4.3.3. Проблемы идентификации модели межотраслевого баланса и матрицы Леонтьева

Рассмотрим несколько примеров. Прежде всего обратимся к популярным в экономической литературе моделям «затраты-выпуск» и межотраслевому балансу. Популярность этих моделей объясняется в основном их математической простотой и на первый взгляд наглядностью, почти очевидностью уравнений этих моделей. Правда, ранее мы уже отмечали, что есть некоторые сложности с этими уравнениями: только по этим уравнениям нельзя отличить модель преобразования — «затраты-выпуск» — от модели состава — межотраслевого баланса. Между тем, как уже отмечалось, свойства этих моделей и области их возможного использования весьма различны. Можно ожидать, что это различие проявится и в их различной идентифицируемости.

Рассмотрим сначала эту модель в замкнутой форме в виде структурных уравнений

X = АХ t (4.48)

где X — объем выпуска, А — матрица прямых затрат.

Вектор выпуска наблюдаем. Задача идентификации модели (4.48) заключается в определении конкретных числовых значений коэффициентов матрицы А. Если (4.48) — это модель преобразования, т.

аи = Xijlxj, (4.49)

где хц — поток продукции отрасли і в отрасль /.

Рассмотрим сначала идентифицируемость матрицы Леонтьева. Ограничимся идентификацией первого уравнения; причем для того чтобы не приводить громоздкие выкладки, будем рассматривать простейший случай двух- отраслевой модели. Прежде всего попробуем идентифицировать матрицу А по наблюдениям за несколько периодов времени

Xt = AXt, t = і ~ Т • (4.50)

или для первого уравнения

xlt = anxlt + а12х 2t. (4.51)

В литературе обычно указывается, что таким образом оценить коэффициенты матрицы А практически невозможно, так как количество наблюдений Т должно быть очень большим, а такой статистики за много лет не имеется; кроме того, матрица А изменяется с течением времени и т. д. В общем это все верно, но не в этом суть дела. Предположим, что Т достаточно велико (в нашем примере с двумя отраслями достаточно, чтобы Т ^ 3), что статистика о выпуске есть и что А = const в этом периоде. Запишем (4.51) в виде статистической модели

xlt = anxlt + a12x2t + Чи (4.52)

где Elt— случайная ошибка; предполагая, что Melt = 0 и D< < оо будем считать zlt — нормально распределенной случайной величиной.

Используя метод максимального правдоподобия в предположении, что случайная ошибка нормально распределена, приходим к оцениванию параметров уравнения (4.52) методом наименьших квадратов. Получаем 1

х

/21'h 24-W)2 \

\ І 4 * * '

Нетрудно видеть, что для второго уравнения будет получен аналогичный результат: а21 = О, а22 = 1. Подставляя эти результаты в (4.52) и во второе уравнение, получаем, что Bjf = 0 и е2* = 0, т. е. остатки — оценки значений случайных ошибок равны нулю для всех периодов наблюдения. Это значит, что результаты абсолютно «точные и надежные»; статистическая проверка не отвергнет эти результаты при любом, сколь угодно малом уровне значимости.

xlt = i-xlt x2t = l-x2t. (4.53)

Эти уравнения верны при любых зарегистрированных значениях объемов выпуска.

Абсурдность этого результата нельзя объяснить неверным выбором метода подгонки модели. Использование любой целевой функции, зависящей от остатков w( 0,0, ...о )^w(...,eti,...); о,

приведет к такому же результату. Модель «затраты-вы- пуск» в замкнутой форме (4.50) неидентифицируема ни при каких наборах эмпирических данных.

Рассмотрим теперь открытую модель «затраты-вы- иуск» (4.54)

X = АХ + Y, где Y — вектор, описывающий объемы потребления; предполагается, что значения этого вектора за ряд периодов наблюдения t = 1 ~ Т известны.

Перенося объем потребления в левую часть (4.54), получаем обычную на первый взгляд линейную регрес- сионную модель. Так для первого уравнения имеем следующую статистическую модель: (4.55)

vlt = anxlt + a12x2t + < здесь V = X — Y или vit = хп — уц.

