3.2.2Равновесие модели с оптимизацией потребления

Общий ход решения здесь аналогичен неоклассической модели с оптимизацией потребления (модель Рамсея — Касса — Купманса). Предположим функцию полезности потребителя с постоянной эластичностью замещения:

и(с) = f-, е>о, e*i, (3-8)

1 — о

где Esub = а = 1 / 0 = const — эластичность замещения.

Тогда межвременная функция полезности домашнего хозяйства на бесконечном временном интервале будет следующей:

U = ]e-p'en'u(ct)dt, (3-9)

о

где р — субъективная дисконтная ставка.

В качестве бюджетного ограничения можно использовать уравнение равновесия финансового рынка в интенсивной форме, так как оно соответствует бюджетному ограничению домашнего хозяйства:

k = y(k)-c-(b + n)k. (3-10)

Решая задачу максимизации полезности домашнего хозяйства при заданном бюджетном ограничении стандартными методами динамической оптимизации (уравнение Эйлера, функция Гамильтона), получаем общее для задач данного класса условие динамической опти-мизации потребления, так называемое условие Рамсея:

- = -—U-5-p) = ^(r-p) = a(r-p). (3-11)

с иссс 0

Процентная ставка, из уравнения пользовательских издержек, равна предельному продукту капитала за вычетом нормы амортизации:

г = трк - 6. (3-12)

Предельный продукт капитала, полученный из производствен-ной функции, является константой:

mpk = /'(к) = А = const. (3-13)

Подставив предельный продукт капитала и норму амортизации вместо процентной ставки в уравнение динамическои оптимизации, получаем устойчивый темп прироста капитала и переменных нацио-нального продукта:

g* = - = o(A-д-р). (3-14)

с

Темп прироста всегда равен константе, модель находится на устойчивой траектории роста и не имеет переходной траектории.

Таким образом, мы рассмотрели возможность существования постоянного положительного темпа прироста подушевых показателей национального продукта в зависимости от поведенческого параметра р — субъективной дисконтной ставки, которая отражает субъективные предпочтения потребителей (иногда в качестве поведенческого параметра рассматривается эластичность замещения, но большинство исследований склоняется к тому, что это постоянная характеристика функции полезности). Рост, следовательно, является эндогенным во всех смыслах.

Положительный темп прироста достигается при соблюдении следующего условия:

А > 8 + р, (3-15)

когда отдача капитала превышает норму амортизации и субъектив-ную дисконтную ставку, показывая предпочтение текущего потреб-ления над будущим для домашнего хозяйства.

Коэффициент эластичности замещения функции полезности играет роль усиливающего коэффициента при положительной разнице (3-14).