§ 4. Рецептивная деятельность Маркса как нелинейный процесс познания

Специфика математических рукописей была в свое время предметом дискуссий историков математики. Одни авторы настаивали на новаторском характере выводов Маркса, другие обращали внимание на преимущественно эксцерптный характер рукописей[261]).

Математические выкладки присутствовали в рукописях Маркса начиная с 40-х гг. XIX в. Однако в то время они не имели характера связного изложения и встречались эпизодически. В качестве примера можно привести тетради с выписками по политической экономии, содержавшие конспекты работ Шютца, Листа, Рикардо, Кенэ[262]), а также рукопись «К критике политической экономии» 1857-1858 гг., где можно обнаружить математические расчеты. Лишь в 60-80-е гг. выписки приобрели характер систематического изучения математики.

Однако для полной картины математических исследований и становления собственных представлений Маркса о сущности дифференциального исчисления необходимо рассмотрение первоначального периода занятий Маркса математикой. Так, в сентябре - октябре 1851 г. им был составлен конспект книги Поппе «История математики» (Тюбинген, 1828)[263]). В нем имелись выписки из введения к книге, трактовавшие о математике древности и средневековья. Затем следовали выписки из первой части книги об истории арифметики, изобретении логарифмических таблиц Непером и Бригсом. Их продолжали краткие выписки по истории геометрии, тригонометрии, алгебры, анализа и механики. Выписки из книги Поппе содержались и в эксцерптной тетради, озаглавленной «Diversa (1867-69)»29).

К началу 60-х гг. относятся выписки Маркса из первого тома книги Сори «Полный курс математики» (1778 г.)[264]). Внимание Маркса привлекали разделы «О тригонометрии», «О решении треугольников», «О решении косоугольных треугольников». Кроме того, в конспекте имелась сводка формул по тригонометрии, вычисление ряда тригонометрических функций, преобразование формул к виду, удобному для логарифмирования.

На конец 60-х гг. приходились первые конспекты Маркса по коммерческой арифметике[265]). В эксцерптной тетради, датированной «1869. Первая тетрадь», имелся конспект книги Гошена «Теория международного обмена» и примыкавшего к ней по тематике раздела о вексельных расчетах «Полного курса коммерческой арифметики» Феллера и Одер- мана 1859 г. издания. В конце выписок Маркс приводил оглавление законспектированных частей данных книг. В том же году, но в другой тетради Маркс продолжил данный конспект по проблемам коммерческой арифметики[266]).

О занятиях Маркса прикладными проблемами математики — приложением алгебры к геометрии — т. е. теорией конических сечений, свидетельствовали выписки из книги Дж. Хаймерса «Трактат о конических сечениях», 1845[267]) и конспект содержательно близких к ним разделов второго тома упомянутого трактата Сори[268]). Эти выписки так и были озаглавлены «Конические сечения». Они говорят об интересе Маркса к приложениям алгебры к геометрии и служат посредствующим звеном между его занятиями прикладной математикой и изучением дифференциального исчисления. Данные проблемы Маркс рассматривал в качестве необходимых для понимания последнего, о чем и сообщал Энгельсу еще в 1863 г.[269]) Не надо забывать, что само дифференциальное исчисление исторически возникло из потребности решать прикладные задачи математики. Таким образом, переход к изучению данного раздела совпал у Маркса с историческим развитием данной науки.

Остановимся более подробно на конспектах Маркса по дифференциальному исчислению, поскольку они имели большое значение для формирования собственного взгляда на математические проблемы. Первым конспектом Маркса по дифференциальному исчислению стал конспект первых разделов учебника Бушарла «Элементарный трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» (Кембридж; Лондон, 1828.

Следующий большой конспект по математическому анализу был сделан Марксом также по курсу математики Сори, по работе Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (1669 г.) и по учебникам Бушарла и Хайнда, в которых отправным пунктом было алгебраическое исчисление Лагранжа[273]). Здесь Маркс начал еще раз конспектировать те разделы труда Бушарла, которые посвящены методу Лагранжа. В рассматриваемый период Маркс еще не столь критично относился к данному методу, как это стало в период разработки собственной концепции, и пытался разобраться в его взглядах. Наряду с выписками Маркс комментировал прочитанный материал, размышляя о различии выражений | в алгебре и в дифференциальном исчислении[274]).

Рассмотрение теоремы Тейлора Маркс связывал с анализом метода дифференцирования по Лагранжу, рассуждениями о соотношении дифференциальных и алгебраических методов в математике, сути введения символики дифференциального исчисления. В этом эксцерпте Маркс объяснил причины своего интереса к данной теореме тем, что она «при некоторых ограничениях, может рассматриваться в определенном смысле как базис дифференциального исчисления». Заметим, что данные рассу-

ждения в дальнейшем были продолжены, став предметом математической переписки Маркса и Энгельса[275]).

