ПРЕИМУЩЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Проблема применения математического метода в теоретический экономии распадается на три проблемы: а) вопрос о возможности применения математического метода; б) вопрос о пределах применения и о роли математического метода, о соотношении послед него с другими методами в теоретической экономии и в) вопрос о формах применения математического метода.

Но, с другой стороны, в случае положительного разрешения первого вопроса не следует делать вывода о возможности солидаризироваться с экономистами-математиками в области методологических проблем, ибо признание возможности применения математики не означает еще признания примата математического метода в теоретической экономии. Вслед за признанием права экономистов пользоваться математическим методом встает вопрос о пределах этого пользования, об условиях этого применения, о предпосылках пользования математикой и т. д.

Последний вопрос, т. е. вопрос о формах применения математического метода, не имеет большого принципиального значения. Формы применения математики определяются на основании принципа целесообразности: тот математический прием заслуживает предпочтения, который позволяет легче, скорее, удобнее, разрешить данную задачу. С другой стороны, очевидно, что формы применения математики не могут оставаться фиксированными и неизменными.

Нельзя установить стандартных методов, которые были бы наиболее пригодны для разрешения всякой проблемы. С изменением характера проблемы могут меняться формы применяющихся математических приемов.

Некоторые экономисты-математики выдвигают вопрос о преимуществах геометрического (графического), или аналитического метода. Так, Ауспиц и Либен, Джевонс-сын, Кунингем, Ваффен- шмидт и другие преимущественно пользуются графическим методом. Если рассматривать математический метод как орудие иллюстрации и популяризации тех или иных экономических положений, то преимущество, несомненно, должно быть отдано графическому методу. Но вопрос получает иное решение, если оперировать математикой как методом исследования. Как известно, графический метод получил очень широкое распространение среди экономистов англо-американской школы, но это не дает еще права причислять последних к математической школе; недостатки графического метода заключаются в том, что он дает возможность изображать лишь зависимости между тремя переменными (если давать пространственные изображения) или даже между двумя переменными (если ограничиться плоскостными изображениями). Поэтому попытки уложить все важнейшие экономические положения в прокрустово ложе графических изображений и диаграмм должны приводить к искусственному упрощению данных положений, к элиминированию зависимостей между п величинами; в качестве примера можно привести теорию Ауспица и Либена, основанную на отрицании зависимости между спросом на данный товар и ценами других товаров. Совершенно неверный постулат Ауспица и Либена, что цены всех остальных товаров должны рассматриваться как неизменные величины и, следовательно, как независимые от цены данного товара, в значительной мере вытекает из тенденции этих ЗКОНОІМИСТОВ дать графическое обоснование своему анализу.

Некоторые экономисты ('например, Кассель) выдвинули вопрос о необходимости ограничиться лишь применением элементарной математики и о нецелесообразности пользования более сложными математическими приемами. Этот вопрос, конечно, не допускает категорического разрешения. Было бы в высшей степени нецелесообразно отказаться «всерьез и надолго» от всякого пользования высшей математикой даже там, где это будет необходимо.

Если обратиться к Марксу, то мы должны будем констатировать, что последний не случайно не прибегал к приемам высшей математики. Все основные количественные зависимости, которые Маркс установил между отдельными категориями, по большей части весьма элементарны и могут быть выражены в виде уравнений 1-й степени. Большей частью Маркс говорил о прямой и обратной пропорциональной зависимости между отдельными величинами.

«Величина стоимости товара изменяется, таким образом, прямо пропорционально количеству и обратно пропорционально производительной силе труда, находящего себе осуществление в этом товаре» 443, «производительность машин, как мы видели, обратно пропорциональна величине той составной части стоимости, которая переносится ими на продукт»444, «...дееспособность рабочей силы обратно пропорциональна времени ее деятельности» 445, «при дапной норме прибавочной стоимости и данной стоимости рабочей силы, массы производимой прибавочной стоимости прямо пропорциональны величинам авансированных неременпых капиталов» ", «абсолютная величина стоимости, прибавляемая к товарам транспортом, при прочих равных условиях, обратно пропорциональна производительной силе транспортной промышленности и прямо пропорциональна расстояниям, на которые товары передвигаются» 446.

По Марксу, стоимость товаров прямо пропорциональна количеству затраченного труда. Эта зависимость может быть изображена в виде прямой линии. С увеличением вдвое количества затраченного труда стоимость увеличивается вдвое. Если представить эту зависимость в виде функции, т. е. если рассматривать стоимость как функцию затраченного труда, то первая производная этой функции будет постоянная величпна.

