Вариант модели 2.

Данный вариант модели существенно отличается от предыдущего рядом дополнительных условий (ограничений). Ее формальное описание приводится в работе [20, с. 168,169].

Для построения рассматриваемого варианта модели вводятся следующие условные обозначения:

Mk — потребность в материале k-ro завода на планируемый период, рассчитанная по базовым (действующим) нормам (а0) его расхода с учетом производственной программы (тыс. т). Она определяется как произведете нормы расхода (а0) на объем выпуска (N);

Qaj — коэффициент экономии (замены) для данного материала в результате внедрения j-го варианта ОТМ а-направления;

Kfr — уровень коэффициента использования материалов на k-м заводе, установленный по базовой норме его расхода (см. § 9.1) до внедрения ОТМ;

КІ — уровень коэффициента использования данного материала на k-м заводе, который должен быть достигнут в плановом периоде (задание) с целью экономии материального ресурса в результате внедрения ОТМ;

Amk — чистая масса потребляемого материала в производстве k-ro завода по норме базисного года (тыс. т). Она определяется из выражения: Ат^ = К® • ;

Pkaj — удельные капитальные вложения на единицу объема применения j-го мероприятия а-направления на k-u заводе (тыс.

АР^ — дополнительные капитальные вложения, предусмотренные для внедрения ОТМ на k-м заводе (млн руб.);

9k — планируемый уровень экономии расхода материала в производстве k-ro завода при условии достижения заданного значения коэффициента использования этого материала

(КІ) в результате внедрения ОТМ (тыс. т). Уровень экономии определяется как разность между потребностью в материале, рассчитанной по базовым нормам (Mk) до внедрения ОТМ, и нормативным объемом его расхода на k-м заводе при

условии выполнения планового задания повышения коэффи-

/ \

Ать

циента использования данного материала

V Kk J

Я - м АтЬ• кк

Ckaj —удельная экономическая эффективность единицы объема применения j-го варианта ОТМ а-направления к изделиям k-ro завода отрасли. Ее значение определяется из выражения (9.6) в разрезе каждого завода путем суммирования по всем изделиям (і);

QmaXt , Qmink — максимальный и минимальный объемы

применения j-го мероприятия а-направления на &-м заводе (тыс. т);

Xkaj — подлежащие определению неизвестные задачи, указывающие объем применения j-го варианта ОТМ а направления на /г-м заводе (тыс. т).

Таким образом, в соответствии с постановкой данного варианта задачи необходимо определить объем применения на /г-м заводе j-го варианта мероприятий а-направления, который обеспечивает максимум целевой функции линейной формы, выражающей суммарную экономическую эффективность внедрения ОТМ по отрасли:

4 га т

(9.31)

а=1; = 1 й=1

При этом накладываются ограничения: на объемы привлекаемых капитальных вложений:

4 га

(9.32)

а = 1;=1

на объем внедрения ОТМ:

Ятты, * Xka. на задание по экономии расхода материала при условии достижения планового уровня коэффициента использования

данного материала (К\):

11яа1а-~)'Хка1>Эк, k = l,m. (9.34)

a = iy = l Kk

Напомним, что в ограничении (9.34) составные выражения имеют следующую интерпретацию:

qaj • Xkaj — экономия расхода материала в производстве

k-ro завода без учета повышения коэффициента использования материала;

К® • XkaJ — чистая масса расходуемого материала при базисном коэффициенте использования; Kfr " Xfrgj

—- — нормативный объем расхода материала

к\

при достижении планового уровня коэффициента использования его в производстве k-ro завода;

Ґ Р-0 .

кі

экономия расхода материала в результате

У

внедрения ОТМ и при условии выполнения планового задания повышения коэффициента использования этого материала в производстве k-ro завода.

В целях наглядности систематизация условных исходных данных для реализации данной модели также выполнена в табл. 9.9. В эту же таблицу заносятся и результаты решения рассматриваемой задачи.

