Приложение 12.A Доказательство теоремы Майерсона-Саттертуэйта

??

Введем обозначение для ожидаемой платы с точки зрения продавца:

ГV2 _

Pc(c) = E *(c,u)=/ s(c,v)f (v)dv

v1

Pv(v) = E t(c,v)= f 2 t(c, v)g(c)dc, Jci

торговли с точки зрения продавца:

Г V2

Xc(c) = E x(c, -s) = / x(c, v)f (v)dv

v1

:

Г C2

Xv (v) = E x(c, v)= / x(c, v)g(c)dc.

c1

AfV2

vi

и с точки зрения покупателя:

f С2 /ci

а также ожидаемого объема торговли с точки зрения продавца:

fV2 ' vi

и с точки зрения покупателя:

С С2 c1

В этих обозначениях

U"(v) = VXv (v) - Pv (v),

и

Uc(c) = Pc(c) - cXc(c).

По условиям самовыявления для двух оценок покупателя, v и c, мы можем записать следующие два неравенства:

Uv (v) ^ Uv (v) и U"(u) ^ U"(v).

Uv (v) - U*(v) ^ Uv (v) - U*(c) ^ Uv (v) - Uv(v)

или

(v - v)Xv(v) ^ Uv(v) - U"(u) ^ (v - v)Xv (v).

Переходя к пределу в этих неравенствах (v ^ v), получим, что

^ЦМ = X v (v). dv

Отсюда, беря интеграл ,

rv

Uv (v) = Uv1 (vi)+ Xv (z)dz.

J vi

Поскольку ожидаемый объем торговли Xv(z) неотрицателен, то коль скоро условие добровольности участия выполнено для покупателя с оценкой v1 , то оно выполнено для всех покупателей:

Uvi (vi) ^ 0 ^ Uv(v) ^ 0 Vv. Применяя аналогичные рассуждения к поведению продавцов разных типов, получим, что

dUc(c)

= -X c(c),

dc

откуда Uc(c) = UC2 (C2)+Jcc Xc(z)dz.

Кроме того, коль скоро условие добровольности участия выполнено для продавца с издержками c2, то оно выполнено для всех продавцов.

Uc2 (c2) ^ 0 ^ Uc(c) ^ 0 Vc.

Вспомним, что

Uv (v)= vXv (v) - Pv (v), и Uc(c)= Pc(c) - cX c(C).

Отсюда

v

Pv (v) = vXv (v) - Uvi (vi) - Xv (z)dz

vi

и

vi c2

Pc(c) = cXc(C) + Uc2 (c2) + Jc Xc(z)dz.

Предположим теперь, что равновесие является оптимальным по Парето, т. е. объем торговли в этом равновесии должен удовлетворять условиям x(c, v) = 1 при v > c и x(c, v) = 0 при v < c.

Покажем, что справедливо следующее соотношение для ожидаемой платы в равновесии:

E[min[c2,v}x(c,v)] ^ Et(c,v) ^ E[max{c,v1}x(c,v)].

Рассмотрим сначала покупателя и получим оценку сверху для ожидаемой платы в равновесии, т.

Поскольку Uvi (vi) ^ 0, то

v

v

v

Pv(v) < vXv (v) - Xv (z)dz.

vi

Подставляя Xv(v) = f^ x(c, v)g(c)dc, получим, что величина в правой части неравенства равна

Г v rc2 Г v г c2

vXv(v) - Xv(z)dz = v x(c,v)g(c)dc - / x(c, z)g(c)dcdz =

vi ci vi ci

/?c2 Г c2 r v

= vx(c,v)g(c)dc - / x(c, z)dzg(c)dc =

ci ci vi

с c2 r v

c2 v

= [vx(c,v) - x(c, z)dz]g(c)dc =

ci vi

ici Jvi

Г c2

= max{c,v1}x(c,v)g(c)dc.

ci

В последнем равенстве мы использовали, что в Парето-оптимальном равновесии выполнено

f v

vx(c, v) - / x(c, z)dz = max{c, v1}x(c, v).

v1

Это равенство можно установить на основе перебора возможных случаев: Если c = v, то интеграл равен нулю и max{c, vi} = v.

Если c > v, то x(c, z) = 0 при z ^ v, и таким образом, обе части доказываемого равенства равны нулю.

Если c < v и c ^ vi, то x(c, z) = 1 при z G (vi, v] и поэтому

/o v

/ x(c, z)dz = v - v1 = (v - v1)x(c, v).

v1

Если c < v и c ^ vi, то x(c, z) = 1 при z G (c, v] и поэтому

!? v

/ x(c, z)dz = v - c = (v - c)x(c, v).

v1

v1

Учитывая это соотношение,

C2

v c2

Pv(v) ^ / max{c, v1}x(c, v)g(c)dc.

c1

Беря интеграл по v, получим оценку сверху для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

Г v2

Et(c,v) = E Pv(v) = Pv(v)f(v)dv <

v1

/vi

v2 /* C2

^ / max{c, v1 }x(c, v)g(c)dcf (v)dv

v1c1

или

Et(c,v) ^ E[max{c,v1 }x(c,v)]. Для продавца рассуждения аналогичны. Из Uc2 (c2) ^ 0 следует

Pc(c) ^ cXc(c) +JC2 Xc(z)dz или /

c v2

Pc(c) ^ / min{c2,v}x(c, v)f(v)dv.

v1

Отсюда получим оценку снизу для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

E t(c,v) = E Pc(c) = Г2 PC(c)g(c)dc ^ /c1 /

/ v2 / c2

^ / / min{c2, v}x(c, v)g(c)dcf(v)dv

v1c1

или

Et(c, v) ^ E[min{c2, v}x(c, v)].

Окончательно получаем

E[min{c2, v}x(c, v)] ^ Et(c,v) ^ E[max{c, v1}x(c, v)].

Для любой оценки покупателя v G [vi,v2] и любых издержках продавца c G [ci,c2], таких что v > c, выполнено min{c2,v} > max{c,vi}, поскольку vi < c2.

c1 < v2, то вероятность того, что v > c, т. е. того, что x(c,v) = 1, не равна нулю. Отсюда следует

E[max{c ,v1}x(c,v)] < E[min{c2,v}x(c,v)].

Тем самым, получено противоречие, что и доказывает несовместимость трех условий: участия, самовыявления и эффективности.

Есть вариант этой теоремы для модели, в которой сумма, выплаченная покупателем, не обязательно равняется сумме, полученной продавцом. Данная модель позволяет рассматривать и такие механизмы торга, которые требуют издержек для своего осуществления, а также такие, которые предусматривают субсидии третьих лиц. Этот вариант теоремы Майерсона - Саттертуэйта утверждает, что несовместимы четыре условия. Четвертым условием является сбалансированность платежей: ожидаемая сумма, выплаченная покупателем, не меньше ожидаемой суммы, полученной продавцом. Это условие можно интерпретировать как отсутствие субсидий со стороны. Заметим, что имеются в виду субсидии не для каждой реализации типов (c,v), а в среднем. (Т. е., неявно предполагается возможность воспользоваться услугами нейтрального к риску стороннего страховщика. Ясно, что это довольно слабое требование.)

Действительно, если в приведенном доказательстве рассмотреть плату, которая может не совпадать для продавца и покупателя, т. е. tc(c,v) и tv(c,v), то, по аналогии с приведенным выше доказательством, можно получить неравенство

E tc(c,v) ^ E[min{c2,v}x(c,v)] > E[max{c,v1}x(c,v)] ^ Etv(c,v).

Таким образом, в такой модели двусторонней монополии Парето-оптимальность равновесия может иметь место только в играх торга с недобровольным участием или же с субсидиями.