Интерпретация

Интерпретируя данное условие давайте начнем с интеграла в правой части. Значение его можно понять на основе следующего мысленного эксперимента. Предположим, что мы уменьшаем полезность каждого, находящегося выше w на маржинальную величину (это напоминает рис.

Таким образом, интеграл включает в себя воздействие на людей с более высокими величинами w с точки зрения дохода (как это представлено на диаграмме) и полезности (в диаграммах во внимание не принималось). Более того, он имеет тенденцию сначала к повышению, затем к снижению, в результате чего налоговые ставки оказываются выше в среднем интервале. Для более низких величин w интеграл невелик, поскольку наверху имеется много «достойных»; интеграл достигает максимума в точке, когда чистая выгода от перевода составляет ноль; а для высоких величин w он низок, поскольку задействовано небольшое количество. Однако, данное свойство зависит от формы функции социального благосостояния.

Предыдущее изложение предполагает, что эти соображения необходимо сопоставлять с воздействием на рабочую силу, источником которой являются те, кто находятся на w. Данное воздействие представлено (є* /wj). Отсюда мы видим, что воздействие зависит от:

15 Интеграл на всем диапазоне, включая всех тех, для кого L = 0, измеряет чистую выгоду от единичного увеличения полезности для всех. Поскольку это является Допустимой вариацией, при оптимуме чистый эффект должен быть равен нулю, т.е.

Первый элемент отрицательный, следовательно, второй — положительный.

Рис. 13-3. Интерпретация оптимальных условий подоходного налога.

1. Значение е\ которое является измерителем эластичности предложения рабочей силы. Однако это не является традиционным определением эластичности, поскольку е* - 1 по сути дела является реакцией L на изменения w с учетом того, что а — константа[189]. Величина є* равна единице, если имеется постоянная маржинальная отрицательная полезность усилий, и возрастает по мере того, как предложение становится менее эластичным.
2. Количества единиц труда, затронутых (wf). Если потенциальная рабочая сила, на которую оказано воздействие, низка, то маржинальные налоговые ставки могут быть высокими. Это предполагает, что ставка будет высокой в нижней и (в меньшей мере) в верхней части распределения.

(-wLu" Г

и7!

и'г              1              .              ,

en = і или — = є - 1 +

(і/'г + w м"і ) L є-ll

Налоговая формула (13-54) дает хорошее понимание факторов, влияющих на маржинальные налоговые ставки и на то, как они взаимодействуют между собой.

Цифровые подсчеты

Общие результаты оптимальной налоговой формулы трудно получить, и их нужно тщательно интерпретировать. Соответственно, полезными могут оказаться цифровые подсчеты. Такой подход использовал Миррлиз [Mirrlees, 1971], который, в частности, рассматривал случай, когда функция полезности относится к типу Кобба—Дугласа (ур. (13-37)) при а = ^ и — логнормальном распределении. На основе этих подсчетов Миррлиз делает ряд (квалифицированных) выводов. Наиболее важные для политических задач сводятся к следующему:

1. оптимальная налоговая структура является приблизительно линейной, т.е.
   постоянной маржинальной налоговой ставкой с уровнем освобождения от налогов, ниже которого полагаются негативные налоговые выплаты;
2. маржинальные налоговые ставки довольно низки (»Должен сознаться, я ожидал, что серьезный анализ подоходных налогов в утилитарной манере даст аргументы в пользу высоких налоговых ставок. Этого не произошло» (Миррлиз [Mirriees, 1971, с. 207]);
3. «подоходный налог — гораздо менее эффективный способ уменьшения неравенства, чем обычно полагают» (Миррлиз [Mirriees, 1971, С.208]).

Цифровые результаты, полученные Миррлизом, приведены в столбце с подзаголовком «утилитарные» в табл. 13-3. Маржинальные налоговые ставки очень мало варьируются в диапазоне w и сравнительно невысоки. Однако, как мы убедились в случае с линейным налогом, результаты, вероятно, будут отличаться чувствительностью к предпосылкам, сделанным относительно функции предложения рабочей силы, уровня дохода и формы функции социального благосостояния. В работе Стерна [Stem,

1976. высказывается предположение, что более низкая эластичность замены досуга и потребления (чем единая величина), внутренне присущая функции Кобба—Дугласа, может привести к более высокой ставке процента (и на то же самое указывает ур. (13-54)).

