Математическая школа

У.С.Джевонс рассматривал экономику как подсчет удовольствий и страданий. B противовес классической теории трудовой стоимости, У.С.Джевонс противопоставляет теорию полезности. Под полезностью он понимает абстрактное свойство объекта приносить удовольствие или избавлять от страданий^{[33] [34]. У.С.Джевонс делает различие между общей и предельной полезностью.}

По Джевонсу общая полезность имеющихся единиц блага зависит от его количества и выражается формулой: u=f(x). Предельная полезность, которую У.С.Джевонс называет «последней степенью полезности», определяется «как степень полезности последней порции - (Au / A x), или следующей добавки очень малого или бесконечно малого количества товара к уже имеющемуся его запасу - производной и по x - du/dx'.

Последняя степень полезности, строго говоря, отличается OT предельной полезности, равной дифференциальному приращению полезности: (du/dx) · Ах. Сам У.С.Джевонс путал эти понятия, на что впоследствии указал А.Маршалл^[35].

Тем не менее это не помешало У.С.Джевонсу вывести важную закономерность: последняя степень полезности имеет тенденцию убывать с ростом количества блага.

Таким образом, У.С.Джевонс, не будучи знакомым с произведениями Г.Г.Госсена, как бы заново открыл закон убывающей предельной полезности, трактуемой как первый закон Госсена.

Следует отметить, что, говоря о последней степени полезности, У.С.Джевонс всегда подразумевает очень малое или бесконечно малое приращение блага.

У.С.Джевонс не только отмечает, что в оптимальной ситуации одно и то же благо должно иметь одинаковую предельную полезность в разных применениях, что приблизительно соответствует второму закону Госсена, но и распространяет его на распределение блага во времени. Оптимальное потребление блага должно быть, согласно Джевонсу, распределено между периодами такими порциями, чтобы в каждый момент времени предельная полезность с поправкой на вероятность получения этой порции блага и на близость во времени была одинаковой:

ViPiQ_l = V₂P₂Q₂ = -- = V_nP_nQ_ni где V - последняя степень полезности, P - вероятность, Q - коэффициент близости во времени, a l,2,...n- моменты времени.

Из своей теории полезности У.С.Джевонс выводит теорию обмена, которая одновременно является и теорией ценности. Указывая на многозначность понятия «ценность», под которым было принято понимать и потребительную и меновую ценность, автор предпочитает свести его только к последней, т. e. к пропорции обмена одного блага на другое. Эта меновая пропорция на свободном и открытом рынке, где вся информация доступна всем его участникам, должна быть в данный момент единой для данного однородного блага (так называемый закон безразличия, т. e. отсутствия ценовой дискриминации)^[36].

Торг на рынке, по Джевонсу, ведут так называемые торгующие стороны, которыми могут быть индивидуумы, группы лиц данной профессии (фермеры, мельники и пр.) и даже население целых континентов (например, Америка продает хлеб в Европу в обмен на железо).

Допустим, что до обмена у торгующей стороны A было а единиц мяса, а у торгующей стороны B - в единиц зерна. B итоге количество мяса x было обменено на количество зерна>>. Таким образом, после обмена у A осталось а - jc мяса и у зерна, а у B - x мяса и в - у зерна.

Тогда предельная полезность мяса для A можно обозначить FDUi(a-x), а для B - FDU₂(_X). Соответственно предельная полезность зерна для участников обмена после его завершения будет FDUi(y) для A и FDU₂(_e._y) для В. Точка равновесия характеризуется тем, что дополнительный обмен бесконечно малых количеств мяса и зерна (dx на dy) не принесет обменивающимся сторонам ни прироста, ни потери полезности. Поэтому в этой точке потеря полезности мяса и прирост полезности зерна для A будут одинаковыми: FDUjfr_x) ■ dx = FDUj(y) ■ dy.