По теории предельной полезности, субъективная СТОИМОСТЬ зависит от предельной полезности, которая, в свою очередь, представляет собой функцию двух неременпых — общей полезности всего запаса и количества отдельных единиц, входящих в состав данного запаса.

Основные количественные зависимости между отдельными категориями в теории стоимости Маркса более элементарны, чем у субъективистов. Поэтому вопрос о целесообразности применения высшей математики по отношению к теории стоимости Маркса весьма спорный. Во всяком случае, применение более сложных математических приемов может быть допущено лишь там. где такое применение оправдывается характером проблемы, особенностями отдельных величин и зависимостей.

Прежде чем приступить к решению первого вопроса, т. е. возможности применения математики в теоретической экономии, необходимо ответить на другой вопрос: стоит ли применять математический метод; оправдывается ли применение математики; нет ли основания отказаться от математического метода как от бесплодного метода, не дающего никаких результатов. Эта проблема связана с вопросом о целесообразности применения математического метода и, следовательпо, с вопросом о преимуществах последнего.

Некоторые экономисты оспаривают какое бы то ни было участие математики в получении основных выводов математической школы. Так, Кернс писал по адресу математиков: «По моему убеждению, рабочий аппарат математики не приспособлен для нахождения экономических истин. Если это положение не обосновано, то его легко можно опровергнуть, указав какой-либо экономический закон, ранее неизвестный и установленный именно подобным образом. Мне, однако, неизвестно, чтобы такого рода доказательство применимости математического метода было приведено. Высказывая подобное мнение, я не намерен отрицать того, что можпо пользоваться геометрическими построениями и математическими формулами при изложении экономических доктрин, достигнутых другими методами»447 (разрядка Кернса).

Ш. Жид 448 обвиняет математиков-экономистов в том, что они, для пущей важности, если можно так выразиться, облекают свои выводы, полученные нематематическим путем, в математические формулы: «Нужно заметить, что математика есть повод для того, чтобы на языке Сивиллы выразить то, что можно великолепно понять на обычном языке. Мы подозреваем, что экономисты- математики как бы кокетничают тем обстоятельством, что постигнуть их могут лишь посвященные, и девизом своим избрали: odi profanum vulgus et агсео (ненавижу и отвергаю простую чернь)». По Ш. Жиду, экономисты используют математику для того, чтобы навести внешний блеск, лоск и щегольнуть своей квазиученостью.

По отошению к таким противникам применения математики, как Кернс или Ш. Жид, можно сказать, что они вместе с водой из ванны выбрасывают и ребенка. Из того, что при неправильном пользовании математика дала очень бедные результаты или, вернее, присела к извращению многих положений, нельзя сделать вывод о полной непригодности математического метода. Вина падает не на самый метод, а на неверное пользование последним.

Необходимо отметить, что представители математической школы совершенно верно указали на преимущества математического метода. Основное преимущество последнего заключается в том, что он дает возможность уточнить наши представления о количественных соотношениях между отдельными категориями. В области углубления количественного анализа экономических явлений математике принадлежит, несомненно, очень крупная роль. Всякая попытка более детально разработать теорию воспроизводства (анализ пропорций между отдельными сферами народного хозяйства), теорию спроса и предложения, теорию локализации (о выборе наиболее выгодного «местоположения» для данного предприятия) и т. д. упирается в необходимость уточнить количественные соотношения, а следовательно, в необходимость пользоваться математикой. Математические приемы, к которым прибегает данный экономист, могут быть весьма элементарными, но от этого они не перестают быть математическими.

В качестве примера-вывода, полученного благодаря пользованию, математикой, можно указать на известную формулу Тюнена естественной, т. е. оптимальной, заработной платы: s = f^aP

(где а означает заработную плату, равную физиологическому минимуму, аР — ценность продукции данного рабочего). При помощи дифференциального исчисления Тюнен получил определенное (другой вопрос — правильное ли) выражение для естественной заработной платы. Математика помогла из предпосылок (как увидим дальше, совершенно неправильных) сделать все логические выводы и установить все количественные связи. Неверный вывод, к которому пришел Тюнен, объясняется ошибочностью его исходных предпосылок, а не применением математики.

Неудивительно, что Маркс, при всякой попытке уточнить количественный анализ, прибегал к математическим формулам. Энгельс в примеч. к гл. 3 т. III «Капитала» писал: «В рукописи имеются еще очень подробные вычисления разности между нормой прибавочной стоимости и нормой прибыли (ш/ — р'); она обладает разнообразными любопытными особенностями, и ее движение обнаруживает случаи, когда обе нормы удаляются друг от друга или сближаются друг с другом. Эти движения можно изобразить и в виде кривых» 33. На основании этого отзыва, а также целого ряда мест из «Теорий прибавочной стоимости» можпо судить о том, что Маркс при выяснении тех или иных понятий очень широко прибегал к всевозможным вычислениям. При помощи этих вычислений Маркс пытался получить представление о всесторонней зависимости между отдельными величинами.

