Измерение риска портфеля ценных бумаг

На практике риск портфеля, который сам по себе может рассматриваться как одиночный, изолированный финансовый актив, измеряется с помощью среднеквадратического отклонения его доходности.

Среднеквадратическое отклонение (СКО) портфеля

Здесь Q p- среднеквадратическое отклонение портфеля; k - его

доходность в i - м состоянии экономики; k - ожидаемая (средняя) доходность портфеля, а P - вероятность наступления i - го состояния. Расчет

СКО портфеля производится точно так же , как и в случае среднеквадратического отклонения одиночного актива, за исключением того, что здесь портфель (например, взаимный фонд) ценных бумаг рассматривается как единый актив, имеющий свою доходность.

Ковариация и коэффициент корреляции

Для ключевых понятия в анализе портфелей ценных бумаг: 1) ковариация и 2) коэффициент корреляции. Ковариация - это показатель, учитывающий как изменчивость (волатильность) доходности акций или портфелей, так и тенденцию их доходности к росту или снижению по мере того, как растет или снижается доходность других акций или портфелей. Следующая формула определяет ковариацию доходности активов А и В (формула 6.2)

Первый член в скобках после знака суммы - это отклонение доходности акции (портфеля) А в i - м состоянии экономики от ее среднего значения; второй член - это отклонение доходности В при тех же условиях; P - как и ранее, наступления i - го состояния.

Важно отметить следующее.

1. Если доходность акций (портфелей) А и В склонны изменяться (расти или падать) сонаправленно, то оба сомножителя в скобках при каждом состоянии экономики будут положительными или оба отрицательными, иначе говоря, если k больше своего ожидаемого значения k_A, то k будет больше k_B , и наоборот.

174

положительным. Если же их доходности изменяются в противоположных направлениях, произведение и значение ковариации, вероятно, будет отрицательным. Если же доходности активов колеблются случайным образом, то произведение будет то положительным при некоторых i, то отрицательным, а сумма произведений будет близка к нулю, поскольку положительное и отрицательное значения будут стремиться компенсировать друг друга. Это означает, что Cov (АВ) может быть как положительной, так и отрицательной, но малой по абсолютной величине.

2. Если доходность акции А или акция В претерпевает большие колебания, то ее СКО Q будет большой, отклонения от среднего значения будут большими по абсолютной величине, произведения будут также большими, как и величина ковариации Cov (АВ). Однако Cov (АВ) может оказаться и малой по величине, даже если Q_Aи/или Q_B будут высокими, если доходности А и В изменяются случайным образом, а положительные и отрицательные члены формулы взаимно компенсируются.

3. Если любая из акций имеет нулевое среднеквадратическое отклонение, т.е. не является рискованной, то все ее отклонения ki- k, будут нулевыми и Cov (АВ) также будет нулевой. Аналогично, если один из активов не полностью лишен риска, но имеет относительно малую его величину, то его отклонения будут также малы, и это также приведет к малости абсолютной величины Cov (АВ).

Таким образом, значение Cov (АВ) будет большим и положительным, если два актива имеют большие СКО доходностей и склонны изменяться сонаправленно; оно будет большим и отрицательным для активов, имеющих высокие Q и движущихся навстречу друг другу; оно будет небольшим, если доходности активов изменяются случайным образом или если любой из активов имеет малое среднеквадратическое отклонение.

В представленной далее табл.

Знак минус указывает на то, что доходности F и G склонны изменяться в противоположных направлениях, что соответствует графику b на рис. 6.1.

Таблица 6.1.

Распределение доходности акций E, F, G, H

Величину ковариации обычно оказывается довольно сложно интерпретировать, и поэтому для измерения степени совместного изменения переменных чаще используется другой показатель - коэффициент корреляции, уже введенный нами ранее. Коэффициент корреляции стандартизует ковариантность при делении на произведение, что облегчает сравнения при применении аналогичной шкалы. Коэффициент корреляции r вычисляется для переменных А и В следующим образом (формула 6.3):

Знак коэффициента корреляции тот же, что и знак ковариации, поэтому знак «плюс» означает, что переменные изменяются в одном, а знак «минус» - что в противоположных направлениях. Если значение r близко к нулю, то это означает, что зависимость между переменными слабая. При этом можно показать, что коэффициент корреляции лежит в пределах от -1,0 до +1,0, тогда как ковариация может быть потенциально неограниченной.

В нашем случае коэффициент корреляции между доходностью F и G равен (с точностью до округления) -1,0:

Говорят, что эти акции коррелируют совершенно отрицательно. Как показано на графике b рис. 6.1, линия регрессии доходностей таких активов имеет отрицательный наклон и все точки диаграммы лежат точно на линии. Если все точки находятся на прямой, r равен 1,0, если прямая наклонена вверх, и -1,0, если прямая наклонена вниз.

176

В свою очередь коэффициент корреляции между доходностью F и H составляет + 0,9.

положительная зависимость - их линия регрессии наклонена вверх, но не все точки, представленные на графике с рис. 6.1., лежат на этой линии. В общем, чем ближе точки расположены к линии регрессии, тем выше абсолютное значение коэффициента корреляции.

Случай с двумя активами

В заключение этого параграфа отметим, что если распределения доходностей ценных бумаг являются нормальными, то можно использовать следующее выражение для риска портфеля, состоящего из двух активов (формула 6.4):

Здесь о_А - это доля средств портфеля, инвестированная в актив А, а 1 - о_А - соответственно доля портфеля, инвестированная в В. Заметьте, что при ®_А=1 формула приобретает

6.2.