5.3.1 Задачи

^ 272. Можно ли утверждать, что в экономике обмена, в которой функции полезности имеют вид

k=1
а начальные запасы равны Wik = i ? k, равновесие существует? Аргументируйте свой ответ.

^ 274. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство существования равновесия, либо приведя пример отсутствия равновесия.

^ 275. Покажите, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, описываемыми функциями полезности

UI(XII,XI2) = XII, U2(X2I, X22) = X22,

и начальными запасами WI = (1,1), W2 = (о, 1) равновесие существует тогда и только тогда, когда a = 0 . Какие условия известной вам теоремы существования равновесия нарушаются в случае, когда равновесие не существует?

^ 276. Показать, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпочтения которых описываются функциями полезности

UI(XII, XI2) = MIN{XII, XI2}, U2(X2I, X22) = X22,
не существует равновесия при начальных запасах WI = (0,Y) (Y ^ 0) и W2 = (о, в) (0 < о < в). Какие условия известной вам теоремы существования равновесия здесь нарушаются? ^ 277. Предположим, что все продукты производятся на основе первичных факторов, которые принадлежат потребителям и совокупные запасы которых положительны. Предположим

также, что каждая фирма является однопродуктовой, ее технология описывается производственной функцией Кобба - Дугласа, а также что каждый продукт производится какой-то фирмой. Покажите, что если Еm=I Ui ^ 0, то для этой экономики выполняется условие, что множество Z = (ЕjeJ Yj + J2ie/ Ui) П R+ непусто, замкнуто и ограничено.

Какие дополнительные условия гарантируют существование квазиравновесия (равновесия) в такой экономике?

^ 278. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, функции полезности которых имеют вид

Ui(x) = Е °ifc VXfc, "ifc ^ 0.

При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

^ 279. Предположим, что (p, x, y) - квазиравновесие в экономике Эрроу-Дебре, p ^ 0, p = 0, Xi = R+, предпочтения потребителей строго выпуклы, непрерывны и монотонны. Пусть также 0 G Yj-, Ui ^ 0, Еm=I Ui > 0. Покажите, что это квазиравновесие является равновесием по Вальрасу.

^ 280. В экономике обмена есть только два блага (l =2), функции полезности всех потребителей i имеют вид

ui(X1 , ) \FXI +
а начальные запасы равны Ui = (0,1). Вычислите квазиравновесия в этой модели. ^ 281. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, предпочтения которых представляются функциями полезности Кобба - Дугласа, а начальные запасы положительны. При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

^ 282. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых имеют вид

Ui(xi) = min{xiI, Xi2}, i = 1, 2,

U3(x3) = Ж31 + min{x33, Ж34}, u4(x4) = x42 + min{x43, x44}.

Начальные запасы имеют вид Ui = ei (i-й орт). Охарактеризуйте все квазиравновесия, в которых не все цены равны нулю. Какие из них не являются равновесиями? ^ 283. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых имеют вид

Ui(xi) = min{xiI, Xi2}, i = 1, 2, Ui(xi) = min{xi3,xi4}, i = 3, 4,

Первый потребитель имеет по единице первого и третьего блага, второй - по единице второго и четвертого. У остальных потребителей нет начальных запасов. Охарактеризуйте все квазиравновесия, в которых не все цены равны нулю, и покажите, что ни одно из них не является равновесием.