Сложные проценты

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S.

Наращенная по сложным декурсивным процентам сумма может быть выражена формулой:

При использовании сложных антисипативных процентов наращенная стоимость будет определяться следующим образом:

Однако практическое применение наращения по антисипативным процентам весьма ограничено и он относится скорее к разряду финансовой экзотики.

Эффективные и номинальные процентные ставки

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов. Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 млн. рублей возрастет к концу года до 1,2 млн. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 млн. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться.

Например ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит:

При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. рублей.

Эффективной процентной ставкой называется годовая ставка по сложным процентам, реально образуемая при увеличении количества внутригодовых начислений. Чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма в конце года.

При непрерывном начислении процентов наращенная сумма равна S=p?e^rn _­­­и составляет максимальную сумму при заданной ставке процента^[1].

Существуют некоторые эмпирические правила, позволяющие мысленно производить расчет:

1. Правило "семидесяти двух":

Для того чтобы узнать время, за которое ваши деньги удвоятся, нужно 72 разделить на ставку процента

2. Правило "7-10"

Сумма удваивается через 10 лет при 7 процентах годовых и за 7 лет при 10 процентах.

Учет инфляии при финансовых расчетах.

Инфляция характеризует обесцениванием денежных средств во времени.

Ставка процента с учетом инфляции (R_и) равна

R_и= R+И_т+R* И_т

R=(1-R_и)/(1-И_т)-1

Формула называется в финансовой математике формулой Фишера И.

Величина И_т+R* И_т называется премией за инфляцию и определяет величину, которую необходимо добавить к реальной ставке процента за компенсацию инфляционных потерь.

3. Финансовые ренты

Ранее мы рассматривали вопросы, связанные исключительно с единичными, разовыми платежами, но для финансового менеджмента наибольший интерес представляет изучение денежных потоков. Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента. Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет – такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе “аннуитет” подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат. Очевидно, что рента – это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно.

Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы и др.

Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы. Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла. Ни в теории ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность – рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.

Финансовая рента характеризуется рядом параметров:

1. Член ренты – величина каждого платежа.

2. Срок ренты – время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа.

3. Период ренты – временной интервал между двумя платежами.

4. Процентная ставка – ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей.

Ренты, по которым платежи производятся раз в год - годовые. Если платежей p раз в году, то это p-срочная рента.

Виды рент:

1. Ограниченная – имеет конечное число членов.

2. Вечная – имеет бесконечное число членов. По моменту выплат членов вечной ренты она делится на обычную (постнумерандо), в которой платежи производятся в конце соответствующих периодов и пренумерандо, в которой платежи происходят в начале периодов.

Обобщающие показатели ренты:

Наращенная сумма (будущая стоимость).

Современная (приведенная, текущая) величина.

Наращенная сумма – это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока (т.е. на дату последней выплаты).

R_k- член ренты в период k;

I_k- процентная ставка в период k;

n- количество периодов ренты.

Когда член ренты неизменен в течение всего срока, процентная ставка также постоянна, то речь идет об аннуитете. Формула наращения аннуитета:

- множитель наращения аннуитета, значения которых табулируется в финансовых таблицах.

Наращение денежных потоков имеет место при периодическом внесении на банковский депозит фиксированных сумм с целью накопления финансового фонда к определенному моменту времени. Например, разместив долгосрочный облигационный заем, предприятие готовится к погашению суммы основного долга в конце срока займа путем периодического внесения на банковский счет фиксированных платежей под установленный процент. Таким образом к моменту погашения облигационного займа у предприятия накопятся достаточные средства в этом фонде. Аналогичные задачи решаются в ходе формирования пенсионного фонда или при накоплении суммы для оплаты обучения детей. Например, заботясь о своей старости, человек может наряду с обязательными отчислениями в государственный Пенсионный фонд, вносить часть своего ежемесячного заработка на банковский депозит под проценты. Наращение суммы такого вклада будет происходить по описанному выше алгоритму. Таким же путем предприятия могут формировать амортизационный фонд для плановой замены оборудования.

Обратный по отношению к наращению процесс – дисконтирование денежного потока имеет еще большую важность для финансового менеджмента, так как в результате определяются показатели, являющиеся в настоящее время основными критериями принятия финансовых решений. Рассмотрим этот процесс более подробно. Предположим, что рассмотренный в нашем примере денежный поток характеризует планируемые поступления от реализации инвестиционного проекта. Доходы должны поступать в конце периода. Так как эти поступления планируется получить в будущем, а инвестиции, необходимые для выполнения проекта, должны быть произведены уже сегодня, предприятию необходимо сопоставить величину будущих доходов с современной величиной затрат. Как уже было сказано выше, использование для сравнения арифметической суммы членов потока бессмысленно, так как эта сумма не учитывает влияние фактора времени. Для обеспечения сопоставимости данных величина будущих поступлений должна быть приведена к настоящему моменту, иными словами данный денежный поток должен быть дисконтирован. Предприятие сможет определить сегодняшнюю стоимость будущих доходов. При этом процентная ставка будет выступать в качестве измерителя альтернативной стоимости этих доходов: она показывает, сколько денег могло бы получить предприятие, если бы разместило приведенную (сегодняшнюю) стоимость будущих поступлений на банковский депозит под процентную ставку i.

Дисконтирование денежного потока предполагает дисконтирование каждого его отдельного члена с последующим суммированием полученных результатов. Для этого используется дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке i.

Общая формула дисконтирования денежных потоков:

Формула дисконтирования аннуитета: