53.3. Компонентный анализ

Компонентный анализ предназначен для преобразования системы k исходных признаков в систему k новых показателей (главных компонент). Главные компоненты не коррелированы между собой и упорядочены по величине их дисперсий, причем первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а последняя, k-я — наименьшую.

Компонентный анализ является одним из основных методов факторного анализа. В задачах снижения размерности и классификации обычно используются т первых компонент (т << k).

При наличии результативного признака у может быть построено уравнение регрессии на главных компонентах.

На основании матрицы исходных данных

размерности п х k, где хij.— значение j-го показателя у i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, .... k), вычисляют средние значения показателей а также s1, ..., sk и матрицу нормированных значений

с элементами

Рассчитывается матрица парных коэффициентов корреляции:

(53.24)

с элементами

(53.25)

где j, l= 1, 2, .... k.

На главной диагонали матрицы R, т.е. при j = l, расположены элементы

Модель компонентного анализа имеет вид

(53.26)

где aiv — «вес», т.е. факторная нагрузка v-й главной компоненты на j-ю переменную;

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта), где v = 1, 2, ...,k.

В матричной форме модель (53.26) имеет вид

(53.27)

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта);

aiv — значение факторной нагрузки v-й главной компоненты на j-ю переменную.

Матрица F описывает п наблюдений в пространстве k главных компонент.

(53.28)

Выражение (53.28) может быть представлено в виде

(53.29)

С целью интерпретации элементов матрицы А рассмотрим выражение для парного коэффициента корреляции между переменной zj и, например, f1-й главной компонентой. Так как zо и f1 нормированы, будем иметь с учетом (53.26):

Принимая во внимание (53.29), окончательно получим

Рассуждая аналогично, можно записать в общем виде

(53.30)

для всех j = 1, 2, .,., k и v = 1, 2, .... k.

Таким образом, элемент ajv матрицы факторных нагрузок А характеризует тесноту линейной связи между исходной переменной zj и главной компонентой fv, т.е. –1 ? ajv ? +1.

Рассмотрим теперь выражение для дисперсии нормированной переменной zj. С учетом (53.26) будем иметь

где v, v'= 1, 2, ..., k.

Учитывая (53.29), окончательно получим

(53.31)

По условию, переменные zj нормированы и s = 1. Таким образом, дисперсия переменной zj, согласно (53.31), представлена своими составляющими, определяющими долю вклада в нее всех k главных компонент.

Полный вклад v-й главной компоненты в дисперсию всех k исходных признаков вычисляется по формуле

(53.32)

Одно из основополагающих условий метода главных компонент связано с представлением корреляционной матрицы R через матрицу факторных нагрузок А. Подставив для этого (53.27) в (53.24), будем иметь

Учитывая (53.28), окончательно получим

(53.33)

Перейдем теперь непосредственно к отысканию собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы R.

Из линейной алгебры известно, что для любой симметричной матрицы R всегда существует такая ортогональная матрица U, что выполняется условие

(53.34)

Так как матрица R положительно определена, т.е.

В компонентном анализе элементы матрицы ? ранжированы: ?1 ? ?2 ? ... ? ?v ... ? ?k ? 0. Как будет показано ниже, собственное значение ?v характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию исходного признакового пространства.

Таким образом, первая главная компонента вносит наибольший вклад в суммарную дисперсию, а последняя, k-я, — наименьший.

В ортогональной матрице U собственных векторов v-й столбец является собственным вектором, соответствующим ?v -му значению.

Собственные значения ?1 ? ... ? ?v.... ? ?k находятся как корни характеристического уравнения

(53.35)

Собственный вектор Vv, соответствующий собственному значению ?v корреляционной матрицы R, определяется как отличное от нуля решение уравнения, которое следует из (53.34):

(53.36)

Нормированный собственный вектор Uv равен

Из условия ортогональности матрицы U следует, что U-1 = UT, но тогда, по определению, матрицы R и ? подобны, так как они, согласно (53.34), удовлетворяют условию

Так как у подобных матриц суммы диагональных элементов равны, то

Учитывая, что сумма диагональных элементов матрицы R равна k, будем иметь

Таким образом,

(53.37)

Представим матрицу факторных нагрузок А в виде

(53.38)

а v-й столбец матрицы А — как

где Uv — собственный вектор матрицы R, соответствующий собственному значению ?v.

Найдем норму вектора Аv:

(53.39)

Здесь учитывалось, что вектор Uv — нормированный и UUv = 1. Таким образом,

Сравнив полученный результат с (53.32), можно сделать вывод, что собственное значение ?v характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию всех исходных признаков.

(53.40)

Согласно (53.37), общий вклад всех главных компонент в суммарную дисперсию равен k. Тогда удельный вклад v-й главной компоненты определяется по формуле .

Суммарный вклад т первых главных компонент определяется из выражения .

Обычно для анализа используют т первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60—70%.

Матрица факторных нагрузок А используется для экономической интерпретации главных компонент, которые представляют собой линейные функции исходных признаков. Для экономической интерпретации fv используются лишь те хj, для которых |ajv| > 0,5.

Значения главных компонент для каждого i-го объекта (i = 1, 2, .... n) задаются матрицей F.

Матрицу значений главных компонент можно получить из формулы

откуда

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по алгоритму пошагового регрессионного анализа, где в качестве аргументов используются главные компоненты, а не исходные показатели. К достоинству последней модели следует отнести тот факт, что главные компоненты не коррелированы. При построении уравнений регрессии следует учитывать все главные компоненты.

