ПРИЛОЖЕНИЕ Логнормальное распределение, относительный доход и доходность за базовый период Джон Ф.Маршалл, доктор философии

Понятия логнормального распределения, относительного дохода и доходности за базовый период оказываются особенно важными при создании методов ценообразования опционов. Их знание также необходимо при анализе портфеля, особенно в многопериодном случае, и в других весьма важных для финансовых инженеров областях.

Мы начнем с того, что обозначим через R (В,Е) относительный доход, полученный делением конечной суммы в момент Е на начальную сумму в момент В. Рассмотрим простой пример. Предположим, что инвестор приобретает актив, не предусматривающий периодических выплат, в момент 0 по цене Р (0) и владеет им до момента Т, в который цена актива становится равной Р(Т). Тогда относительный доход, полученный по формуле Р (Т)/Р (0), равен R (0,Т). С другой стороны, для актива, предусматривающего периодические выплаты, мы можем считать, что всякий периодический доход по этому активу тут же реинвестируется в дополнительное количество того же актива, так что конечная стоимость активов полностью отражает стоимость всех порожденных инвестицией доходов. Если мы обозначим стоимость инвестиции в начальный момент через Р(0), а стоимость инвестиции в конечный момент через Р(Т), то мы вновь получим ту же формулу, т. е. R (0,Т) по-прежнему равняется Р (Т)/Р (0).

Мы будем предполагать, что в момент 0 известна цена Р(0), но не Р(Т). Иными словами, Р(Т) в момент 0 рассматривается как случайная величина. Из этого вытекает, что R (0,Т) также случайная величина.

Доходность за базовый период длиной в Т, определенная как эффективная ставка и обозначенная далее через г (Т), связана с относительным доходом R (0,Т) посредством формулы

г(Т) = R(0,T) — 1,              (5.Л.1)

а доходность за базовый период длиной в Т при непрерывном начислении процентов, обозначенная далее через гс(Т), связана с относительным доходом посредством следующей формулы:

ГС(Т) — In [R(0,T)\.              (5-Л.2)

Из этого с учетом того, что ехр является обратной функцией к In, вытекает, что г(Т) и гс(Т) связаны между собой следующим образом:

г(Т) = ехр [гс(Т)\ - 1;              (5.Л.З)

г, (Т) = In [I + r(0).              (5.А.4)

Так как относительный доход является случайной величиной, /• (Т) и гс(Т) также случайные величины.

Распределение случайных величин Р(Т), R(0,T), г(Т) и гс(Т)

Нам понадобятся некоторые знания о свойствах распределений рассматриваемых нами четырех случайных величин Р (Т), R (0,Т), г(Т) и гс(Т).

В предположении, что стохастический процесс динамики цен является стационарным и что последовательные изменения цен взаимно независимы, цены активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, должны подчиняться логнормальному распределению1. Если это так, то относительный доход должен иметь логнормальное распределение, эффективная доходность за базовый период также должна иметь логнормальное распределение со сдвигом влево на единицу, а доходность за базовый период при непрерывном начислении процентов должна иметь нормальное распределение2.

Хотя нельзя надеяться, что приведенные ранее исходные предположения в точности выполняются во всех реальных рыночных ситуациях, тем не менее, можно ожидать, что описанные распределения достаточно хороши как первое приближение в случае активов, которыми торгуют на конкурентных рынках аукционного типа. Это, как правило, верно для длинных рассматриваемых периодов3. Исходя из этого мы будем предполагать, что описанные распределения полностью удовлетворяют всему спектру возможных периодов и инвестиционных горизонтов. Случайные величины г (Т) и гс(Т) с нормальным и логнормальным распределением, соответственно, полностью описываются (в статистическом смысле) своим средним и дисперсией. Эти два распределения изображены на рис. 5.Л. 1 и 5.А2 соответственно.

(нормальное)

Рис. 5.Л.1. Распределение г(Т)              Рис.              5.А.2. Распределение rJT)

(логнормальное)

Плотность

вероятности

Плотность

вероятности

Логнормально распределенная величина г(Т)

-I

Так как логнормальное распределение, к сожалению, асимметрично, его статистические параметры сложно использовать для оценки доверительных интервалов или проверки гипотез. Выход состоит в преобразовании среднего и дисперсии логнормального распределения, обозначенных как р (Т) и о2(Т) соответственно, в статистически эквивалентные среднее и дисперсию нормального распределения г (Т), обозначенные соответственно \ic(T) и о2(Т).

Используя следующие соотношения, мы можем переходить от среднего и дисперсии величины г (Т) к среднему и дисперсии величины гс(ТУ:

\1С(П = 2              1п[1 + \1(Т)} - '/, In \о2(Т) + [1 + \У(Т)\2}-              (5./4.5)

о2(Т) = In {1 + {о(Т)/[\ + ц(Т)]}2).              (5.4.6)

С помощью следующих соотношений мы можем двигаться в обратном направлении:

(i (Т) = exp [це (Т) + '/2 о2(Т)\ - 1;              (5.АЛ)

с2(Т) = ехр              [2 цс (Т) + 2 с;(Т)\ - ехр [2 цс (Т) + с2(Т)].              (5.4.8)

Это, очевидно, поможет нам успешно разобраться в следующем содержательном примере. Пусть оценивание среднего для эффективной доходности за период для 5-летнего инвестиционного горизонта дает значение 0,40, а дисперсии — 0,36 (и поэтому стандартное отклонение равно 0,60). Наша цель — определить для данной случайной величины 90%-ный доверительный интервал.

Прежде всего, используя формулы (5.4.5) и (5.4.6), мы должны преобразовать величины ц (Т) и аг(Т) в их эквиваленты для нормального распределения: \ie(T) и о2(Т). Вычисления дают значения 0,2522 и 0,1686 для величин \ic(T) и о2(Т) соответственно. Таким образом, мы приходим к заключению, что г/Т) имеет нормальное распределение со средним 0,2522 и дисперсией 0,1686. Стандартное отклонение для этой случайной величины равно 0,4106. Границы 90%-ного доверительного интервала для нормально распределенной случайной величины определяются ее средним плюс-минус стандартное отклонение, умноженное на 1,64s. Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для доходности за период при непрерывном начислении процентов задается границами \зс(Т) ± 1,64 ас(Т), т.

г(Т)и = ехр [г (Т)и ] - 1 и r(T)t = exp [rc(T),\ - 1.

Итак, 90%-ный доверительный интервал для эффективной доходности за период имеет верхнюю границу 1,5234, или 152,34%, и нижнюю границу -0,3437, или -34,37%.

Показатели дохода имеют множество других важных свойств, но мы отложим их изучение на более поздний срок.

Примечания

'Для более подробного обсуждения логнормальности поведения цен, относительных доходов и доходностей за базовый период см.Marshall (1989) и Aitchison and Brown (1957).

2Там же.

’В работе Granger and Morgenstern (1970) приводятся эмпирические данные (вплоть до 1970 г.) относительно вероятностных свойств стоимости ценных бумаг. Дальнейшая работа подкрепила предыдущие результаты, полученные для активов других типов. А именно, доходы по ценным бумагам продемонстрировали наличие асимметрии и ненулевой эксцесс. Однако в большинстве случаев эти отклонения от ожидаемого поведения не столь серьезны, чтобы отказываться от логнормального и нормального распределения как первого приближения для эффективных доходов и доходов с непрерывным начислением процентов соответственно.

4См. Aitchison and Brown (1957).

“Для нормального распределения доверительные интервалы располагаются симметрично относительно среднего. Приведенные параметры даны для 90%-ного доверительного интервала и могут быть найдены по таблицам нормального распределения.

Ссылки

Aitchison, J. and J.A. Brown. The Lognormal Distribution, Cambridge, MA: Cambridge Press, 1957.

Granger, C.W.J. and O. Morgenstern. Predictability of Stock Market Prices, Lexington, MA: Heath, 1970.

Marshall, J.F. Futures and Option Contracting, Cincinnati, OH: South-Western, 1989.