Теперь оценки параметров ап и а12, полученные, например, методом наименьших квадратов, зависят от зарегистрированных значений переменных xt, yt. Так, оценка ап равна

2 xnx2t 2 х2іУи 2xlt 2 xitiju

аг1 = 1 +

При этом не обязательно ец — гц = 0.

Оценки элементов матрицы Леонтьева будут обладать всеми свойствами оценок метода наименьших квадратов, в частности будут несмещенными, если, конечно, выполняются стандартные предположения метода наименьших квадратов о законе распределения случайных ошибок Но эти предположения не выполняются; в частности, можно показать, что ошибки ... гц, ... завцсимы

в совокупности для каждого момента времени t. Для этого обратимся к выводу системы (4.54).

Исходным пунктом построения модели «затраты-выпуск» являются производственные функции с нулевой эластичностью замены и постоянной отдачей на масштаб (4.56) Мы уже отмечали ранее, что производственная функция (4.56) в модели «затраты-выпуск» постулируется; но ничто не обязывает конкретную экономику выполнять этот постулат; поэтому его совершенно необходимо проверять на конкретном эмпирическом материале, например, сравнивая с производственной функцией более общего вида, где отдача на масштаб и эластичность замены не зафиксированы априори.

Введем в (4.56) случайную ошибку.

225 При выводе модели «затраты-выпуск» делается предположение, что объемы ресурсов сбалансированы, т. е. объемы Xij используются полностью:

хц!аи = xkj/akj Для всех /• (4.58)

Если условие (4.58) выполняется, то для любого і можно, исходя из (4.57), записать

а>ірі = + atjtj- (4-59)

Суммируя (4.59) по всем видам продуктов j и учитывая конечное потребление ресурса і — уІУ получаем статистическую модель уравнений (4.54): 2

= 2 ХІЗ + 2 ЯіЯ » (4.60) 3

з з

хг = + У U (4.61)

3

откуда

= 2 ааЪ + У І — 2 aijey, (4.62)

з з

или в матричной форме

X - АХ + Y - Л0; (4.63)

0 — вектор случайных ошибок

Уравнение (4.62) нельзя оценить методом наименьших квадратов, так как распределение случайной ошибки зависит от неизвестных, подлежащих оценке параметров a,ij. Это значит, что оценивать надо сразу всю систему (4.63); но предварительно ее необходимо разрешить относительно 0:

0 - X - А-*Х + A-гУ = X - В(Х - Y) =

= X - BV, (4.64)

где В = А'1.

Для перехода от (4.63) к (4.64) необходимо наложить априорное ограничение на матрицу А:

det А ф 0. (4.65)

Кроме того, обычно полагают, что det (А — I) Ф 0.

Ограничения (4.65), вообще говоря, не вытекают из экономической теории; в условии (4.58) предполагается, что согласованы объемы Хц, но не накладывается никаких ограничений на технологические коэффициенты аг/. Кроме того, статистическая модель (4.64) отличается от (4.55), она позволяет оценить tie элементы матрицы А, а элементы обратной матрицы. Например, первое уравнение системы (4.64) записывается в виде

= bnvlt + b12v2t + elt. (4.66)

Модель (4.55) некорректна, так как для ее справедливости необходимо выполнение условия

2 ^ifi] ^ е j» j

что возможно либо при є j = 0, либо при условии, противоречащем (4.65): det (А — I) = 0. Предположение, что є j = 0 аналогично предположению

X* - AXt + Yt (4.67)

для всех t, что необязательно выполняется. Если вклю чить (4.67) в описание множества матриц, в котором проводится идентификация, то это множество может оказаться пустым.

Если оценена матрица, обратная матрице технологических коэффициентов, то возникает ряд технических проблем перехода к оценке матрицы А, так как в общем случае необязательно А = (В)~1 будет сколь-нибудь удовлетворительной оценкой матрицы А. Эти проблемы рас* сматриваются в литературе по идентификации экономет- рических моделей (см. например, [273], [343], [446] и др.).