Здесь мы концентрируем внимание на таком аспекте, как форма функции социального благосостояния. Результаты, полученные Миррлизом, которые приводятся в таблице 13-3, соответствуют тому случаю, когда *Р' = const, т.е. утилитарному случаю[190]. Для контраста мы представляем в правой части таблицы роулсианский случай макси-мин. Задачу можно решить, используя такой же подход, который был применен выше См. работы Аткинсона [Atkinson, 1972] и Фелпса [Phelps, 1973]. Маржинальные налоговые ставки значительно выше для большей части диапазона доходов. Только в верхнем 1% и выше маржинальные налоговые ставки приближаются к полученным Миррлизом. Более того, приблизительная линейность оптимальной налоговой схемы, которую Миррлис считает, «возможно, самой выдающейся чертой» его результатов, не переносится на случай макси-мин. Налоговая схема существенно отходит от линейности в диапазоне, который охватывает большинство населения. Наконец, в случаях, рассмотренных Миррлизом, доля населения, предпочитающая не работать, приближалась к нулю. В случае «макси-мин» в таком положении было бы 16—20% населения.

Это предполагает, что выводы (1) и (2), полученные Миррлизом, могут зависеть с достаточной степенью чувствительности от формулировки функции социального благосостояния: его третий вывод — о том, что подоходный налог является не особенно эффективным средством перераспределения дохода, частично основывается на сравнении оптимального подоходного налога с «первым наилучшими» полученным посредством единовременного налогообложения, т.е. когда налог может быть

напрямую связан с w.B случае Кобба-Дугласа, при а~^, индивидуум затем максимизирует

log [wL - Т (w)] + log (1 - L),

где мы заменили бюджетное ограничение. Условие первого порядка выглядит как

w(l - L) - (wL - 7) = 0

или

w+7'(w)lt;0hI = 0

Отсюда уровень полезности для человека со способностью w выражается через:

w-т

w — Ґ

V{w, Т) = 21og —-— - log w для Tgt;~w, (где Y-—^—)

V

= log (- Т) для Тlt;- w (где Y-- Т).

Правительство выбирает Т (w), зависящее от ограничений по доходу. Поскольку Т(w) может варьироваться независимо, условия первого порядка для утилитарной цели состоят в том, что BV/BT= X, где X — множитель, связанный с ограничением по доходам. Поскольку Э V/ВJ- - 1/У, то из этого следует, что доходы, а не полезности, выравнены:

- Т- w0 = У, L - 0, V- log w0 для w й w0

Утилитарное и «макси-мин» решения оптимального подоходного налога

¦Утилитарное»              »Макси-мин»

Уровень tv Налоговые ставки              Налоговые              ставки

процентиль

Источник: Аткинсон (Atkinson, 1972, таблица 3).

Примечание: * У0 (т.е. эквивалентное потребление при L — 0).

В случае I потребности дохода положительны, в случае II — отрицательны (правительство располагает доходами, полученными в государственном секторе).

W

Т- w - 2w0, Y= w0, L * 1 - —, Vlt; log wQ для w gt; wQ

w

Миррлиз комментирует как «интересный курьез» тот факт, что v падает вместе с w. Однако в этом примере нет ничего патологического. В Лекции 11 мы показали, как подобная полная перестановка ранжирования может возникнуть при утилитарной цели, и привлекли внимание к очевидной проблеме стимулов. По контрасту полный оптимум «макси-мин» подразумевает равный уровень полезности.

Упражнение 13-4. Опишите оптимум при единовременном налоге, когда правительство максимизирует функцию роул- сианской цели. Отличительные особенности решения первого

наилучшего в сочетании с большей «прогрессивностью» (с точки зрения полезности) подоходного налога в случае «макси- мин» означают, что различие между подоходным налогом и первым наилучшим гораздо менее ярко выражено при цели «макси-мин», чем в утилитарном случае.