Базовая основа анализа

Модель является сильно упрощенным вариантом, при котором общий объем производства Y в общине может использоваться либо для частного потребления (в расчете X на одно лицо), либо для общественного блага G в данной общине.

y~f(N) /gt;0,/'lt;0,              (17-1)

где /-»0 по мере того, как W-» 0, когда же N -»«gt;, то /-»«gt;, а / -» 0. На основании допущения о том, что все люди в общине идентичны и каждый из них рассматривается одинаково, агрегированное производственное ограничение дает:

Y- XN+ G=f(N).              (17-2)

Для фиксированного значения N это определяет множество потребительских возможностей, изображенное на рис. 17-1.

Допустим, что у индивидуумов одинаковы предпочтения, выраженные функцией полезности U(Xy б), где предполагается, что U является квазивогнутой кривой. Если правительство выбирает значение G, чтобы максимизировать U для некоего данного уровня N, то это даст точку касания на рис. 17-1. Условием для максимального значения U является

ux=nug

или

Рис. 17-1. Множество потребительских возможностей неизменяющегося населения.

м

NU0

(17-3)

что представляет собой обычный вывод о том, что сумма предельных норм замещения равняется предельной норме

преобразования (]jT MRS= MRT).

По мере увеличения N увеличивается объем производства и, следовательно, максимальный уровень общественных благ [поскольку / (N) gt; 0], а максимальный уровень потребления в расчете на душу населения (f(N)/N) уменьшается. Геометрическое место точек альтернативных возможностей переменной N является внешней огибающей геометрических мест точек альтернативных возможностей, фиксированной N (см.

(17-4)

f{N)-G - N gt;

условие первого порядка требует, чтобы

(17-5а)

Возрастание N >

Рис. 17-2. Множество возможностей для переменного населения.

ИЛИ

G-f- Nf.              (17-5b)

Второе из этих условий имеет интересную интерпретацию. Поскольку /' представляет предельный продукт труда, то /- Nf — это объем производства минус расходы на заработную плату, если рабочим выплачивается их предельный продукт. Таким образом, если уровень государственных расходов является постоянным, а показатель численности населения — переменным, то население, максимизирующее потребление на душу населения, является таким, что ренты равны расходам на общественные блага. Это умозаключение получило название «теоремы Генри Джорджа» (Стиглиц [Stiglitz, 1977]), поскольку налог на землю не только является неискажающим, но он также представляет собой и «единый налог», требуемый для финансирования общественного блага.

Свойства социального оптимума

Если мы теперь соединим вместе эти два элемента — вариацию значений G и вариацию значений N, тогда перед нами немедленно должна встать следующая проблема: геометрическое место точек переменной N, является выпуклой по отношению к началу координат (скорее, чем вогнутой, как это предполагается в отношении частных благ в обычной модели). Подробный пример представлен в Упр. 17-1. В итоге размер общины, при котором происходит максимизация полезности в расчете на душу населения, может быть нулевым, бесконечным или конечным, как показано на рис. 17-За и 17-ЗЬ. Если кривая безразличия является более «изогнутой», чем кривая, представляющая геометрическое место точек альтернативных возможностей, тогда существует «внутреннее» решение.

Полученные выводы можно соотнести с результатами по оптимальной численности населения. Если целью является максимизация полезности на душу населения, тогда только при потреблении частных благ происходит максимизация при наличии инфинитезимальной численности населения. С другой стороны, если бы присутствовали только общественные блага, максимизация полезности имела бы место при возможно наибольшей численности населения и мы бы получили национальное общественное благо. Если же индивидуумы ценят и частные, и общественные блага, тогда эти два эффекта уравновешивают друг друга.

Упражнение 17-1. Предположим, что производственная функция имеет форму уравнения Кобба—Дугласа /= Na. Опишите кривую, которая представляет собой геометрическое место точек возможностей, характеризующее вероятность расположения значений переменной N. Допустим, что

U(X,G) = ^G.              (17.6)

Что в этом случае можно сказать об оптимальном значении?

Даже если существует внутреннее решение, оно, возможно, не единственное, как это показано нарис. 17-Зг, где представлены две комбинации X, G (и, следовательно, N), которые дают локальные максимумы. Чтобы продолжить исследование, надо определить максимальный уровень полезности, который может быть достигнут для данного размера общины N через функцию V(N). Другими словами, это значение максимизируемого показателя, полученное в результате решения задачи с постоянной величиной N, с которой мы и начали:

V(N) = max [U(XJ№ - XN)j.

х              (17-7)

Дифференцируя              по              N и используя условие,              что              она              является

огибающей (т.е.              что              выбирается оптимальное              значение              X для

каждого данного значения N)

VW=Uatf-X) = amp;(Nf-NX).

Используя уравнение (17-2) и условие первого порядка (17-3)

rW-%ie-V-Nf)].              (179)

При внутреннем оптимуме для N., если Uxgt; 0, выражение в квадратных скобках, равно нулю, что дает уравнение (17-5Ь). Если мы теперь возьмем вторую производную и вычислим при значении F' = 0, то

Второе слагаемое внутри скобок имеет отрицательное значение; его величина зависит от эластичности замещения производственной функции. Из определения эластичности (ар) следует, что

(17-11)

Если мы у определим как долю государственных расходов в совокупном объеме производства, тогда в точке оптимума [что следует из уравнения (17-56)] получаем

(17-12)

С другой стороны, из карты безразличия (которую мы для удобства условимся считать гомотетичной) следует, что эластичность замещения вдоль кривой безразличия будет равна

(17-13)

dog N

dog (G/X) d [log у - log (1 - y) + log N\ “ dog N ~              dog              N

Так что (если f - dy/dN)

(17-14)

Из этого следует, что

(17-15)

где последним этапом является подстановка из уравнений (17-14) и (17-12). Объединив все элементы уравнения (17-11), (17-12) и (17-15) и осуществив подстановку в (17-10), получим:

(17-16)

Если значение асар везде будет меньше 1, то это исключает локальный минимум и, следовательно, случаи, подобные показанному на рис. 17-Зг (где между двумя максимумами есть локальный минимум). Это подтверждает сделанное ранее предположение о том, что дополняющие товары в потреблении (малая величина ас) повышают кривизну карты безразличия, и говорит о тенденции, ведущей к единственному внутреннему решению. Выясняется, что высокая дополняемость в производстве (низкий показатель ор) имеет те же последствия, поскольку это приводит к

Рис. 17-3. Оптимальный размер населения: а) оптимальная численность населения равна нулю; б) оптимальное население бесконечно; в) оптимальный размер населения имеет конечное значение N; г) оптимальный размер населения имеет конечное значение, множественные локальные оптимумы.

выполаживанию кривой, представляющей геометрическое место точек возможностей, характеризующее вероятность[231].

В ходе анализа мы придерживались предположения о том, что предложение труда является неэластичным, но результаты можно легко распространить на другие случаи, и теорема Генри Джорджа остается действительна. Эти вопросы мы оставляем на рассмотрение читателя (см. работу Стиглица [Stiglitz, 1977, с. 281]).