To же можно сказать и про прирост полезности мяса и потерю полезности зерна дтя В: FDU_2(X) · dx = FDU_2(e._y) dy.

B итоге получаем равенство:

*P O, - как объективно заданные для монополиста. После этого заданные функции дохода сопоставлялись с функциями совокупных и предельных издержек для доказательства максимизации доходов, в случае если монополист производит такой объем продукции, при котором отдельные издержки равны предельному доходу. Анализ максимизации прибыли А.О.Курно нашел применение в «Принципах» А.Маршалла^[37]. B целом математические доказательства А.О.Курно подкрепляли доктрину laisser faire, снимая проблем>' анализа социальных отношений в сфере производства.

А.О.Курно заложил не только основы теории чистой монополии, но и теории дуополии. Согласно ей конкуренция основана на том, что покупатели назначают цены, а продавцы приспосабливают объем выпускаемой ими продукции к назначенным ценам. При этом один из дуополистов самостоятельно оценивает функцию спроса на продукцию и устанавливает ее объем, предназначенный к продаже, при допущении, что объем продукции, выпускаемой конкурентом, остается неизменным. Эта модель была подвергнута критике в работе французского математика Бертрана и английского экономиста Ф.И.Эджуорта, которые показали, что предположение А.О.Курно о постоянном отсутствии реакций дуополистов на поведение друг друга неверно. Взамен Ф.Эджуорт выдвинул идею о неопределенности взаимной реакции фирм, а впоследствии детерминистская симметрия А.О.Курно была разрушена с введением в модели реакции фирм (продажи, издержки, количество товара, сервисное обслуживание).

Наряду с теорией чистой монополии и дуополии А.О.Курно рассматривал проблему ценообразования на рынке совершенной конкуренции. C применением математического анализа он доказывал, что дуополисты в конечном счете приходят к равновесной цене, которая в свою очередь будет ниже, чем цена, устанавливаемая при монопольном режиме, но выше, нежели цена при режиме совершенной конкуренции. Данный вывод сообразуется с утверждением ученого, что на монопольном рынке производится самый низкий объем продукции, тогда как самый большой объем - при режиме совершенной конкуренции, а промежуточный - на рынке дуополии.

Теория общего экономического равновесияЛ.Вальраса

Решительный шаг в сторону математизации экономической науки и превращении ее в точную науку сделал швейцарский экономист, профессор Лозаннского университета Л.Вальрас.

Главный труд Л.Вальраса, принесший ему мировую известность - «Элементы чистой политической экономии, или теория общественного богатства», вышедший двумя частями в 1874 и 1877 гг. Среди других его работ следует выделить: «Теории денег» (1886), «Очерки социальной экономии. Теория распределения общественного богатства» (1896), «Очерки прикладной политической экономии. Теория производства общественного богатства» (1898) и др.

Система экономической теории Л.Вальраса состоит из чистой теории, прикладной теории и социальной теории. Она основана на определении общественного богатства как совоку пности благ, которые редки, или иначе говоря, полезны и доступны лишь в ограниченных количествах. Эти полезные вещи, количества которых ограничены, обладают ценностью, способны к обмену, могут быть произведены и преумножены промышленностью и, наконец, могут быть присвоены^[38].

Чистая теория, прикладная теория и социальная теория изучают общественное богатство, соответственно, с точки зрения меновой ценности, промышленности и собственности.

Научный интерес Л.Вальраса был сосредоточен на проблемах чистой экономической теории. Он относится к числу первых теоретиков, связавших уровень рыночной цены с предельной полезностью блага. Предельная полезность, в Вальрасовой терминологии «редкость» (ratate), определяется как убывающая функция от потребленного количества, т. e. чем более растет потребленное количество какого-то блага, тем меньше становится величина его ratate.