Со временем в эксцерптах Маркса все чаще стали появляться собственные комментарии, которые послужили основой для его дальнейших исследований.

Следующая рукопись, которую надо упомянуть[277]), хотя и начиналась с конспекта «Коммерческой арифметики» Феллера и Одермана, все же в основном была посвящена дифференциальному исчислению. Здесь Маркс законспектировал введение к первому тому учебника Лакруа «Трактат о дифференциальном и интегральном исчислении» (1810 г.), а именно те места, где речь шла о понятиях функции, ряда, предела. Затем следовали выписки из английского и французского изданий учебника Бушарла, где говорилось о дифференциале функции у = х3, а также о методе неопределенных коэффициентов и последовательном дифференцировании, теореме Маклорена, дифференцировании логарифмических и тригонометрических функций[278]).

Маркс отдавал явное предпочтение методу дифференцирования Лагранжа. Важность данного метода «проявляется в дальнейших аналитических операциях, а не в исходных»[279]), — писал он, делая вывод, что «основной задачей дифференциального исчисления является отыскание значений дифференциальных коэффициентов»[280]).

* * *

Большой комплекс работ по алгебре составляли эксцерптные тетради «Алгебра I» и «Алгебра II». Как и в эксцерптах более позднего времени, здесь имелись и собственные размышления Маркса о понятии функции, связи дифференциального исчисления и алгебры, т. е. о проблемах, которые в будущем составили предмет специальных исследований.

Тетрадь, озаглавленная «Алгебра I», относилась ко второй половине семидесятых годов. Здесь подбирался материал об алгебраических источниках дифференциального исчисления[281]). Тетрадь состояла из нескольких озаглавленных частей. Ее открывал раздел «I. Общая теория уравнений» с выписками из книги Лакруа «Основы алгебры» (1815 г.)[282]). Затем следовала часть «II. Первое элементарное появление | = оо и jj в обычной алгебре»[283]). В данном эксцерпте Маркс проанализировал процессы, происходящие в различных частях дифференциального уравнения, что стало также одной из главных тем его собственных рассуждений в письмах о математике, адресованных Энгельсу[284]).

В тетради «Алгебра II» Маркс продолжил изучение труда Лакруа «Основы алгебры», а также «Трактата по алгебре» Маклорена (1796 г.) и др.[285]). Здесь были собраны конспекты по проблемам пропорций и прогрессий, показательных величин и логарифмов, а кроме того, денежных процентов. Вторая часть конспекта представляла собой систематизацию материала из различных источников по проблемам множеств. Далее следовало рассмотрение биномиальной теоремы, которой Маркс посвятил целый раздел[286]).

* * *

Сложно претендовать на полноту описания того обширного рукописного наследия Маркса, каким являются его работы по математике. Но любое исследование математических эксцерптов Маркса буде^ неполным без упоминания так называемых эксцерптов второго поряд ка. Именно здесь происходила систематизация материала, усвоенного на предыдущей стадии изучения математики. Выписки, сделанные ранее, группировались вокруг нескольких тем, которым надлежало сыграть в дальнейшем роль основного предмета рассмотрения. Данный способ исследования был сходен с процессом разработки основ политической экономии с его движением от простого конспектирования через обобщение собственных выписок к наброскам собственной концепции и, наконец, к самостоятельным работам.

Нельзя сказать, что эксцерпты второго порядка, как материальный результат, свидетельствовавший о переходе от чисто рецептивной деятельности к продуктивной и тем самым к формированию оригинальной концепции, присущи любому исследованию. Скорее всего, они явились характерной особенностью, свойственной Марксу. Тем не менее их исследование не теряет своей значимости, так как помогает выявить структурные элементы любого хода познания на этапе, непосредственно предшествующем переходу к новому знанию.

Эксцерпты второго порядка по математике находились на границе нового и старого знания, где происходила оценка и систематизация наличного знания, представлявшего собой предшествующий этап развития науки. Именно тут у Маркса зарождалась собственная концепция, свое видение проблем. В отличие от эксцерптов первого порядка, отбор материала здесь был менее подвержен случайностям, а наоборот, носил все более целенаправленный характер.