Пример. Построение регрессионного уравнения

По данным примера из § 53.2 провести компонентный анализ и построить уравнение регрессии урожайности Y на главных компонентах.

Решение. В примере из § 53.2 пошаговая процедура регрессионного анализа позволила исключить отрицательное значение мультиколлинеарности на качество регрессионной модели за счет значительной потери информации. Из пяти исходных показателей в окончательную модель вошли только два (x1 и x4). Более рациональным в условиях мультиколлинеарности можно считать построение уравнения регрессии на главных компонентах, которые являются линейными функциями всех исходных показателей и не коррелированы между собой.

Воспользовавшись методом главных компонент, найдем собственные значения и на их основе — вклад главных компонент в суммарную дисперсию исходных показателей x1, х2, х3, х4, х5 (табл. 53.2).

Таблица 53.2

Собственные значения главных компонент

Ограничимся экономической интерпретацией двух первых главных компонент, общий вклад которых в суммарную дисперсию составляет 89,0%. В матрице факторных нагрузок

звездочкой указаны элементы аjv = rxjfv, учитывающиеся при интерпретации главных компонент fv, где j, v = 1, 2, ..., 5.

Из матрицы факторных нагрузок А следует, что первая главная компонента наиболее тесно связана со следующими показателями: x1 — число колесных тракторов на 100 га (a11 = rx1f1 = 0,95); х2 — число зерноуборочных комбайнов на 100 га (rx2f1 = 0,97); х3 — число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га (rx3f1 = 0,94). В этой связи первая главная компонента — f1 — интерпретирована как уровень механизации работ.

Вторая главная компонента — f2 — тесно связана с количеством удобрений (х4) и химических средств оздоровления растений (x5), расходуемых на гектар, и интерпретирована как уровень химизации растениеводства.

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по данным вектора значений результативного признака Y и матрицы F значений главных компонент.

Некоррелированность главных компонент между собой и тесноту их связи с результативным признаком у показывает матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 53.3).

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, что результативный признак у наиболее тесно связан с первой (ryf1 = 0,48), третьей (ryf3 = 0,37) и. второй (ryf2 = 0,34) главными компонентами. Можно предположить, что только эти главные компоненты войдут в регрессионную модель у.

Таблица 53.3

Матрица парных коэффициентов корреляции

Первоначально в модель у включают все главные компоненты (в скобках указаны расчетные значения t-критерия):

(53.41)

Качество модели характеризуют: множественный коэффициент детерминации r = 0,517, средняя относительная ошибка аппроксимации = 10,4%, остаточная дисперсия s2 = 1,79 и Fнабл = 121. Ввиду того что Fнабл > Fкр =2,85 при ? = 0,05, v1 = 6, v2 = 14, уравнение регрессии значимо и хотя бы один из коэффициентов регрессии — ?1, ?2, ?3, ?4 — не равен нулю.

Если значимость уравнения регрессии (гипотеза Н0: ?1 = ?2 = ?3 = ?4 = 0 проверялась при ? = 0,05, то значимость коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы H0: ?j = 0 (j = 1, 2, 3, 4), следует проверять при уровне значимости, большем, чем 0,05, например при ? = 0,1. Тогда при ? = 0,1, v = 14 величина tкр = 1,76, и значимыми, как следует из уравнения (53.41), являются коэффициенты регрессии ?1, ?2, ?3.

Учитывая, что главные компоненты не коррелированы между собой, можно сразу исключить из уравнения все незначимые коэффициенты, и уравнение примет вид

(53.42)

Сравнив уравнения (53.41) и (53.42), видим, что исключение незначимых главных компонент f4 и f5, не отразилось на значениях коэффициентов уравнения b0 = 9,52, b1 = 0,93, b2 = 0,66 и соответствующих tj (j = 0, 1, 2, 3).

Это обусловлено некоррелированностью главных компонент. Здесь интересна параллель уравнений регрессии по исходным показателям (53.22), (53.23) и главным компонентам (53.41), (53.42).

Уравнение (53.42) значимо, поскольку Fнабл = 194 > Fкр = 3,01, найденного при ? = 0,05, v1 = 4, v2 = 16. Значимы и коэффициенты уравнения, так как tj > tкр. = 1,746, соответствующего ? = 0,01, v = 16 для j = 0, 1, 2, 3. Коэффициент детерминации r = 0,486 свидетельствует о том, что 48,6% вариации у обусловлено влиянием трех первых главных компонент.

Уравнение (53.42) характеризуется средней относительной ошибкой аппроксимации = 9,99% и остаточной дисперсией s2 = 1,91.

Уравнение регрессии на главных компонентах (53.42) обладает несколько лучшими аппроксимирующими свойствами по сравнению с регрессионной моделью (53.23) по исходным показателям: r = 0,486 > r = 0,469; = 9,99% < (х) = 10,5% и s2(f) = 1,91 < s2(x) = 1,97. Кроме того, в уравнении (53.42) главные компоненты являются линейными функциями всех исходных показателей, в то время как в уравнение (53.23) входят только две переменные (x1 и х4). В ряде случаев приходится учитывать, что модель (53.42) трудноинтерпретируема, так как в нее входит третья главная компонента f3, которая нами не интерпретирована и вклад которой в суммарную дисперсию исходных показателей (x1, ..., х5) составляет всего 8,6%. Однако исключение f3 из уравнения (53.42) значительно ухудшает аппроксимирующие свойства модели: r = 0,349; = 12,4% и s2(f) = 2,41. Тогда в качестве регрессионной модели урожайности целесообразно выбрать уравнение (53.23).