ПЕРЕДОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ

Вычисление «греческих символов»

Нам уже известно, что соотношение для определения дельты является побочным продуктом модели Блэка-Шоулза;

Передовые математические концепции

1129

А = N(dl)

Каждый из факторов риска может быть получен аналитически, если взять подходящую частную производную от цены опциона.

/ г \/ - "Л

Inl-) / vVt + ——

S X (I + г)1

2

Г =

X

pv V 2к\

Однако существует более простой и, тем не менее, корректный способ получения гаммы. Дельта является частной производной от стоимости опциона (по модели Блэка-Шоулза) по цене акции, т.е. относительная величина изменения цены опциона при изменении цены акции. Гамма — это относительное изменение дельты при изменении цены акции. Поэтому гамму можно аппроксимировать, используя следующую процедуру:

1- вычислить дельту, полагая параметр р равным текущей цене акции,

2. положить р = р + 1 и пересчитать дельту,

3. гамма = дельта из шага 1 — дельта из шага 2.

Подобную процедуру можно использовать для нахождения других факторов риска:

Вега: 1. Вычислить цену опциона при конкретной волатильности.

2, Вычислить другую цену опциона при волатильности, увеличенной на 1%.

3. Вега ~ разность цен из шагов 1 и 2

Тета: 1. Вычислить цену опциона при текущем времени до истечения срока.

2. Вычислить цену опциона при времени до истечения срока на I день меньше.

изо

Передовые концепции

3.

Ро: 1. Вычислить цену опциона при текущей безрисковой процентной ставке.

2. Вычислить цену опциона при ставке, увеличенной на 1%.

3. Ро = разность цен из шагов 1 и 2

Гамма гаммы

Обсуждение этого фактора было ранее отложено, так как он труднее для понимания. Ему мы решили также уделить некоторое внимание, так как встречаются трейдеры, которые иногда прибегают к его использованию. Читатели, не заинтересованные в более близком знакомстве с этим фактором, могут пропустить этот раздел.

Напомним, что речь идет о шестом факторе риска для произвольной опционной позиции. Гамма гаммы является величиной, характеризующей изменение гаммы при изменении иены акции

Напомним, что ранее при обсуждении гаммы говорилось о том, что гамма меняется. Следующий пример основывается на примере, уже использовавшемся ранее.

Пример. Предположим, что акции XYZ стоят 49, а колл «январь, 50» имеет дельту 0,50 и гамму 0,05. Если цена акции возрастет на I пункт до 50, то дельта колла увеличится на величину гаммы, т. е. с 0,50 до 0,55. Приближенно можно считать, что если цена акции возрастет еще на 1 пункт до 51, то дельта увеличится еще на 0,05 до величины в 0,60.

Очевидно, что дельта не может постоянно увеличиваться на 0,05 каждый раз, когда цена акции возрастает на 1 пункт, так как в таком случае она рано или поздно превысила бы 1,00. Поэтому становится понятным, что гамма должна меняться.

На самом деле гамма уменьшается по мере того, как цена акции удаляется от страйка. Так, при цене акции 51 гамма, возможно, будет равна лишь 0,04. Поэтому если цена акции повысится до 52, то дельта колла возрастет только на 0,04 и станет равной 0,64. Следовательно, гамма гаммы равна —0,01, так как гамма уменьшилась с 0,05 до 0,04, когда цена акции повысилась на 1 пункт.

Передовые математические концепции

mi

По мере того как цена акции продолжает возрастать, гамма становится все меньше и меньше. В конце концов по достижении ценой акции уровня 60 дельта практически становится равной 1,00, а гамма - 0,00.

Это изменение гаммы при изменении цены акции и определяет гамма гаммы.

Пример. Акции XYZ стоят 313/л пункта, а факторы риска принимают следующие значения: Позиция Опционная Опционная Опционная Позиционная дельта гамма гамма гаммы гамма гаммы 4500 коротких акций XYZ 1,00 0,00 0,0000 0 100 коротких коллов 0,89 0,01 -0,0015 -15 «XYZ, апрель, 25» 50 длинных коллов 0,76 0,03 -0,0006 - 3 «XYZ, апрель, 30» 139 длинных коллов 0,74 0,02 -0,0003 - 4 «XYZ, июль, 30» Общая гамма гаммы -22 Напомним, что в том же примере, использовавшемся для интерпретации гаммы, позиция оказывалась дельта-длинной по 686 акциям и имела положительную гамму в 328 акций. Далее, теперь можно видеть, что сама гамма будет уменьшаться при возрастании цены акции (гамма гаммы отрицательна) и увеличиваться при падении цены акции. Как ожидается, при изменении цены акции на 1 пункт позиционная гамма будет увеличиваться или уменьшаться на величину в 22 акции.

Таким образом, при движении цены акции XYZ на I пункт вверх должно произойти следующее:

а) дельта увеличится с 686 до 1014 (на величину гаммы),

1132

г

Передовые концепции

б) гамма уменьшится с 328 до 306, свидетельствуя о том, что дальнейшее движение вверх на 1 пункт цены акции приведет к увеличению дельты меньшего размера.

Можно построить общую картину того, как гамма гаммы изменяется в различных случаях - для опционов «в деньгах» и «без денег», для разных периодов до истечения срока. В следующей таблице для двух индексных коллов — «январь, 350» с одним месяцем до истечения срока и «декабрь, 350» с 11 месяцами до истечения срока — приводятся дельта, гамма и гамма гаммы при различных ценах индекса.

Цена Колл «январь, 350» Колл «декабрь, 350»

индекса Дельта Гамма Гамма гаммы Дельта Гамма Гамма гаммы 310 0,0006 0,0001 0,0000 0,3203 0,0083 0,0000 320 0,0087 0,0020 0,0004 0,3971 0,0082 0,0000 330 0,0618 0,0100 0,0013 0,4787 0,0080 -0,0000 340 0,2333 0,0744 0,0013 0,5626 0,0078 -0,0001 350 0,5241 0,0309 -0,0003 0,6360 0,0073 -0,0001 360 0,7957 0,0215 -0,0014 0,6984 0,0067 -0,0001 370 0,9420 0,0086 -0,0010 0,7653 0,0060 -0,0001 380 0,9892 0,0021 -0,0003 0,8213 0,0052 -0,0001 На основании таблицы можно сделать определенные выводы, не все из которых на первый взгляд очевидны. Прежде всего, гамма гаммы для долгосрочных опционов очень мала.

Передовые математические концепции

1133

Можно ли разобраться в свойствах этого фактора риска до конца, не проделывая сложных математических расчетов? Думается, что можно. Отметим, что дельта начинает с очень небольших значений, когда опцион имеет глубоко «без денег». Затем она возрастает — сначала медленно, затем все быстрее, пока не окажется чуть ниже 0,60 для опциона «при деньгах». С этого момента она продолжит свой рост, но значительно медленнее, когда опцион становится «в деньгах». Эту динамику дельты можно проследить и с помощью гаммы. Гамма - это изменение дельты, поэтому она начинает медленно возрастать, далее этот рост усиливается по мере приближения индекса к страйку, а затем начинает уменьшаться, когда опцион становится «в деньгах», всегда оставаясь положительной, поскольку дельта может изменяться при росте цепы индекса только в положительном направлении. Наконец, гамма гаммы определяет изменения гаммы, поэтому она также сначала является положительным числом, и, пока гамма растет, она остается положительной, но, когда гамма начинает убывать, гамма гаммы начинает принимать отрицательные значения.

