§6. Центральная проблема математических рукописей

Теорема Тейлора и ее частный случай — теорема Маклорена — занимали центральное место в математических рукописях Маркса. Разбору их доказательства были посвящены многие страницы эксцерптов как первого, так и второго порядка математической литературы[334]).

Напомним основные моменты из истории теоремы Тейлора. В ней речь шла о разложении функции в степенной ряд. Теорема была сформулирована Тейлором в его основном сочинении «Прямой и обратный метод приращений» в 1715 г. Сам Тейлор не оценил значения доказанной им теоремы. Она была названа его именем Кондорсе в 1784 г., а в 1786 г. С. Люилье назвал степенной ряд, получающийся путем разложения функции «рядом Тейлора».

Характерно, что сам Тейлор сформулировал данную теорему в рамках исчисления конечных разностей. Следует особо подчеркнуть, что в исчислении конечных разностей изучаются функции с дискретно меняющимся аргументом. Как самостоятельная дисциплина данное исчисление выделилось в начале XVIII в. и было изложено Ньютоном. Исчислению конечных разностей можно найти соответствие в дифференциальном исчислении, так как алгоритм вычисления конечных разностей аналогичен алгоритму дифференцирования.

Однако в отличие от дифференциального исчисления здесь не было необходимости в их особом философском обосновании, так как не вводилось понятие бесконечно малой величины. Если учесть, что одним

из основных интересов Маркса в математике и было выяснение сочетания алгебраических и дифференциальных методов, что нашло свое отражение и в философском обобщении этого явления — в понятии оборачивания метода, то становится понятной та роль, которую играло выяснение сути данной теоремы в математических выкладках Маркса. Одним из побудительных мотивов внимания Маркса к теореме Тейлора стало то, что в теореме происходит в некотором роде подход к дифференциальному исчислению с алгебраических позиций, а дифференциальные и алгебраические методы переплетаются.

Оценивая вклад Лагранжа в доказательство теоремы, Маркс замечал: «Он подводит под дифференциальное исчисление алгебраическую основу; но ее надлежит использовать лишь как отправной пункт, так как совершенно нецелесообразно кропотливо развивать алгебраически то, что собственными методами дифференциального исчисления достигается гораздо проще»[336]). Что же касается связи дифференциального исчисления и алгебры, то эта связь представлялась им данной. Тейлор и Маклорен не ставили перед собой задачи обосновать связь своих выводов с алгеброй и с самого начала оперировали на базе дифференциального исчисления[337]). Постановка вопроса о необходимости алгебраической верификации дифференциального исчисления принадлежала Лагранжу и, по предположению Маркса, предшествовал ему в этом Джон Ланден[338]), о необходимости изучения труда которого Маркс не раз повторял в своих рукописях.

Лагранж ввел понятие производной функции. И Маркс высоко оценивал данный вклад Лагранжа в дифференциальное исчисление, утверждая, что «большая заслуга Лагранжа состоит не только в том, что он обосновал с помощью чисто алгебраического анализа теорему Тейлора и вообще дифференциальное исчисление, но и в том, что он ввел самое понятие производных функций»107). Это был математический аспект открытия. Но имелся и его философский аспект, а именно тот, что работа Лагранжа объективно помогала дать ответ на философские возраже-

ния Беркли против дифференциального исчисления[339]). Теорема Тейлора послужила для Маркса основой для иных философских обобщений о соотношении номологического и генетического методов. Так, он писал: «Подлинные и в силу этого простейшие взаимосвязи нового со старым открываются всегда лишь после того, как это новое само приобретает уже завершенную форму, и можно сказать, что в дифференциальном исчислении это возвращение (отнесение) назад было осуществлено теоремами Тейлора и Маклорена»[340]).

Маркса, как и других исследователей, волновал вопрос о том, знал ли сам Ньютон теорему Тейлора.

Однако изыскания нашего времени показали, что Маркс ошибался. Т. Уйтсайду принадлежит открытие того, что в XIV приложении неопубликованного варианта «Рассуждений о квадратуре кривых» Ньютон в 1691-1692 гг. решил аналогичную задачу. Таким образом, понятие «ряда Тейлора» исторически мало оправдано[341]). Данное обстоятельство ни в малейшей мере не умаляет значения открытия, сделанного Тейлором, который самостоятельно пришел к своим результатам, о чем информировал своего учителя Д. Мечина в письме от 26 июля 1712 г.

Лагранж не только обобщил теорему Тейлора, но и выяснил случаи, когда она не действует. И в ряде рукописей речь шла как раз о тех случаях, когда теорема Тейлора неприменима[342]). И в этом случае Маркса волновал вопрос о соотношении алгебраических и дифференциальных методов. Он показал, что теорема Тейлора представляет собой самую общую и плодотворную оперативную формулу всего дифференциального исчисления из). Таким образом, именно анализ данной теоремы дал Марксу основание для введения понятия оперативной формулы, существенного для его собственной интерпретации дифференциального исчисления.

Остановимся на одной из рукописей о теореме Тейлора, где Маркс рассмотрел ее обобщающую роль в дифференциальном исчислении[343]). Рукопись имела два варианта. При этом один из них может быть рассмотрен как черновик, а другой — как беловой вариант. Хотя наброски не были датированы самим Марксом, можно на основе некоторых особенностей рукописей установить последовательность их написания. Один из набросков носил целый ряд черт, характерных для черновика.

Форма изложения второго варианта, его внешний вид свидетельствовали о том, что Маркс, по-видимому, намеревался изложить данную проблему в виде писем-посланий (Lieferungen). В данном наброске имелось указание на вторую проблему, планировавшуюся к рассмотрению. Эго, разумеется, была теорема Маклорена, о чем свидетельствовал один из заголовков. Таким образом, данная рукопись стояла, на наш взгляд, в одном ряду с рукописями «О понятии производной функции», а также «О дифференциале» и дополнениями к ней.

В данной рукописи Маркс не только и не столько затрагивал проблемы доказательства теоремы Тейлора, сколько выяснял ее связь с биномиальной теоремой. Значение данной рукописи, помимо прочего, заключалось в том, что здесь был рассмотрен общий вопрос понятия функции и особенности исходной, первоначальной, функции, над которой производится операция дифференцирования.

Таким образом, интерес к центральному понятию теории и историческим формам его трактовки был сходен с исследованиями Маркса в области политической экономии, где центральным понятием было понятие прибавочной стоимости. Аналогично с исследованиями в области политической экономии было обращение Маркса к истории дифференциального исчисления, которое стало еще одной предпосылкой формулировки собственного понимания основных понятий исчисления.