16.2.1 Нормальная форма игры

Альтернативные действия, которые может предпринять игрок, в контексте статических игр с полной информацией, совпадают с тем, что в теории игр называется стратегиями, по причинам, которые станут ясны из дальнейшего.

Приведем пример статической игры с полной информацией.

Игра 1.

В этом примере каждый из игроков (мы будем их называть "Игрок 1" и "Игрок 2") имеет две стратегии, которые можно условно назвать "IBM" и "Mac". Описанную игру удобно представить в виде таблицы (матрицы) 2 х 2 .В игре имеется четыре исхода: (IBM, IBM), (IBM, Mac) (Mac, IBM) и (Mac, Mac). Каждому исходу соответствует своя клетка таблицы; в этой клетке помещаются соответствующие выигрыши участников . Игры такого рода, то есть игры с двумя участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий, принято называть

7

матричными играми двух лиц.

В рассмотренном примере можно выделить три элемента:

множество игроков,

множество стратегий, которые могут выбрать игроки,

выигрыши игроков.

Таблица 16.1.

Игрок 1 IBM Mac

IBM

Игрок 2

Mac c

а + c b

а 0

0 b + c

c И в общем случае, чтобы задать статическую игру с полной информацией, требуется указать перечисленные элементы. Описание игры в виде такого набора называется нормальной формой игры . Можно сказать, предваряя дальнейшее, что это тот минимум, который необходим для описания любой игры.

В дальнейшем, описывая общую статическую игру m лиц с полной информацией, будем использовать следующие формальные обозначения для указанных элементов.

Множество игроков (множество участников) будем обозначать I:

I = {1,..., m}

Множество возможных стратегий i-го игрока - или просто множество стратегий i-го игрока - будем обозначать через Xj. Отдельную стратегию i-го игрока будем, как правило, обозначать через Xj. Совокупность стратегий всех игроков будем называть исходом игры. Т. е. исход игры - это набор

x = (ж1,..., xm), где x е X1 х ? ? ? х Xm = X

Будем предполагать, что у каждого из игроков есть своя целевая функция (в экономической теории ее называют функцией полезности). Обозначим целевую функцию i-го игрока через Wj(-). Каждому исходу игры она сопоставляет некоторое действительное число - выигрыш. Таким образом, в описании игры следует задать для каждого игрока i е I функцию вида

щ : X ^ R

Нормальная форма игры, в соответствии со сказанным выше, представляет собой набор

G = (I, {Xj}i, {uj}/)

В некоторых играх есть элемент случайности. Если на вероятности случайных событий не влияют выборы, сделанные игроками, то принято говорить о случайных ходах природы. Рассмотрим в качестве примера следующую игру.

Игра 2.

В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии: проявлять осторожность (A) и не проявлять осторожности (B). От выбранных стратегий зависит вероятность дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода). Если оба ведут себя неосторожно, то вероятность происшествия равна 1/2, если только один ведет себя неосторожно, то вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то вероятность равна 1/100.

В случае, если произойдет столкновение, то ущерб пешехода составит 1000 у. е. , а ущерб автомобилиста - 200 у. е. Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для обоих игроков с издержками в 100 у.

На примере Игры 16.2.1 рассмотрим, каким образом представить в нормальной форме игру, включающую случайность. Для этого нам необходимо задать способ вычисления выигрышей (все остальные элементы нормальной формы здесь уже указаны). B

Пешеход

Таблица 16.2.

Автомобилист

A B

A -102 -110 -20

-200 -120 -100 -100 -500 Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш - случайная величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш . Предполагается, что в описании игры случайные выигрыши даны в таком виде, что можно рассчитать их математическое ожидание и использовать в качестве выигрышей в нормальной форме игры. Таким образом, выигрыши выражены в некоторых условных единицах (вовсе не обязательно денежных) и представляют некоторый абстрактный уровень полезности для игрока при данном сочетании стратегий.

Пусть оба участника игры проявляют осторожность, то есть реализовался исход (A, A). Если произойдет столкновение, то выигрыш пешехода составит (-1100), а выигрыш водителя - (-300). В противном случае выигрыш пешехода составит (-100), а выигрыш водителя - (-100). Ожидаемые выигрыши равны в этом случае:

? (-1100) + 10- ? (-100) = -110 - для пешехода,

1 99

o (-300) + o (-100) = -102 - для автомобилиста.

100 v 7 100 V 7

Аналогичные вычисления нужно провести для трех других исходов. Рассчитанные выигрыши представлены в Таблице 16.2.

Заметьте, что полученная нормальная форма игры не содержит информацию о случайных ходах природы, их вероятностях и соответствующих случайных выигрышах.