В целом, гамму гаммы используют лишь опытные трейдеры, притом в отношеЕШи крупных опционных позиций, для которых пе очевидно, что будет происходить с гаммой при изменении цены акции. Трейдеры часто имеют представление о дельте своей позиции. Более того, они даже чувствуют, как будет меняться дельта при движении цепы акции (т. е. они осознают, какова гамма). Но также опытные трейдеры хорошо знают и то, что даже позиции с нулевыми значениями и дельты, и гаммы на момент их организации могуг со временем стать дельта-длинными или дельта-короткими. Именно гамма гаммы может помочь трейдеру узнать, как скоро и в какой степени это произойдет.

Измерение отклонений прогнозируемых волатильностей от среднего

Ранее при обсуждении прогнозируемой волатильности было показано, что если трейдеру удается распознать ситуацию, в которой различным опционам на одну и ту же ценную бумагу соответствуют существенно различающиеся прогнозируемые вола-тильности, то возможно существование привлекательного нейтрального спрэда. В этом случае важно определиться в том, какие

1134

Передовые концепции

расхождения между опционами следует считать существенными, чтобы на них следовало обратить внимание. И существует ли простой способ (разумеется, с использование компьютера) определения этого?

Логично было бы использовать следующий подход. Для набора всех индивидуальных прогнозируемых волатильностей находится стандартное отклонение. Далее это стандартное отклонение выражается в процентах в результате его деления на общую прогнозируемую волатильность акции. Если этот процент достаточно большой, то возможно существование благоприятного для трейдера спрэда между разными опционами на эту базовую акцию. Поясним эту процедуру на следующем примере.

Пример. Акции XYZ стоят 50. В следующей таблице приводится перечень существующих опционов вместе с их наведенными волатильностями. Стандартное отклонение этих прогнозируемых волатильностей рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение - корень квадратный из суммы квадратов отклонений от среднего/(число опционов — I)

Цена акции XYZ - 50 Опционы Прогнозируемая волатильность Отклонение от среднего Колл «октябрь, 45» 25% -9,44 Колл «ноябрь, 45» 25% -9,44 Колл «январь, 45» 23% -7,44 Колл «октябрь, 50» 32% +1,56 Колл «ноябрь, 50» 30% -0,44 Колл «январь, 50» 28% -2,44 Колл «октябрь, 55» 40% +9,56 Колл «ноябрь, 55» 37% +6,56 Колл «январь, 55» 34% +3,56 Среднее - 30,44% Сумма квадратов отклонений от среднего = 389,26

Передовые математические концепции

1135

Стандартное отклонение = корень квадратный из (389,26/8) = 6,98.

Эта величина дает грубую оценку стандартного отклонения прогнозируемых волатильностей. Для целей сравнения лучше использовать другую величину, которая получается в результате деления этой оценки на среднюю прогнозируемую волатильность.

Процентное стандартное отклонение =

стандартное отклонение средняя прогнозируемая волатильность

- 6,98/30,44 = 23%

Это процентное стандартное отклонение обычно считается значительным, если оно превосходит 15%. Это значит, что если разным опционам соответствуют прогнозируемые волатильности, которые между собой значительно различаются, так что они в результате необходимых расчетов дают процентное стандартное отклонение выше 15%, то трейдеру следует обратить внимание на сложившуюся ситуацию и попытаться организовать нейтральный спрэд с этими опционами.

Предложенную процедуру можно несколько уточнить использованием вместо простого среднего — взвешенного среднего для разных опционов (принимая во внимание такие факторы, как торговый объем и расстояние от текущей цены до страйка). Разобраться в этом мы предоставляем читателю.

Компьютер может осуществлять при необходимости большое количество расчетов по модели Блэка-Шоулза за короткое время. Поэтому он может вычислить наведенную волатильность для каждого опциона, а затем заодно рассчитать и процентное стандартное отклонение. Трейдеру, заинтересованному в организации такого типа нейтрального спрэда, останется лишь просмотреть список процентных отклонений и выбрать среди них кандидатов на осуществление спрэда. В каждый конкретный день список довольно короток - в нем присутствует, возможно, около 20 акций и 10 фьючерсных контрактов.

1136

Передовые концепции