Простые и сложные проценты

Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена.

Во-первых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”.

Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности.

Количественной мерой величины временной ценности денег является процентная ставка. Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. С ее помощью может быть определена как «будущая стоимость «сегодняшних» денег, так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость «завтрашних» денег. В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость.

Существуют различные методы начисления процентов:

- простые декурсивные проценты;

- простые антисипативные проценты;

- сложные декурсивные проценты;

- сложные антисипативные проценты..

При начислении простых процентов наращение первоначальной стоимости происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической прогрессии.

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к начислению процентов (r) в течение всего срока кредита (n) на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит (Р₀). Формула наращенной суммы простых декурсивных процентов к концу срока выглядит так:

Если спрос финансовой сделки не равен целому числу лет, то периоды начисления процентов выражают дробным числом (t/K).

Кроме простой процентной ставки существует учетная ставка. Наращение первоначальной суммы по учетной ставке носит название наращение по антисипативным процентам.

Учетная ставка, как правило, используется при начислении и удержании процентов из суммы кредита в начале срока операции, при определении доходности ценных бумаг.

Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то наращенная сумма будет определена следующим образом:

Для декурсивных процентов:

Для антисипативных процентов:

В различных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

- Точные проценты с точным числом дней (365/365).

- Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

- Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

День погашения и день выдачи принимается за один день.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная

цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях.

Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k ) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды. Например, владелец векселя номиналом 2500 тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35% годовых .

P = 2500000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 2354170 руб.,

а сумма дисконта будет равна

D = S – P = 2500000 – 2354170 = 145830 руб.

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка:

Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно текущая стоимость товаров будет равна:

P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей

1.