Поскольку источником многих проблем идентификации является неудачная форма модели, рассмотрим еще один способ введения случайной ошибки в модель «затраты- выпуск». Предположим, что случайная ошибка входит в производственную функцию (4.56) не аддитивно (4.57), а следующим образом:

Xj = min I Xjj I (4.68)

Условия сбалансированности затрат приобретают теперь вид

—Ці— = У = ... = У = ... (4.69)

аіі + Є1і a2j + *Zj % +

Если эти условия выполняются, то для всех І и 7 можно записать

15*

227

OijXj + EijXj = Хф (4.70) Суммируя по / и учитывая (4.61), получаем следующую статистическую форму модели «затраты-выпуск»:

= 2 dijXj + 2 *i3X3 + У г- (4.71)

3 3

Эта модель не может быть идентифицирована методом наименьших квадратов (или некоторым аналогичным), так как единственным образом разрешить ее относительно матрицы случайных ошибок || ег-7-1| нельзя. Кроме того, отметим, что здесь, если Ф 0, то Мгц Ф 0; распределение случайной величины г^ зависит от неизвестного параметра а

Р rob {еи > — ciij} = 1.

(Это следует из (4.68) в силу неотрицательности выпуска Xj).

Представляется разумным использовать для оценивания ац и параметров распределения г^ уравнения (4.70). Действительно, эти уравнения можно записать в виде

Ч = (4.72)

хз

Для этого наблюдения получаем сразу оценку

(4.73)

хзі

Ха

ijt

На первый взгляд при таком подходе проблема идентификации модели «затраты-выпуск» решается довольно просто; причем поскольку в (4.73) входит только один параметр atj, реально имеющейся статистики за Т (5-4- -f-10) лет должно хватить для получения достаточно точных и надежных оценок. Дело, однако, и здесь обстоит сложнее. В условия сбалансированности затрат входят случайные ошибки; из этого следует, что &ij зависимы в совокупности и, следовательно, нельзя оценивать парамет-

Этим способом, по сути дела, и пользовался В. Леонтьев [247], но, конечно, ясно, что оценка (4.73) совершенно ненадежна: ее дисперсия либо бесконечна, либо неопределенна. В общем случае ищется оценка, минимизирующая некоторую функцию W(..., Eijt...): рьт аи по отдельности. Действительно, из (4.69) получаем

X•• X.:

гі5 = -У- ац — a{j + ДЛЯ всех і > 1, (4.74)

xi xi j

или

= cij +

где

Cij — Cij(Xfj, O-iji —

dij = d(j(xij, ^u) = xij/x^j.

Подстановка (4.74) в (4.72) для і Ф 1 приводит к равенству

^ij

~ + — 8ij = —» Xlj xij x3

которое не содержит a,ij. Таким образом, линейная зависимость между в ij для каждого фиксированного ] позволяет оценить только одну строку матрицы А. Этот результат остается справедливым, как нетрудно заметить, и в том случае, когда коэффициенты матрицы оценивают на основе некоторой факторной модели ([208], [477] и др.)

х. •

—an(t, w),

хз

где t — время, w — вектор факторов, влияющих на технологический коэффициент dij, например удельный вес основного продукта в выпуске отрасли, цены, энерговооруженности труда, фонд времени производственных рабочих и т. д. (см., например, [298, с. 182 и далее]).

В этом, как и в предыдущем, случае причина затруднений — условие сбалансированности затрат (4.58), которое накладывает связи на оценки коэффициентов матрицы А, в то время как на сами коэффициенты матрицы А это ограничение не наложено (оно описывает балансировку не dij, a Xij). Отказ от этого условия, видимо, необходимый для идентификации матрицы А, ведет к существенному изменению модели Леонтьева.

Все эти проблемы не существуют для уравнений межотраслевого баланса, так как здесь, по определению:

я ij = Но уравнения межотраслевого баланса — это уравнения состава, и их, как это уже отмечалось, нельзя использовать как уравнения преобразования для прогнозирования и планирования. В этом смысле совершенно бессмысленно ВЫЯСНЯТЬ, изменяются ЛИ CLij с течением времени: в уравнениях межотраслевого баланса эти коэффициенты отражают не технологию, а решения по распределению валового продукта. Уравнения состава и распределение находят основное применение в экономическом анализе, например, для выявления замкнутых циклов потоков продукции между отраслями, для определения народнохозяйственной в отличие от непосредственной структуры стоимости продукции [476], для определения коэффициентов косвенных и полных затрат (см., например, [6], [138], [247] и др.) и т. д.