Весьма любопытно сопоставление некоторых высказываний Маркса, в которых он рассматривал соответствующие положения Рикардо как частный случай другого, более общего правила. Так, положения Рикардо о зависимости между отношением прибавочной стоимости к заработной плате и производительностью труда Маркс дополняет целым рядом новых положений 34 о зависимости между данным отношением (v и т) и интепсивпостью труда или длиной рабочего дня. Анализ Рикардо о влиянии повышения заработной платы на цены производства Маркс дополняет анализом влияния понижения заработной платы 34а. Учение Рикардо о тенденциях изменения дифференциальной ренты, при условии повышения хлебных цен и падающей производительности последующих затрат труда на данных участках, Маркс дополняет всесторонним анализом тенденции изменения ренты при самых различпых условиях (неизменной, убывающей и возрастающей цене, неизменной, убывающей или возрастающей производительности последующих затрат труда и капитала) 35. Всюду, где речь идет о количественных соотношениях между отдельными категориями, Маркс пытается охватить все возможные случаи зависимости между отдельными величинами. Очевидно, что дальнейшее развитие марксистской экономии в области количественного анализа должно происходить в двух направлениях: с одной сторопы, необходима более детальная группировка отдельпых факторов, влияющих на те или иные экономические соотношения; необходимо установить более детальные, а следовательно, более сложные формулы, с другой стороны, необходимо все частные случаи привести к более общему выражению, найти обобщающие формулы для многих зависимостей. При разрешении обеих задач математика может оказать очень ценные услуги.

Математический метод наряду с. этой своей основной функцией в теоретической экономии имеет еще немало преимуществ, облегчающих экономический анализ.

Значение математики, с точки зрения экопомистов-математи- ков, заключается не только в том, что она дает возможность наиболее сжато, кратко и точно выразить экономические факты. Как

I

88 К. Маркес. Капитал, т. III, стр. 74.

34 Там же, т. I, гл. XV.

84« Там же, т. III, гл. XI.

86 Там же.

указывает Вальрас. «Многие относятся к изучению математики с отвращением; математика, однако, дает возможность более точного, более полного, более ясного и скорейшего анализа, чем обычное рассуждение; над последним она обладает преимуществом, подобным преимуществу для целей путешествия железной дороги над дилижансом» 449. Математика в известной степени страхует экономиста от возможности частых ошибок. «Здесь математический метод представляет, по сравнению с рассуждением, излагаемым обычными словами, то преимущество, что в то время, как при применении последнего в процессе какого-либо сложного умозаключения легко может случиться, что мы упустим тот или иной элемент, или неумышленно введем чуждый, или, наконец, мы не всегда сразу и но столь легко уловим взаимозависимость отдельных элементов, при помощи математики логический процесс становится надежнее и, что в высшей степени важно, это достигается без умственного перенапряжения, неизбежного в первом случае» 450. Эта страховка имеет силу, конечно, лишь при условии правильного применения математики. В противном случае, экономист к ошибкам чисто экономического характера может прибавить ошибки математические, как, например, сделал Курно по вопросу о выгодах, получаемьїх потребителями благодаря таможенным пошлинам 451.

Математический метод имеет то крупное преимущество, что он позволяет скорее вскрыть ошибки, чем какой-либо другой метод. Он требует, с одной стороны, очень ясной и отчетливой формулировки исходных предпосылок анализа, а с другой — позволяет из этих предпосылок сделать все выводы и доводить до абсурда ошибочную теорию. На эту сторону дела обратили внимапие еще наиболее ранние сторонники математической школы. По их мнению, математический метод важен не только тем, что он позволяет двигать вперед экономическую науку, но также и тем, что он позволяет вскрывать наше незнание, уяснять все трудности данного вопроса, избегать ошибок.

Так, Уэвелль, один из первых экономистов, употреблявших математический метод, считает, что без помощи математического метода трудно избежать трех видов ошибок: «Обычно бывают (при игнорировании математического метода) три вида ошибок, которых трудно избежать. Возможно неправильное выведение законов (служащих предпосылками); возможно ложное рассуждение, благодаря сложности проблемы; наконец, возможно игнорирование отклоняющих влияний, сказывающихся на действии данного закона. Между тем рабочий аппарат математики доставляет средство избежать все указанные недостатки. Он делает необходимым точное обоснование предположений, открывающихся, таким образом, всестороннему рассмотрению; он делает рассуждение почти непогрешимым, наконец, он дает результат, который можно сравнить с практикой, и таким образом показывает, разрешена ли проблема лишь приблизительно или нет» 452.

