4.2. Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических показателей

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко — ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

(4.1)

; t — 2,3,...,п,

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы: где среднеквадратическое отклонение ау рассчитывается в свою очередь с использованием формул: у =,=1

10У,-У)2

/=1

аУ = ]

п -1 п

Расчетные значения Х,2, А.3 и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение yt уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости а = 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4 п 2 3 10 20 30 50 100 2,8 2,3 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов; рассмотрим два из них.

Метод проверки разностей средних уровней. Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

На первом этапе исходный временной ряд

У1>У2> Уз, •••» Уп

разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части п\ первых уровней исходного ряда, во второй — П2 остальных уровней (пі + п2 = п).

На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

пі "і

77 \2

Zff ?(!/І-УІ)2

пг -1

2

— (=лі+1 2 <=n,+l

j/2 =—2—; <*2 =——

n2-1

Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F- критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия: (4.2)

г/1 - г/2

1 1

ст — + — V«1 п2 где ст — среднеквадратическое отклонение разности средних: Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента ta с заданным уровнем значимости а, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение ta берется для числа степеней свободы, равного n\+nz~2, при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера—Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

1, если yt меньше всех предыдущих уровней; О, в противном случае

На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

На втором этапе вычисляются величины s и d:

п

s = Y(kt

t=2

d = ?(ft, - І,)-

(=2

Нетрудно заметить, что величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до п-1 (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от -(га-1) (ряд монотонно убывает) до (п-1) (ряд монотонно возрастает).

Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными 1)

отклонение величины s от величины р. — математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом, 2)

отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений і-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

Is - ці I

ts = ]- Ь aL = V2 In n - 3,4253;

<*l

Id - 0| ,

id=J Ь a2 = V2 In n- 0,8456,

где ц — математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

а і — среднеквадратическое отклонение для величины s;

02 — среднеквадратическое отклонение для величины d.

Для удобства имеются табулированные значения величин ц, tfl и а2) фрагмент этих значений представлен в табл. 4.5.

Таблица 4.5 п 10 20 30 40 V- 3,858 5,195 5,990 6,557 1,288 1,677 1,882 2,019 <*2 1,964 2,279 2,447 2,561 На четвертом этапе расчетные значения ts и t^ сравниваются с табличным значением ^-критерия Стьюден- та с заданным уровнем значимости ta. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть. Например, если ts больше табличного значения ta, a t^ меньше ta, то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет. Пример определения наличия тренда методом Фостера—Стьюарта приведен в § 4.4.

Перейдем к вопросу сглаживания временных рядов экономических показателей.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы: 1)

аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний; 2)

механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Методы аналитического выравнивания на основе кривых роста рассматриваются в гл. 5. Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выравненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда

г/ьг/2»уз» •••,г/п

определяется интервал сглаживания т (jn < п). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых т уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д. Для вычисления сглаженных уровней ряда yt применяется формула:

t+p

yt=iz!i?_ t>p,

m

где p = ——- (при нечетном m); для четных т формула ус- 2

ложняется.

В результате такой процедуры получаются п - т + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной: ТРІУІ

причем веса рt определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания. Так, для полиномов второго и третьего порядков числовая последовательность весов при интервале сглаживания т = 5 имеет вид: {-3; 12; 17; 12; -3}, а при т = 7 имеет вид: {-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2}. Для полиномов четвертой и пятой степеней и при интервале сглаживания т = 7 последовательность весов выглядит следующим образом: {5; - 30; 75; 131; 75; -30; 5}.

К этой же группе методов выравнивания временных рядов примыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда

УъУ2>Уг, •••,Уп

соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через St, t = 1,2, ..., п, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

St = ayt + (1 - a)St_i, (4.3)

где a — параметр сглаживания (0 < a < 1); величина 1-а называется коэффициентом дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

t-1

St =a?(l-a)Vi +(l-a)tS0;

i=0

здесь So— величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется (необоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3. Других точных рекомендаций для выбора оптимальной величины параметра а пока нет. В отдельных случаях Р. Браун предлагает определять величину а исходя из длины сглаживаемого ряда:

2

a = .

п +1

Что касается начального параметра S0, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда Ух, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, членов у\, у2, Уз:

S -__Уі+У2+Уз 0 3

Указанный выше порядок выбора величины S0 обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного рядов для первых уровней. Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре а начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Заметим, что при этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого временного ряда.