Л.Вальрас установил, что предельная полезность достигается тогда, когда последние порции средств, расходуемых потребителем при данном его доходе, принесут ему одинаковое удовлетворение от всех потребляемых им благ. При этом потребитель сам учитывает, что благо A для него более ценно, чем благо Б. Одежда предпочтительнее украшений, мясо предпочтительнее одежды и т. д. Иначе говоря, из своего фиксированного дохода потребитель будет на костюм тратить скорее, чем на украшения, а на мясо - скорее чем на костюм. Именно при этих различиях он купит каждого блага такое количество, при котором получается одинаковое удовлетворение от последнего костюма, последнего украшения и последнего кусочка мяса. Только тогда совокупность всего купленного им даст ему максимальное общее удовлетворение.

Когда все потребители достигают максимума в удовлетворении своих потребностей наступает экономическое равновесие. Отсюда Л.Вальрас переходит к исследованию проблемы общего экономического равновесия.

Следует отметить, что эта задача ставилась практически всеми экономистами. Однако Л.Вальрасу впервые в истории экономической мысли удалось формализовать условия равновесия на основе синтеза представлений о полезности, теории спроса и предложения и математических методов.

Предшественники Л.Вальраса, рассматривая взаимодействие спроса и предложения полагали, что цены на потребительские товары и факторы производства определяются разновременно. Подход Л.Вальраса оказался иным. Он разделил всех субъектов производства на две группы: владельцев производственных факторов (земли, труда и капитала) и предпринимателей. B результате проведенного анализа оказалось, что владельцы факторов производства являются продавцами указанных факторов и одновременно покупателями предметов потребления. Предприниматели, напротив, являются покупателями производственных факторов и продавцами потребительских товаров. Действительно, при данных объемах предложения факторов производства и фиксированных коэффициентах затрат цены факторов производства остаются неопределенными до тех пор, пока фирмы не решат, какой объем продукции они произведут. Однако для принятия данного решения потребуется знание цен на производимые продукты, которые в свою очередь неизвестны до тех пор, пока хозяйства не получат доход от продажи факторов по определенным ценам. Отсюда следовал вывод об одновременном определении цены на потребительские товары и факторы производства, а экономическая система стала рассматриваться как целое.

Для достижения состояния равновесия рыночное хозяйство по Вальрасу должно удовлетворятъ трем условиям: «...во-пер- вых, действительно спрос и предложение производительных услуг (т. e. факторов производства - труда, земли, капитала) равны и существует устойчивая постоянная цена на рынке этих услуг; во-вторых, действительные спрос и предложение продуктов равны и существует постоянная и устойчивая цена на рынке продуктов, и, наконец, в-третьих, продажная цена продуктов равна издержкам, выраженным в производительных услугах. Два первых условия относятся к равновесию обмена, третье - к равновесию производства»^[39].

Замкнутая математическая модель Л.Вальраса для доказательства концепции общего равновесия весьма громоздка в изложении, поэтому воспользуемся более сжатым вариантом, предложенным в конце прошлого века шведским ученым Густавом Касселем.

Цены и на рынках факторов производства, и на рынках потребительских товаров определяются в результате уравновешивания спроса и предложения. Приводной ремень, соединяющий рынок факторов производства и рынок потребительских товаров, - коэффициенты производства. Последние отражают долю каждого из факторов производства в издержках, образующих цену единицы товара.

Допустим, что всего имеется r различных факторов производства и n различных потребительских товаров. Пусть р_]г р₂, ... р_п - цены различных потребительских товаров, a q_h q₂ ... q„ - цены факторов производства. Пусть, далее, все коэффициенты производства обозначены через а с двумя индексами. Первый индекс указывает соответствующий товар, второй - фактор производства, затрачиваемый на производство единицы данного товара. Например, а₂₃ обозначает количество третьего фактора производства, затрачиваемого на производство второй единицы товара.

Составим систему линейных уравнений, определяющих цены потребительских товаров как сумму издержек производства:

Ciiiqi + aitf2 + ^аізЯз ⁺ ■■■ ⁺ a_Irq_r =р_}