Обоснование алгоритма

Для обоснования первых двух шагов алгоритма достаточно доказать следующие утверждения.

Предложение 1. Еслито показатели неза

висимы.

Предложение 2. Еслиявляется ненулевым многочленом от переменныхкоторый при подстановке

= 1, k, обращается в нуль.

Переход к третьему шагу алгоритма обусловлен неравенствами Из ^ _следует, чтолюбой минор порядка k матрицы Mi (y) равен нулю, в частности,. Значит, для

обоснования третьего шага в случае r = k достаточно убедиться, что Δ j отличен от нуля как многочлен отЭто, однако, вытекает из

самого выбора минора Δ j , являющегося при r = k ранговым минором матрицы M_I.

Таким образом, для завершения обоснования алгоритма остается рассмотреть случай r < k.

Предложение 3. Пусть ранговый минор матрицы Mi расположен в столбцахЕсли r < k, то r = k - 1, а определитель

отличен от нуля как многочлен оти обращается в нуль при

подстановке

Доказательство предложений 1-3 опирается на ряд лемм.

Лемма 1. Пусть X₁,..., X_n - независимые переменные,

= 0, ..., n - действительные константы,

m > n, то У1,..., y_m зависимы.

Доказательство. Если бы J₁, ...,y_m были алгебраически независимы, то степень трансцендентности содержащего их поля R(X₁,..., x_n) была бы больше n, что противоречит теореме о равномощности всех базисов трансцендентности данного поля [6].

Лемма 2. Определитель матрицы

Лемма доказывается последовательным разложением каждой из строк матрицы M в сумму соответствующих строк матриц A и BT, где T - диагональная матрица с ti,., t_m на диагонали. Из этой леммы вытекает следующее утверждение.

Следствие. Если показатели J₁,.,У_т зависимы, а всякое их собственное подмножество независимо, то любой из них можно выразить как дробно-линейную функцию переменных, являющихся произведениями остальных показателей У1,..., Уі _-1, Уі +1,..., У_т, входящих в каждое произведение не более чем по одному разу.