При реализации задачи по данным матриц табл. 9.9 экономико-математическая модель (9.31) - (9.34) приводится к двумерному представлению в следующем виде:

Пх) = шах; (9.35)

А = 1 У = 1 Таблица 9.9. Матрицы исходных данных и результаты решения задачи оптимизации планирования С" то варианту модели 2 (9.31) - (9.34) Намиемоаанне направлений ОШ (а) Приймете проып улучшенного ІІШШ Внедрение эшеж гелей Технологические мероприятия Я х Нмиеюынм варианте» ОТУ Сортовая холоднотяну- iaa ста^у. Низлояепіро- домая сталь Сшилл трубы Легкие СПЛШ Увеличение АО/Ш штампом* Снижение припуски на иеынмче- скую обработку Использование дедовых опгадо* У/і у-і'ікиие раг-роя мсю- аогг. у ссргояо- гг.->-<осага is fi 1 3 І

І Индексы прилитое (j) 2 1 2 1 2 3 4 tl 2 я

KS

І! 1 Коэффициент жсивым (qirJ) І,іВ2 0.159 1,253 2,855 0.135 0.029 1.0 Г. 03) II ї * Is Идогс мвода

(Ц Элоношпесш эффепи*- --лесть и дельные ил. Ммычно- "^-^молешя инне Сен f,„ Cell Я„г Cat Prf. Ct22 Рйг Саг Ра, Cgu р,а СеЗЗ Рш е.* її Г 350,8 50.4 159,2 39.1 283,8 47.3 123.6 41.2 299,5 59.9 183,2 48.5 262,0 52.4 362,4 53.2 1 Завод Nt 1 0- On, 0™, о_ . 18.7 YVki< АР„, k = 1,3;

і=і (9.36)

h = 1,3, j = 1,8;

Ятшц * Xkj < Q„ >э„ ft = 1,3.

y=і Kk \

Матрица коэффициентов С при неизвестных переменных целевой функции (9.34) ніз табл. 9.9 имеет следующие значения:

ґ350,8 159,2 283,8 ,123,6 299,5 183,2 262,0 362,

358,4 278,1 237,3 '382,0 392,4 258,9 360,8 294,0

^ 82,5 29,4 64,4 44,7 62,4 60,8 36,3 59,6,

і® > ? '

Матрица коэффициентов МІ для ограничений по повышению коэффициента использования материала и экономии расхода данного материала определяется из табл.

К0

j-го варианта ОТМ (д.) на разность (1 :

КІ

С =

0,126 0,0017 0,0134 0,0305 0,0014 0,0003 0,0107 0,0004 М1 =

0,0184 0,0025 0,0195 0,0445 0,0021 0,0005 0,0156 0,0006 . v0,0093 0,0013 0,0099 0,0226 0,0011 0,0002 0,0079 0,0003,

Матрица коэффициентов удельных затрат на единицу объема ОТМ Р для ограничений на лимиты привлекаемых капитальных вложений по каждому заводу (табл. 9.9) в свою очередь задается в следующем виде:

^50,4 39,8 47,3 41,2 59,9 48,5 52,4 53,2"

Р =

89,6 92,7 79,1 95,5 98,1 86,3 90,7 98,0 .

ч16,5 14,7 16,1 14,9 15,6 15,2 12,1 14,9,

Матрица минимальных объемов Qmin внедряемых мероприятий имеет нулевые значения. Максимальные объемы внедряемых мероприятий Qmax по каждому заводу из табл. 9.9 могут быть представлены в следующем виде: 38,5 41,5 82,7 72,5 41,8 60,5 132,5 15,1 32,1 33,6 35,2 34,3 32,8 35,7 36,9 35,8 ^29,5 37,2 33,3 41,7 38,6 27,1 17,5 18,7 Как видно из целевой функции (9.35) и системы ограничений (9.36), данная задача является обычной задачей линейного программирования, которая может быть решена симплекс-методом. В составе программного обеспечения ПЭВМ имеются пакеты прикладных программ [2, 22], с помощью которых реализована рассматриваемая экономико- математическая модель (9.31) - (9.34) после ее двумерного представления (9.35), (9.36).

С использованием значений элементов матрицы С выражение целевой функции (9.35), анализируемой пакетом программ LP88, в матричной форме представляется следующим образом:

F(x) = ХСТ , где X — матрица неизвестных переменных;

Ст — матрица, транспонированная к матрице С.

Тогда в естественной форме запись данной целевой функции имеет следующий вид:

F(x) = 350,8Хц + 159,2Xi2 + 283,8ХІЗ + 123,6Хі4 + + 299,5Х15 + 183,2Хі6 + 262ХІ7 + 362,4Хі8 + +358,4X21 +...+ 36,ЗХ37 + 59,6Х38 -> max.

В обозначениях пакета LP88 переменной Хц соответствует Хі, Х12 - Х2, ... , Х2і - Хд ,..., Х38 - Х24.

