11.6 Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством

Один из самых распространенных механизмов принятия общественных решений (процедур коллективного выбора) - это голосование.

При анализе голосования мы будем исходить из предпочтений потребителей на наборах общественных благ (при заданных рыночных ценах и структуре общественных расходов).

(11.5)

Y (xfc )pfc xfc + Y pfc xifc ^i,

seK1 fceK2

fceK1

(x(1), x(2)) = Xj G Xj, где полезность максимизируется по x(2) при .заданной величине x(1). На основе этих задач предпочтения можно задать с помощью функции полезности Uj(?), сопоставляющей каждому набору общественных благ x(1) максимально достижимое значение полезности в данной задаче.

Одна из самых распространенных процедур - голосовании по правилу простого большинства.

Определение 78:

Пусть A - множество альтернатив и (^j}j - набор предпочтений i = 1, ...,m на A. Альтернатива a G A называется равновесием при голосовании по правилу простого большинства

если не существует такой альтернативы a G A, что она лучше a по большинству предпочтений.

На основе этой процедуры можно предложить концепцию равновесия для экономики с общественными благами.

Определение 79:

Равновесие с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства есть набор (p, X, y), такой что

???list # (X, y) - допустимое состояние экономики с общественными благами;

(2)

для каждого потребителя x( ) является решением задачи (11.5) при ценах p, доходах

ei = pWj + J2 Yij pyj + Sj

jeJ

и объемах потребления общественных благ x(1) = X(1);

X(1) - равновесие при голосовании по правилу простого большинства для альтернатив, заданных множеством наборов общественных благ X (1), и набора предпочтений, заданных функциями Uj(-);

каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя (11.3) при ценах p.

Выбор количества общественных благ с помощью голосования простым большинством сталкивается с двумя серьезными проблемами:

Такое равновесие существует только при довольно ограничительных предположениях.

Даже если равновесие существует, оно обычно не Парето-оптимально. Существование равновесия при голосовании можно гарантировать в случае, когда предпочтения потребителей однопиковые.

Приведем определение понятия однопиковых предпочтений для частного случая, когда множество альтернатив A является подмножеством действительных чисел (этот случай соответствует экономике, в которой существует только одно общественное благо). Отношение

предпочтения ^ потребителя (на множестве альтернатив A) однопиковое, если выполняются следующие условия:

существует оптимальная с точки зрения потребителя i альтернатива О- (альтернатива О,' такая, что ai ^i a для всех a Е A);

если ai ^ a2 ^ a', то a2 ^ ai;

если ai ^ a2 ^ a', то a2 ^ ai.

Проиллюстрируем сказанное на примере квазилинейной экономики. Пусть доля Si каждого потребителя в финансировании общественного блага постоянна и положительна. Тогда предпочтения потребителя i на множестве возможных вариантов потребления общественного блага задаются функцией

u'(x) = V'(x) - S'px.

Будем считать, что для любого i функция u-(x) достигает максимума на множестве неотрицательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки зрения потребителя i количество общественного блага xi . Тогда соответствующие предпочтения являются однопиковыми (при сц = Xi) на множестве альтернатив A = [0, то).

Действительно, по построению величина xi - максимум функции u-(x) на множестве A. Несложно также проверить, что, поскольку v'(x), не убывает, эти предпочтения удовлетворяют условиям (b) и (c).

Заметим, что величину щ^') = v-(x-) - S-px- можно интерпретировать как потребительский излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага S-p.

Если предельные издержки vi(?) являются непрерывной функцией, то xi удовлетворяет соотношениям

v'i(xi) ^ Sip,

причем, если a- > 0, то

vi(sci) = Sip.

Эти уравнения задают равновесие.

Возможное поведение оценок щ(xi) объемов общественного блага для случая, когда m = 3, приведено на диаграмме: А \Ii2(X) \ з"-- xi x2 x3 x

Заметим, что в случае, когда m - нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосовании имеет особо простую структуру.

Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства характеризуется следующим образом. Если y - равновесный объем, а p - равновесная цена общественного блага, то

p = c'(y) и xj* = y ,

где i* - медианный потребитель при цене p.

В общем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потребителя (желаемого им объема потребления общественного блага).

Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внутреннем равновесии) равновесная цена известна заранее - она равна предельным издержкам и i* - медианный потребитель при этой цене.

В общем случае найти медианного потребителя при "правильной" цене можно на основе следующего приема.

Заметим сначала, что поскольку p = c'^j*), то величина xj* является решением одного из следующих m уравнений

vj (xj) = $jc'(xj).

Предположим, что xj* - медиана из рассматриваемых величин (xj} - решений таких уравнений. Тогда xj* является предпочитаемым медианным потребителем объемом потребления общественного блага (то есть xj* = xj*), а величина p = c'(xj*) - равновесной ценой общественного блага.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене p = c'(xj*) потребитель i* является медианным потребителем.

С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, vj(xj)/$j, упорядочены одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не зависит от цены.

Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при голосовании с долевым участием.

В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствующим его оптимальному количеству, т. е. = vi(x), для всех участников выполнено соотношение: xj = x, т. е. x предпочитается всеми потребителями (а не только более чем их половиной) любой другой альтернативе.

Но при определении "правильных" долей финансирования мы должны опираться на приватную информацию о предпочтениях потребителей, т. е. решить проблему выявления предпочтений, трудности решения которой мы уже обсуждали и будем обсуждать ниже.

В общем случае мы можем ожидать как недопроизводства общественного блага (xj*, x)), так и его перепроизводство.

Пусть, например, потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. = +, где число потребителей m нечетное. Тогда в равновесии при голосовании объем потребления общественного блага xj* будет таким, что

vj* (xj*) = - c'(xj*). jm

С другой стороны, оптимальный (по Парето) объем потребления общественного блага есть величина x, такая что

m ?vj (x) = m cj(x).

iei

Таким образом, объем производства общественного блага в равновесии при голосовании с равными долями финансирования xj* является оптимальным тогда и только тогда, когда средняя предельная полезность для этого количества равна предельной полезности медианного потребителя.

Легко придумать такой набор функций vj(x), что для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность больше предельной полезности медианного потребителя. В этом случае (при убывающей отдаче) можно доказать, что x > xj*. Если бы x ^ xi*, то

m cj(x) = m ?vj (x) > (x) ^ vj* (xi*) = m cj(xi*).

iei

Наоборот, если для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность меньше предельной полезности медианного потребителя, то х < xj*. Если бы x ^ xi*, то

m c/(x) = m ?vj (x) < (x) < (xi*) = m с'(^*).

iei

Пример 56 ((продолжение Примеров 54 и 55)):

В рассмотренном выше примере, когда

vj(xj) = 2aj ln xj и c(y) = y2,

имеем xj* = ^/maj* и x = Vma, где a = 5^ie/ aj/m. Поэтому x ^ xj* тогда и только тогда, когда a ^ aj*.

Пусть, например, aj = i, и m нечетно. Тогда

.* m + 1

a = aj* = i = -2-,

и объем производства общественного блага в равновесии при голосовании совпадает с оптимальным.

Если aj = i2 , то

_ (m + 1)(2m + 1) 2 (m +1)2

a = и aj* = (i ) = .

6 4

Поскольку a > ai* при m > 1, то x > xi*.

Если aj = exp(Yi), то при Y > 0 выполнено a > aj* и x > xj*. В то же время при Y < 0 выполнено a < aj* и x < xj*. Д