта (2) есть мажоранта (10) при подстановке

4. Обсуждение. В ресторанной интерпретации максиманта (2) отвечает оценке ситуации (= кортежа) в условиях, когда рестораны (элементы кортежа) независимы и несоединимы (т. е. отсутствует т. н. эмерджентный эффект): в этом случае выбирается ресторан с наилучшим (в смысле элементной функции φ) меню. Если же смешивание допустимо (можно вместо двух отдельных ресторанов устроить один общий), то в объединенном ресторане клиент (не стесненный в средствах - это в наших рассуждениях неявно предполагается) может заказать обед, порции которого «надерганы» из двух исходных меню по принципу мажоранты (8).

Отсутствие непрерывности монотонных по р квалифункций связано с «провалами» изображения F «на диагонали» (т. е. при совпадении точек набора z, см. замечание 1). Содержательно это означает, что клиенту безразлично, есть ли в городе один ресторан или два одинаковых; наряду с желательностью иметь в ресторане весомые порции, существенно и разнообразие самих ресторанов, т. е. возможностей выбора. Но тогда при сближении точек набора z должно происходить уменьшение значения функции F, т. е. монотонность F должна теряться не только на диагонали, но и в ее окрестности; а это значит, что и сама к. ф. f должна терять свойство монотонности по р.

5. Предлагаемый подход - квантование пространства признаков Р. Итак, требование разнообразия элементов кортежа несовместимо с монотонностью квалифункции по р. Иначе говоря, кортежи монотонных квалифункций следует строить из качественно различимых элементов, грубо говоря, из точек некоторой дискретной (с фиксированным шагом h) решетки пространства Р. При таком подходе все проблемы, касающиеся непрерывности квалифункций, снимаются.

И последнее. Предложенный подход (дискретизация пространства признаков Р) можно сопоставить с переходом от классической (непрерывной) механики к квантовой. Принцип неопределенности В. Гейзенберга в нашем случае означает, что если два значения однородного совокупного признака близки (Δρ мало), то разность значений квалифункции f великадругими словами, если значение

квалифункции в данной точке р задано (определено), то поведение к. ф. в малой окрестности точки р не определено, и поэтому имеет смысл говорить лишь о значениях f на квантованной решетке.

Литература

1. Клейнер Г.Б. Факторы производства и производственные функции: моделирование в условиях качественных измерений // Моделирование механизмов функционирования экономики России на современном этапе: сб. М.: ЦЭМИ РАН, 1997.

2. Беленький В.З., Клейнер Г.Б. Квалитативные производственные функции на конечных множествах значений однородного признака // Моделирование механизмов функционирования экономики России на современном этапе: сб. М.: ЦЭМИ РАН, 1998. Вып. 2.

Iww W