Система ограничений, построенная на базе матрицы Ml и вектора плановых заданий (табл. 9.9) по повышению коэффициента использования материала и экономии расхода этого материала по каждому заводу отрасли (9.34), имеет такое конкретное представление:

0,0126ХИ + 0,0017Х12 + 0,0134Х13 + 0,0305Х14 + + 0,0014Х15 + 0,0003Х16 + 0,0107Х17 + 0,0004Х18> 3,6;

0,0184Х21 + 0,0025X22 + 0,0195Х23 + 0,0445Х24 + + 0,0021Х25 + 0,0005X26 + 0,0156Х27 + 0,0006Х28> 1,81;

0,0093Х31 + 0,0013Х32 + 0,0099Х33 + 0,0226Х34 + + 0,0011Х35 + 0,00 02Х36 + 0,0079Х37 + 0,0003Х38> 1,1.

Ограничения (9.32), вытекающие из матрицы Р и вектора лимитов, привлекаемых по каждому заводу капитальных вложений (АР), задаются в виде неравенств:

50,4ХП + 39,8Х12 + 47,ЗХ13 + 41,2Х14 + 59,9Х15 + + 48,5Х16 + 52,4Х1Т + 53,2Х18 < 14000;

89,6X21 + 92,7X22 + 79,1X23 + 95,5X24 + 98,1X25 + + 86,3X26 + 90,7X27 + 98,0X28 < 12400;

16,5Х31 + 14,7Хз2 + 16,1Х33 + 14,9Х34 + 15,6X35 + + 15,2Х36 + І2ДХ37 + 14,9Х38 < 2500.

В соответствии с ограничениями, накладываемыми на объемы внедрения ОТМ (9.33) по каждому заводу, согласно данным табл. 9.9 и матрицы Qmax имеем: Хм > 0, k = 1,3; j = 1,8 и

4tJ

ХЦ < 38,5; Xis < 41,8; X2i < 32,1; Х25 < 32,8; Х31 < 29,5; Х35 < 38,6;

Х12 < 41,5 Хіб < 60,5 Х22 < 33,6 х26 < 35,7 Х32 < 37,2 Х36 < 27,1

Х13 < 82,7; Х17 < 132,5; Х2з < 35,2; Х2Т < 36,9; Х33 < 33,3; Х37 < 17,5;

Х14 < 72,5 Xis < 15,1 Х24 < 34,3 Х28 < 35,8 Х34 < 41,7 Х38 < 18,7 Результаты решения экономико-математической модели Xhaj — оптимальные объемы внедрения ОТМ определенных направлений по каждому заводу в соответствии с целевой функцией (9.31), как выше отмечено, приведены в табл. 9.9.

С учетом найденных оптимальных объемов внедрения мероприятий (Xkaj) и данных матрицы их удельной эффективности (С) целевая функция, выражающая максимум экономической эффективности внедряемых мероприятий на плановый период, имеет значение

F(x) = 137068.

Используя результаты решения задачи из табл. 9.9, можно установить, что эффективность внедрения ОТМ по заводу № 1 характеризуется величиной 77302, по заводу № 2 — 49533 и по заводу № 3 — 10233. Аналогично можно определить эффективность внедрения мероприятий в разрезе направлений и их вариантов по каждому заводу и отрасли в целом.

Кроме того, как в предыдущих задачах, для данной модели также можно выполнить анализ остатков ограниченных ресурсов (Qmax и АР) для оптимальных планов. Пакет LP88 и функции EXCEL позволяют провести исследование чувствительности результатов реализации модели при изменениях правых частей неравенств (9.36) с одновременным установлением нижней и верхней границ интервала изменения коэффициентов при неизвестных, целевой функции (9.35), в пределах которых оптимальные значения переменных X остаются неизменными.

В заключение отметим, что приведенные задачи оптимизации планирования организационно-технических мероприятий по экономии расхода материалов указывают на широкие возможности моделирования рещеций в зависимости от различных производственных ситуаций.

Вопросы 1.

Дайте характеристику этапов процесса разработки и реализации экономико-математических моделей планирования ОТМ. 2.

Какие понятия и определения используются при решении оптимизационных задач по экономии расхода материалов в производстве предприятий? 3.

По каким критериям строятся модели оптимального планирования ОТМ по экономии расхода материальных ресурсов? 4.

Какие разновидности оптимизационных моделей планирования ОТМ могут быть реализованы с помощью средств математического программирования и чем они отличаются друг от друга? 5.

Какие результаты могут быть получены при реализации моделей оптимизации планирования ОТМ с помощью средств целочисленного программирования и обычных средств линейного программирования? 6.

В чем заключается сущность анализа результатов задач решения оптимизации планирования ОТМ?