Модели линейной оптимизации в MS Excel Исследование операций

В самых разных областях экономической деятельности человеку приходится принимать различные решения. Иногда выбор правильных решений можно осуществить на основе практического опыта, интуиции, то есть эвристическими методами.

Разработкой количественных моделей и общих методов, которые применяются для научного обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности, занимается специальный раздел прикладной математики — «Исследование операций» (английское название - Operations Research).

В экономике наиболее характерными ситуациями принятия решений в условиях полной определенности, для анализа которых используются методы исследования операций, являются такие как:

• организация процессов производства товаров и услуг;

ш организация и планирование систем массового обслуживания;

• организация транспортных перевозок;

ш управление производством и оптовыми складами;

ш управление проектами;

• выбор инвестиционных проектов;

ш составление расписания работ.

• Это далеко не полный список возможных приложений в экономике методов исследования операций.

Сформулируем общую постановку задач исследования операций:

®Из ряда возможных вариантов найти решение проблемной ситуации, которое является наилучшим с точки зрения некоторого критерия (или системы критериев), учитывая при этом ограничения на выполняемые действия (операции).

Для решения таких задач в исследовании операций используются методы из следующих основных разделов.

• Линейное и нелинейное программирование.
• Динамическое программирование.
• Марковские случайные процессы.
• Теория массового обслуживания.

Ш Статистическое моделирование случайных процессов.

• Игровые методы обоснования решений.

В настоящий момент в связи с бурным внедрением методов исследования операций в практику интенсивно разрабатываются программные продукты, предназначенные для численного решения задач исследования операций. К ним относятся специальные модули пакетов MS Excel и MS Project. В данном параграфе мы рассмотрим некоторые модели математического программирования, которые могут быть исследованы средствами MS Excel.

2. Задачи линейного программирования

Очень часто математическая постановка экономических задач, связанных с управлением, может быть сформулирована в общем виде следующим образом.

Пусть имеет некоторая целевая функция г, которая зависит от параметров х=(хг х2,..., хп), удовлетворяющих некоторым ограничениям а

z = z(x,а).

Требуется найти такие значения параметров или функций х=(хг х2              хп), которые обращают величину z в мак

симум или минимум (то есть доставляют функции г экстремум).

Такие задачи — отыскание значений параметров, обес- 298

печивающих экстремум функции при наличии ограничений, наложенных на аргументы, носят общее название задач математического программирования и решаются методами теории исследования операций.

Среди задач математического программирования самыми простыми являются задачи линейного программирования (ЗЛП). При этом оптимизируемая целевая функция

z = z(x,а) линейно зависит от х=(xr х2 хп) и, кроме того,

ограничения, накладываемые на х, имеют вид линейных равенств или неравенств.

?S'S Замечание. В задачах нелинейного программирования целевая функция и ограничения содержат нелинейные выражения.

• Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) заключается в нахождении неотрицательных значений п переменных хр х2,..., хп удовлетворяющих т условиям-равенствам:

апх, +a12.v2 +... + ctlnxn =6,

(10.1)

^21^1              ^22^2              •”              ^2пХп              ^2

ат|-Х1 +аш2:С2 +- +а,„Л =К

и обращающие в максимум линейную функцию (целевую функцию) этих переменных:

z = z(xt ,х2,...хп) = с1х1 + с2х2 +. +спхп —gt; max              (10.2)

х, gt;0, где і = 1,2,..,п              (10.3)

Допустимым решением (планом) ОЗЛП является упорядоченное множество значений хґ х2,..., хп, удовлетворяющее ограничениям (10.1) и (10.3).

Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию (10.2), называется оптимальным решением (оптимальным планом). Возможны случаи, когда оптимальное решение (если оно существует) является единственным или оптимальных решений бесчисленное множество.

В следующих параграфах будут приведены несколько моделей экономических задач, которые могут быть сформулированы в виде ЗЛП.