§7. Рукописи Маркса по истории математики

Занятия историей интересовавшей Маркса теоретической дисциплины — будь то политическая экономия, будь то математика — свидетельствовали не только и не столько о стремлении к историческому исследованию как таковому, а о том, что изучение теоретических проблем, в частности дифференциального исчисления, продвинулось в такой степени, которая как позволяла рассмотрение данных проблем в их ретроспективе, так и указывала на перспективы самого этого развития.

Именно с данной позиции он оценивал исторические школы в развитии дифференциального исчисления. Останавливаясь на этапах его становления, Маркс акцентировал внимание не на понятийном аппарате своих предшественников и не на деталях развития дифференциального исчисления, а на специфике применяемого ранее метода дифференцирования, на отношении к теореме Тейлора, характеризовавшейся Марксом как центральная теорема дифференциального исчисления. При этом основой, критерием анализа для него выступали собственные взгляды на так называемое алгебраическое дифференцирование.

Истории математики была посвящена недатированная рукопись, которая представляла собой продолжение осмысления теории и истории дифференциального исчисления и носила в этом смысле комплексный характер, отражавший все уровни анализа математики: рукопись начиналась конспектом, продолжалась собственными рассуждениями, ставшими прообразом новой трактовки проблемы дифференцирования. Изложение своего видения теории прерывалось в нескольких местах для экскурсов в историю дифференциального исчисления[345]).

Остановимся кратко на характеристике структурных частей данной работы. В ее эксцерптной части рассматривались проблемы дифференцирования тригонометрических функций, что было прямым продолжением выписок Маркса в одной из предыдущих рукописей[346]).

Именно в этой рукописи происходило активное осмысление Марксом сути дифференцирования, а именно, в первую очередь, условий замены | на выяснение смысла обоих выражений. Маркса занимал вопрос о том, на каком этапе можно сказать, что произошел переход из области алгебры на почву собственно дифференциального исчисления.

Таким образом, эта рукопись содержала первый набросок работы о дифференциале и служила началом целой серии набросков о собственном понимании этого основного для дифференциального исчисления

ПОНЯТИЯ [347]).

В основу исторической части изложения легло изучение данного предмета по курсам Сори и Бушарла. К рукописи Маркс приложил листок со списком, включавшим в себя имена математиков, сыгравших значительную роль в истории дифференциального исчисления. Здесь фшурировали Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Маклорен, Ланден, Д’Аламбер, Эйлер, Лагранж, Пуассон, Лаплас, Муаньо.

В самой же рукописи Маркс более подробно остановился лишь на некоторых из этих имен. И первым из них был Ньютон, в теории которого, как уже упоминалось, впервые была введена специальная терминология дифференциального исчисления — понятия флюксий и флюент, а также символика для обозначения дифференциалов.

Анализируя взгляды Ньютона, Маркс не только описывал его воззрения со своих или с современных ему позиций, но сам вставал на его точку зрения и рассматривал в данной терминологии дифференцирование произведения у = uz. Тот же самый пример Маркс привлек, чтобы продемонстрировать концепцию Лейбница.

Взгляды обоих математиков Маркс осветил затем с привлечением терминологии, игравшей основную роль в его собственных исследованиях. Он утверждал, что «дифференциальные выражения служат им сразу оперативными формулами для отыскания реального эквивалента»[348]). Особенностью ньютоновского подхода, по мнению Маркса, было то, что «дифференциалы... вводятся с самого начала, по определению, как существующие наряду с переменными величинами, из которых они возникают, независимо от них, а не выводятся как-нибудь математически» [349]°).

Маркс оценил историю развития дифференциального исчисления подобно тому, как с позиций созданного им к тому времени экономического учения он оценил эволюцию предшествовавших экономических теорий. В истории дифференциального исчисления со второй половины XVII в. он называл три этапа — мистический, рациональный и чисто алгебраический. Основой данной периодизации служило при этом понятие дифференциала, его различные толкования.

Первый этап — мистическое дифференциальное исчисление — связан с именами его основоположников Ньютона и Лейбница. Дифференциалы dx и dy отождествлялись ими с приращениями Ах и А у и истолковывались как бесконечно малые величины, которые одновременно и равны нулю и отличны от него. Введение таких величин в дифференциальное исчисление не было строго математически обосновано, а сопровождалось абстрактными рассуждениями, что, как говорилось выше, позволяло философам того времени, в частности Беркли, усматривать в дифференциальном анализе некую идеалистическую систему, исходные принципы которой не доказуемы, а принимаются математиками на веру, что роднит их с догматами религии.

Маркс писал, что Ньютон и Лейбниц «сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому»[351]).

