Эвристическое решение

Для того чтобы получить четкое решение и изучить последствия озабоченности правительства благосостоянием затронутых налогами домашних хозяйств, мы обращаемся теперь к формальному анализу[186].

Базовая формулировка аналогична той, что приводилась в предыдущих разделах. Человек, относящийся к типу w, максимизирует U(Y(w), L (w)), где Y(w) = Z- T(Z)vlZ= wL (w). Опять же имеется величина w0, такая, что

L (w) = 0 для w lt; w0

L (w) gt; 0 для w gt; w0 В последнем случае условия для максимизации полезности дают

UY(\ - Т) w+ UL- 0,              (13-46)

где предполагается, что налоговая функция дифференцируема и что Т* lt; 1 (см. работу Миррлиза [Mirrlees, 1971, с. 177]). Правительство выбирает функцию Т (Z) для максимизации функции социального благосостояния (13-30), зависящую от производственного ограничения (13-28); т.е. мы сохранили упрощающие предпосылки постоянных цен производителя и отсутствия прибыли.

Задачу можно решить эвристическим способом, используя принцип максимума (серьезное исследование данной задачи можно найти у Миррлиза [Mirrlees, 1971, 1979]. Можно записать целевую функцию (с А в качестве множителя, связанного с производственным ограничением):

J[Y(V) + X(Z-r-JU}dF

(13-47)

В данной максимизации U (иgt;) выступает как переменная состояния, и нам надо вывести дифференциальное уравнение, управляющее ее поведением. Дифференцирование функции полезности и ограничения индивидуального бюджета в сочетании с условием первого порядка для максимизации полезности (13-46) дает нам

dU rT BY TT BL rT „ UY—+ UL — = UY( 1 dw ?Bw Bw r

BL „ BL LU,

T')w^+Ul^+UyL( 1 Bw LBw Y

T') =

= UYL{\ - T) = -

w *              (13-48)

L ( w) принимается за контрольную переменную при том, что Y (w) выводится из L (w) и U (иgt;)[187].

Применяя принцип максимума [см., например, работу Интрилигейтора (Intriligator, 1971)], мы вводим множитель С, (w), связанный с дифференциальным уравнением (13-48) и записываем Гамильтониан (где /—плотность распределения w) следующим образом:

dU

J7- [Ч* (?/) + A, (Z- ВД/+5

dw’

(13-49)

где 4 удовлетворяет

В

dw ~ BU

BY

BU

BY LYBU

-X

(13-50)

J

Последний член этого выражения получен посредством дифференцирования dU/dw по U, оставляя L константой, но учитывая зависимость Y от U. Затем выбирается контрольная переменная для максимизации Я, и условие первого порядка выглядит как:

дН-т

BL

-і

dV

= 0,

w-

(13-51)

1 S3L dw

У У

где это необходимо только в том случае, когда Z строго возрастает (см. Миррлиз [Mirrlees, 1971, с. 183]). Данное выражение может быть преобразовано следующим образом:

'Л

wUv

(13-52)-

Из условия первого порядка для максимизации полезности вытекает, что левая сторона — это Т\ т.е. маржинальная налоговая ставка. Это начинает походить на тот тип формулы, к которому мы стремимся; в частности, правую часть можно воспринимать как результат движения вправо на диаграмме (нарастание Z для данного w) — почему для групп, находящихся ниже вершины, мы можем стремиться к ненулевой маржинальной налоговой ставке.

Для упрощения последующей дискуссии мы предполагаем, что ULY= 0, т.е. при таком изложении UL не зависит от Y. Это позволяет нам проинтегрировать (13-50), чтобы получить:

(13-53)

где мы использовали условие трансверсальности, что ? (lt;») = 0.

Можно скомбинировать ключевые условия (13-52) и (13- 53), чтобы получить следующее (мы использовали тот факт, что Uly- 0 при дифференцировании выражения, находящегося внутри квадратных скобок в правой части первого равенства, и снова применили индивидуальное условие первого порядка) [188]: