МОНОПОЛИЯ И ЗАПЛАНИРОВАННОЕ СТАРЕНИЕ

Во-первых, предположим, что монополист может связать себя последовательностью цен, или, что эквивалентно, он может сдать товар в аренду.

Картина коренным образом меняется в случае продажи (отсутствие обязательств). Тогда, снижая долговечность, монополист сокращает количество товара, переносимого в следующий период, увеличивая остаточный спрос следующего периода и тем самым цену. Иначе говоря, сокращение долговечности является способом принятия обязательства по снижению завтрашней цены, которое заставляет покупателей покупать сегодня. (Когда монополист может непосредственно принять такое обязательство, этот эффект не имеет значения. Поэтому не существует моментов, искажающих решение о долговечности). Мы видим, что монополист имеет стимул выбрать долговечность ниже той, которая минимизирует затраты производства во времени, т.

Следующее упражнение (составленное по [19]) придает этим идеям несколько более формальный характер.190

Упражнение 1.10**. Рассмотрим предыдущую двухпериодную модель (в которой товар устаревает по истечении двух периодов). Введем постоянные удельные затраты производства С\(х) в первом периоде и с2 во втором периоде: х есть вероятность, что товар, купленный в первом периоде, еще годен к использованию во втором. Таким образом, если ^ — производство первого периода, —

число единиц долговечного товара примерно в момент 2, находящихся в наличии до дальнейшего производства его монополистом. (Допустим, что ^ > о, с" > 0, а с^О) «мало» и <^(1) «велико», чтобы получить внутреннее решение). 1.

Покажите, что, если монополист сможет обязать себя, он выбирает минимизирующую затраты долговечность: с^ж) = 6с2• 2.

Покажите, что, если монополист не может обязать себя, долговечность является субоптимальной:

где p2{xq\) — выбранная монополистом во втором периоде цена, дающая равенство остаточного спроса и спроса за вычетом существующего запаса (г^). Поясните.

Таким образом, выбор долговечности изменяется в отсутствие обязательств. Другое искажение в результате технологического выбора, также отмеченное Бю- лоу, относится к инвестициям. Допустим, например, что монополист — производитель долговечных товаров выбирает между неосуществлением инвестиций сегодня — с несением высоких предельных затрат во все будущие периоды — и инвестированием с целью снижения предельных затрат. Монополист может выбрать отсутствие инвестиций при отсутствии обязательств, тогда как он осуществлял бы инвестиции, если бы мог это обязательство дать.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Упражнение 1.1 1.

IVе равняется излишку потребителя плюс прибыль:

Максимум, конечно, достигается посредством ценообразования на основе предельных затрат: р — с. Это дает

ДЛЯ ? > 1.

2.

Благосостояние при монополии, И^т, связано с ценой рт = с/( 1 — 1/^)- Некоторые вычисления дают

> 0. 3.

Утомительные вычисления показывают, что WL немонотонна по е. Такой результат не очень поучителен, так как размер рынка уменьшается с уменьшением е. Следует заметить, что

^ = 1 - т,

где 1п К(е) = 1п (2Е - 1)~ 1п (? - 1) - ? 1п ? + ? 1п - 1).

Следовательно,

#'00 2 1 ? , , —

— 1 — 1П? + + 1п(? — 1),

К (є) 2є — 1 є — 1 є — 1

К'(е) 2 ..А-Л

Л'(є) 2є - 1 \ є )

Легко показать, что правая сторона последнего равенства возрастает по ?, и поэтому она достигает своего максимума, равного нулю, при е — + оо. Таким образом, К'(Е) < 0 и — возрастающая функция Е.

Наконец,

с1'6

ТТт = ?~е

(г-1)1-' ’

так что

Пт ?~е

IV* (?-1)~е'

Правая часть последнего равенства возрастает по Е.

Упражнение 1.2

Монополист назначает рт ~ I. Потребленное количество равняется числу покупателей и является таким же, что и в условиях ценообразования по предельным затратам. Монопольное ценообразование просто передает излишек потребителя (I — с) фирме.

(Чувствительность цены к предельным затратам здесь такая же, как и на конкурентном рынке, несмотря на то что эластичность спроса не равна бесконечности). 2.

Только когда эластичность спроса постоянна, чувствительность цены к предельным затратам жестко связана с эластичностью спроса. Это легко можно увидеть из уравнения монопольного ценообразования:

р = Р(Ч) = 0 + 1

1- 1/?(?)'

Для основных функций спроса эластичность спроса меняется с «размером» рынка (который зависит не только от рыночных условий, но также от уровня налога).

Упражнение 1.4

Пусть Л(р) = р1Э(р) = р1-с. Условие первого порядка:

Д'(р) - С'(?>(р))?>'(р) = 0.

Условие второго порядка:

Я"(р) - С"(Д(р))[0'(р)]2 - С'(?>(р))?>"(р) < 0.

Квазивогнутость достигается, если условие второго порядка выдерживается для любого р, удовлетворяющего условию первого порядка. Значит, подставляя условие первого порядка в условие второго порядка, получаем

Д"(Р) - С'ЧКЫ)^?)]2 _ д'(^"(р) < о.

Второй член последнего неравенства отрицательный. Следовательно (используя тот факт, что Я'(р) < 0 из условия первого порядка), оно удовлетворяет

Д"(р) Р"(р)

Д'(р) О'(р) •

Это можно легко проверить, используя логарифмические производные.

Если ? < 1, тогда Л*(р) > 0. Таким образом, условие первого порядка не имеет решения (оптимальная цена и монопольная прибыль бесконечны).

Упражнение 1.5

д1 = д2 = П(р1 + рг). Уравнение (1.6) может быть записано для всех г как

Приняв С = С\ + С2 и суммировав два равенства, имеем

~ дЪ ОС дЪ

Р др - дц др'

•$Т '

Упражнение 1.6 1.

Ограничение мощности необязательно для небольшого непикового спроса. Следовательно, предельные затраты производства равняются с, что дает

) = с‘ Для пикового спроса предельные затраты равны с + 7. Следовательно, МЯ2(р?) = с + 7- выдерживается до тех пор, пока ограничение ^Мр*) < ^2(р$) необязательно, т. е. до тех пор, пока непиковый спрос (Л) мал. 2.

Для большого непикового спроса ограничение 0\{р\) < ?)2(р2) обязательно. Разница между непиковым и пиковым спросом в некотором смысле расплывчата, потому что оба типа спроса ограничены мощностью. В оптимуме небольшое увеличение МОЩНОСТИ соответствует снижению И Р1, И Р2, так что новая мощность может использоваться в обоих состояниях спроса. Монополист максимизирует

^1(^1)+ #2(р2) “ (с+ 2) + ^(Рг)]

при ограничении 0\(р\) = й2(р2)• Используя условия Куна—Таккера (или, проще, максимизируя по выпуску, а не по цене), получаем

р1(1-^)+р2(1-^)=2с + 71

где ?\ и ?2 — эластичности спроса. Это уравнение вместе с О^р^) = 02(р2) дает Р1 ирг (заметьте, чтор] < р2). Например, для ?>1^1) = а1р^е и 02(р2) — а2р2? (где Л = а\/а2 < 1)

_2л4- 7

Р2_ (1-1/?)[1 +(а,/ог)>/‘)'

Упражнение 1.7 1.

Для формального доказательства используйте теорию оптимального управления Портнягина (см., например [4, 26, 39, 42]). Предположение об условиях оптимальности состоит в следующем. Увеличение д(?) на (1ц в момент t приносит МЯ(д(<))йд в терминах дохода. Это увеличивает текущие затраты на с(и(0)<*д. Это также увеличивает опыт во все периоды 5 > 2 на dq, что сокращает единичные затраты на Воздействие оказывается на число единиц 9(5) (можно не принимать в расчет изменение в 9(5), когда используется эквивалент теоремы об огибающей). Предельная выручка должна равняться текущим затратам за вычетом будущей экономии затрат:

/

оо

с'(а;(5))9(5)е_г(з-е)^ = Л(*)-

(Проинтегрируйте по частям, помня, что (ко(з)І(І8 = 9(5)). 2.

СІА(І)/СІІ = г[~с(и>(і)) + -А(<)] < 0, потому что текущие затраты выше средних будущих затрат. Таким образом, с1(МК)/сИ < 0 или гід/гі/ > 0.

Упражнение 1.8 1.

Так как функция решений покупателей, просуммированная по и)(р) = Ар, постоянна, монополист не может извлечь выгоду, назначив цену, которую не принимает покупатель (он столкнется с проблемой принятия такого решения в следующем периоде и потеряет один период). Из функции решения покупателей мы знаем, что в любой данный момент і существует оценка у такая, что покупатели с оценкой выше V уже купили, а другие нет. (Это свойство действительно очень важно; см. [29, 35]. Это просто ограничение ?совместимости стимулов* для игры Байеса). Межвременная прибыль монополиста начиная с момента і составит

= “[(« - Арі)рі + 6(Арі - Лр2)р2 + ...], у

где у > Арі > Лр2 > ... 2.

Дифференцирование по рі дает

у — 2Арі + Ь\р2 — 0.

Но рі = цу и р2 = м(Арі) = Хр2у. Тогда получаем 1

- 2Хц + ЬХ2р2 = 0.

(Проверьте условие второго порядка!). 3.

Покупатель с оценкой Лр безразличен между тем, купить сейчас или подождать еще один период, поэтому

(Ар-р) = 6{Хр-р{Хр)). 4.

Решения для Л и // дают

АМ = (1 - А = (л/П^)-\

#1 = (>/1=1-(1 - «))/«.

Заметьте, что ]іт^_] р. — 0.

Упражнение 1.9 1.

Цена рі > Рї-к для некоторого положительного к не будет принята потребителем, потому что потребитель мог бы купить по более низкой цене р*_? и удовлетвориться ранее купленным. Таким образом, выбирая р< = тт*>о(р*_*)> мы придем к тому же результату. 2.

Потребителю с оценкой у безразлично, принять ли р; или подождать р<+1, тогда и только тогда, когда

у - р( = 6(у - рі+1).

Таким образом, оптимизационная задача монополиста может быть записана следующим образом:

тг( 1 М _ _ ( 1 Р\~Ьт\ , (р\-Ьрг рг-ьръ\ ,

(гг*- т^г >)+4л —ггу-;+--

Условие первого порядка

1 с

Р\ = 2 + ЬР1»

I > 2,

Р<-1 ~ Ярн-1

Т + Г- 3.

Последовательность с постоянной ценой 1/2(1 — 6), очевидно, является решением условия первого порядка (проверьте вогнутость целевой функции). Это действительно единственное решение, так как последовательность р* —рь+1 — = (^_1— Рг)1$ приводит к отрицательным ценам, если рг-\ — Рг > 0 для какого- то периода I.

Результат, безусловно, на самом деле наиболее важен и справедлив для любого распределения оценок, не только для равномерного.

Существует более изящный способ доказательства бесспорного результата на основе теории проектирования. Так как эта теория лежит вне рассмотрения данной книги, мы предпочли более «механический» подход.

Для более общей модели монопольного ценообразования на долговечные товары в условиях обязательств см. [72].

Упражнение 1.10 1.

Запишите прибыль фирмы с учетом времени и максимизируйте по р\, р2

И X. 2.

Прибыль второго периода составит

П2(912;) = шах{(р2 ~ с2)[Г){р2) - х^]}.

Р 2

Теорема об огибающей подразумевает, что Равенство достигается путем максимизации ?

Я1[Р(Я\) + Ьр2{хяг)х - с^зе)] 4- бП^хд^)

по х (чтобы получить полное решение, максимизируйте это выражение также по 91).