15.Сложные проценты

Некоторые экономические переменные изменяются во времени с постоянным темпом, т.е. изменяются за год на определенный процент. Возникает вопрос: на сколько процентов изменится такой показатель через несколько лет?

Пример 14.

1,2А • 1,2 =  1,22•А.

Чтобы узнать, во сколько раз увеличится исходное значение пока-, зателя к концу третьего гоДа, надо число 1,2 возвести в третью степень и т.д.

Воспользуемся данным примером для получения общей расчетной формулы. Обозначим относительное изменение показателя за год че-рез а. Для удобства записи будем считать, что эта величина выражена не в процентах, а в долях, т.е. десятичной дробью. Тогда к концу л-го года относительное изменение показателя а составит

(1 + ?)n - 1.              (7)

Данная формула называется формулой сложных процентов. Она позволяет получить относительный прирост показателя, изменяющегося постоянным темпом.

Пример 15. Цена бензина растет на 5% в год. Через 8 лет ее относительное увеличение составит

(1  + 0,05)8 -  1  = 0,477, или 47,7%.

Полученный ответ не совпадает с ответом, который может быть получен на основе «житейской логики» — умножением годового прироста на количество лет (5% • 8 = 40%). В связи с этим и появился термин «сложные проценты».

Простой, житейский, метод расчета относительного изменения показателя является приближенным, но тем не менее он широко используется. Дело в том, что при малых годовых темпах изменения показателя выражение (7) приближенно равно выражению ? • n, которое задает формулу простых процентов. Чем больше годовой темп изменения показателя, тем большую ошибку дает данная формула. В примере 2.15 оценим ошибку при применении формулы простых процентов. Для этого разделим разность между точным и приближенным значением на точное значение. В результате ошибка составит

(47,7 - 40) : 47,7 = 0,161, или  16,1%.

Анализ приведенного примера показал, что приближенное значение темпа прироста меньше его точного значения на 7,7%. Однако такая формулировка имеет двойное толкование. Из нее можно понять, что указанная разность составляет 7,7% от точного значения, т.е. равняется 0,077 • 47,7% = 3,7% (а не 7,7%). Чтобы избежать возникающей здесь двусмысленности, говорят, что разность значений темпа прироста, выраженного в процентах, составляет не 7,7%, а 7,7 пункта.