В этом же направлении высказался Дюпуи, который утверждал что «когда мы чего-либо не можем знать, много значит уже знать, что мы ничего не знаем» 453. Курно также писал: «Нашим скромным намерением было не значительно расширить область науки как таковой, но скорее показать (что также, безусловно, по-своему полезно) все то, чего нам не хватает, чтобы дать истинно научное решение вопросов, смело ставящихся в ежедневной полемике» 454. Точно так же Джевонс считает заслугой математического метода, что он предостерегает против поспешных обобще- пий: «Одно из превосходств тщательного изучения экономических теорий состоит в том, что оно делает нас весьма осторожными с заключениями, когда предмет не является достаточно простым» 455.

Наконец, представители этой школы считают, что математика дает возможность уточнить определение отдельных категорий, уяснить содержание отдельных понятий. В качестве примера экономисты-математики ссылаются на центральное понятие психологической школы — понятие предельной полезности. Как указывав ет Шумпетер 456, политическая экономия путем длительных поисков пыталась установить тот процесс, который значительно раньше был открыт Ньютоном и Лейбницем в области механики и аналитической геометрии,— процесс дифференцирования. Предельная полезность может быть точно определена только как первая производная полезности блага, рассматриваемая как функция количества этого блага. Вне математических методов не может быть, но мнению Шумпетера, сконструировано исходное понятие теоретической субъективной ценности. Что касается другого понятия, Gesamtwert (совокупной ценности, ценности всего запаса благ), то Шумпетер считает, что это понятие было не тольки оформлено, но непосредственно установлено при помощи математики. Процесс отыскания предельной полезности, который с точки зрения математической школы является процессом дифференцирования, процессом отыскания производной, неизбежно приводит нас к вопросу о действии, обратном дифференцированию, к отысканию интеї рала, т. е. в данном случае совокупной ценности.

Возможно, что Шумпетер, в данном конкретном случае, переоценил роль математики. Но нет сомнения в том, что в известных случаях математический анализ помогает уяснить не только количественные связи между категориями, но и само содержание последних. Так, например, наиболее общее определение ренты (дифференциальной и абсолютной) связано у Маркса с его известными уравнениями ренты. Маркс дает следующие уравнения (А. р. означает абсолютную ренту, Д. р.— дифференциальную ренту, С. р.- сумму общей ренты, И. ст.— индивидуальную стоимость, Р. ст.— рыночную стоимость, Ц. и.— цену издержек):

А. р. = И. ст. — Ц. и. = + у Д. р. = Р. ст. — И. ст. = х

С. р. — А. р. + Д: р. = Р. ст. — И. ст.+ И. ст. — Ц. и. = — у + х — Р. ст.— Ц. и.

На основании этих уравнений получается следующее определение суммы ренты: «Фактическая, или совокупная рента равна абсолютной ренте плюс дифференциальная рента; иначе говоря, она равна избытку рыночной стоимости над индивидуальной стоимостью плюс избыток индивидуальной стоимости над ценой издержек, т. е. она равна разности между рыночной стоимостью и ценой издержек» 457. На основании этой формулы те случаи, когда получается исключительно дифференциальная или абсолютная рента, могут рассматриваться как частные случаи. Между тем эта формула, дающая наиболее общее выражение суммы ренты, получена на основании элементарной математической операции — сокращения двух одинаковых величин с противоположными знаками.

Необходимо, кроме того, отметить, что попытки установить количественную зависимость между отдельными величинами приводят к уяснению и уточнению отдельных понятий. Так, например, понятие органического состава капитала было введено Марксом для того, чтобы увязать изменения производительной силы труда, выражающиеся в изменении технического состава капитала, с изменением состава капитала по стоимости. В поисках этой зависимости Маркс сконструировал новое понятие, которое является своеобразным синтезом технического и стоимостного состава капитала. Дальнейшие попытки углубить анализ органического состава должны вестись я по математической линии. Неясными, например, остались вопросы о том, можно ли дать органическому составу какое-либо самостоятельйое выражение, не является ли это понятие трансцендентным (в математическом смысле) и т. д.

Во всяком случае не может быть никаких сомнений в том, что математический метод имеет ряд преимуществ (список последних можно было бы удлинить).

Математика может установить количественные закономерности, уяснить содержание отдельных понятий, натолкнуть на новые проблемы, устранить некоторые ошибки лутем приведения данных положений к абсурду и т. д.

Поэтому отказываться от помощи математики было бы нецелесообразным. 4.