Напротив, в эксцерптах первого порядка Маркс непроизвольно шел вслед за историческим развитием науки, повторяя на индивидуальном уровне переход к проблемам дифференциального исчисления, исходя из потребностей решения практических задач. Иными словами, от эмпирически конкретного здесь намечался переход к абстрактному. В эксцерптах второго порядка было налицо выделение логически исходных категорий методологии математического анализа, способных дать источник дальнейшего развития собственной концепции. Именно с этой целью и предпринималась систематизация изученного материала. В математических эксцерптах Маркса систематизация производилась вокруг

проблем соотношения алгебраического и дифференциального методов, вокруг исходных задач дифференциального исчисления, а также теорем Тейлора и Маклорена.

В эксцерптах данной группы можно обнаружить попытки изложения собственного видения проблем систематизированного знания. Случалось, что первые опыты самостоятельного изложения шли по ложному пути. Примером такого начала, за которым не последовало продолжения, был этюд Маркса о понятии функции. И хотя это понятие носило наиболее абстрактный характер, все же для целей предпринятого им в дальнейшем изложения оно не имело принципиального значения, т. е. развитие собственного видения проблем дифференциального исчисления не пошло затем по пути исследования природы функции. Вернувшись к систематизации материала, Маркс продолжил собирать материал по вопросу о доказательстве теоремы Тейлора[287]).

Одной из первых попыток анализа Марксом усвоенного им материала, где он произвел его систематизацию, была обширная рукопись, посвященная теореме Тейлора[288]). Здесь Маркс ссылался на свою экспертную тетрадь «Алгебра I». Он дал оценку биномиальной теоремы, развитию общей теории уравнений, комбинаторики, тригонометрии, теории показательных функций, основ дифференциального исчисления[289]).

В рукописи «Теорема Тейлора, теорема Маклорена и Лагранжева теория производных функций» Маркс выяснил предысторию теоремы Тейлора[290]). Данная теорема стала, по оценке Маркса, основой дифференциального исчисления. Следует также упомянуть, что в экспертной тетради «Алгебра I» Маркс уже посвятил целый раздел биномиальной теореме Ньютона, где он рассмотрел эмпирическое происхождение данной теоремы и проанализировал ее доказательство на конкретном примере.

В рукописи «Теорема Тейлора»57) речь шла о тех случаях, когда теорема Тейлора неприменима. «Эта теорема есть лишь переведенная на язык дифференциального исчисления биномиальная теорема с целыми и положительными показателями степени. Там, где эти условия не выполнены и, следовательно, теорема Тейлора неприменима, появляется то, что в дифференциальном исчислении выступает как „исключения" из этой

теоремы»[291]). Анализ теоремы дал Марксу основание для введения понятия оперативной формулы, созданного им в ходе формулировки своего собственного метода дифференцирования, отличного от уже имеющихся в математике.

В следующей рукописи[292]) теорема Тейлора трактовалась на основе английского издания учебника Бушарла, где излагалась не ее общая форма, а лишь частный случай. Кроме того, здесь была дана историческая справка о первоначальных способах ее доказательства. И наконец, Маркс ссылался на доказательство данной теоремы французским математиком Пуассоном, приведенное в учебнике Холла «Трактат по дифференциальному и интегральному исчислениям» (Лондон, 1852).

Таким образом, уже краткий обзор эксцерптных работ Маркса по математике свидетельствует о том, что существенную часть рукописей составляли обширные выписки по различным проблемам математики. При этом надо отметить, что Маркс не раз возвращался к одним и тем же источникам, подчас конспектируя их дважды. Причины этого явления можно усмотреть в сложности постижения изучаемого материала и вытекающей из этого потребности еще раз разобраться в существе проблем. О потребности досконально разобраться в математике говорил тот факт, что Маркс не просто выписывал сведения из изучаемых источников, но и часто воспроизводил посредствующие звенья в доказательствах, изложение которых было дано авторами лишь в предельно схематичном виде.

О том, что выписки делались в основном не с целью их дальнейшего цитирования, можно судить по отсутствию в подавляющем большинстве случаев ссылок на эксцерпируемые источники, по отсутствию четких границ между выписками и собственными размышлениями по поводу прочитанного, часто в русле рассуждений автора. Исследование эксцерптов позволяет понять, как у Маркса зарождались собственные оценки, которые были затем положены в основу выводов, сформулированных им в самостоятельных работах. Данные оценки зарождались в процессе систематизации изучаемого материала, в первую очередь, вокруг теоремы Тейлора. Здесь обнаружилась необходимость выяснения соотношения алгебраических и собственно дифференциальных методов математических доказательств. Исследование этого вопроса продвинулось настолько, что позволило Марксу проникнуть в суть соотношения данных методов уже при изложении основных понятий дифференциального исчисления.