Второй этап — рациональное дифференциальное исчисление, связанное главным образом с работами Д’Аламбера, который основывался на положениях Ньютона и Лейбница. Маркс писал: «Д’Аламбер начинает прямо с отправного пункта Ньютона и Лейбница: х\ — х + dx. Но он вносит сразу фундаментальную поправку xi = х + Дж, т. е. х Н- неопределенное, но прежде всего конечное приращение, которое он называет h. Превращение этого h или Дж в dx... у него лишь конечный результат развития или, по крайней мере, его заключительная стадия, тогда как у мистиков и инициаторов исчисления оно является исходным пунктом»[353]). Все это, хотя и не решало проблему обоснования дифференциального исчисления, поскольку отсутствовало точное определение понятия предела (сформулированное по существу лишь в 80-е гг. XIX в.), но все же лишило его присущей ранее таинственности, мистичности.

Третий этап — чисто алгебраическое дифференциальное исчисление — обязан своим происхождением прежде всего Лагранжу, который пытался «свести дифференциальное исчисление к строго алгебраической основе»[354]). Оценивая достижения Лагранжа, Маркс писал, что тот «действительно освобождается от всего, что представляется ему метафизической трансцендентностью во флюксиях Ньютона, в бесконечно малых разного порядка Лейбница, в теории пределов исчезающих величин, в подстановке символа |(= %L) вместо дифференциальных коэффициентов. Это, однако, не мешает ему самому в применении его теории к кривым и т.д. постоянно пользоваться тем или иным из этих „метафизических" представлений»[355]). Кроме того, неудовлетворительность теоретических построений Лагранжа состояла, по Марксу, в недостаточном обосновании теории рядов,

Характеризуя общий ход развития дифференциального исчисления, Маркс проводил параллель с историей немецкой классической философии: «Таким же образом Фихте примыкал к Канту, Шеллинг — к Фихте, Гегель — к Шеллингу, причем ни Фихте, ни Шеллинг, ни Гегель не исследовали общей основы Канта, идеализма вообще»[356]). Действительно, в период становления теории дифференциального исчисления сами математики не задумывались над сутью применяемого ими метода. «Для этого, — отмечал Маркс, — они были слишком поглощены материалом исчисления»[357]).

* * *

Таким образом, более тридцати лет продолжалось изучение Марксом математики, сначала от случаю к случаю, затем все более и более систематически. В результате появилось всего несколько заметок, трактовавших исходные понятия дифференциального исчисления, его элементарные операции. Но эти заметки основывались на огромном исследовательском материале: десятках тетрадей с выписками главным образом по истории и практике дифференцирования.

В отличие от естественно-научных занятий, Маркс поставил перед собой задачу изложить результаты своих математических исследований. Данное изложение происходило в эпистолярной форме — в виде писем Энгельсу. Работы Маркса в области математики являлись формой выражения внутреннего интеллектуального потенциала и были дополнительной областью его творческих интересов. Маркс изучал прежде всего историю дифференциального исчисления, и проблемы, поставленные им, носили главным образом историко-математический и методологический характер. В данном разделе математики Маркс заострил внимание на одной проблеме — на переходе от алгебры к дифференциальному исчислению и с этой точки зрения рассмотрел теорему Тейлора, в которой данный переход можно было проследить наиболее наглядно. Анализ теоремы Тейлора Маркс сопровождал изучением метода дифференцирования Лагранжа, рассуждениями о соотношении дифференциальных и алгебраических методов в математике, сути введения символики дифференциального исчисления. Интерес к центральному понятию и исторические формы его трактовки был сходен с исследованиями Маркса в области политической экономии, где центральным понятием было понятие прибавочной стоимости. Маркс подходил к названным проблемам как диалектик, сопровождая математические выкладки философскими замечаниями.

Главным предметом работ Маркса по математике были даже не сами математические понятия, а скорее метод, процесс дифференцирования функций и в связи с этим новый способ дифференцирования, учитывавший особенности связи алгебраических и дифференциальных методов. Маркс установил границу между ними и привел доказательство того, что связь данных методов гораздо сложнее, чем ее понимали математики, а в дифференциальном исчислении происходит так называемое оборачивание метода.

Характерно, что Маркс не только констатировал переход алгебраического метода в дифференциальный, но и указывал на их взаимодействие уже в рамках дифференциального исчисления. Повторим, что, анализируя методологические основания дифференциального исчисления, он оставался философом-диалектиком, что в полной мере проявилось в его трактовке понятия оборачивания метода. Можно с уверенностью утверждать, что понятие оборачивания метода явилось обобщением не только и не столько математических методов, но прежде всего результатом размышлений о сути диалектических методов познания вообще.

Сходным с исследованиями в области политической экономии было исследование Марксом истории дифференциального исчисления, которое стало еще одной предпосылкой формулировки собственного понимания основных понятий исчисления. С точки зрения своей концепции он оценивал исторические школы в развитии дифференциального исчисления. Останавливаясь на этапах его становления, Маркс акцентировал свое внимание не на понятийном аппарате своих предшественников и не на деталях развития дифференциального исчисления, а на специфике применяемого ранее метода дифференцирования, на отношении к теореме Тейлора, характеризовавшейся Марксом как центральная теорема дифференциального исчисления.