5.3.5. Математические модели причинно-следственных связей

Прежде всего еще раз подчеркнем необходимость различения информационной и онтологической омнипотент- ности.

L(t, S(t + т)),

положить х < 0, то получаем высказывание о прошлом. Полагая т = — 0 в (5.91), получаем, что

L(t, S(t — Є)) выводится из

G(t) & B(t) & L(t, S(t)):

G(t) & B(t) & L(t, S(t)) -> L(t, S(t-9)).

Но выведено из «настоящего» (точнее из утверждений,; которые сделаны в момент времени t) не прошлое, а высказывание о прошлом. Логическая связь не тождественна каузальной, хотя и существует благодаря наличию причинно-следственных связей.

В связи с этим нельзя согласиться с Р. Карнапом, считающим, что в утверждении «из Р с необходимостью следует Q» слова «с необходимостью» излишни, не несут никакой информации [198, с.

Основное отличие каузальной связи между событиями от простой ассоциации является то, что причинно-следственная связь между событиями есть результат взаимодействия между объектами, предметами. По словам Ф. Энгельса, «только исходя из этого универсального взаимодействия, мы приходим к действительному каузальному отношению» [1, т. 20, с. 546]. Такой подход исключает субстанциализацию причины и следствия и делает бессмысленными утверждения об активности причин и пассивности следствий, о резком отличии объектов-причин как действующих сил от объектов-следствий, о равенстве причины следствию и т. п.

Категория причинности занимает ведущее место в марксистской философии, и ей посвящена обширная литература (см., например, [37], [326], [422], [435] и т. д.). При этом, как правило, возможность отображения причинно-следственных связей в количественных теориях и моделях не подвергается сомнению. Тем не менее в экономической литературе можно встретить заявление о поверхностности количественных методов, не вскрывающих глубинные причинно-следственные связи в экономике. Так, В. В. Потапов, уничтожая теорию полезности, пишет, в частности: «Теория 38 приобрела сильно формализованный характер. Этому во многом способствовали переход от причинно-следственного к функциональному методу исследования, т. е. к анализу исключительно количественных взаимосвязей, и распространение логического позитивизма как общей методологии буржуазной науки» [355, с. 37].

И дело не только в том, что для В. В. Потапова существует проблема: «политическая экономия или экономическая математика?» [355, с. 81]. На некоторую своего рода вторичность количественных методов в экономике указывают зачастую и экономисты, являющиеся принципиальными сторонниками применения математики в экономике.

Достаточно четко высказывает эту точку зрения В. И. Карпенко: «Причинное действие необратимо, ибо изменение одного явления есть результат изменения другого; изменившись, явление не может возвратиться к преж- цему состоянию: изменение происходит во времени, и каждый новый момент несет в себе новые условия течения данного явления... В этом смысле причинные отношения отличаются от абстрактных математических. Математические отношения, как правило, обратимы: если У —|f(X), можно принять также X = fi{Y).

Во-первых, причинные отношения отличаются от абстрактных математических, но не в том смысле, который придает этому отличию Б. И. Карпенко. Это отличие знака от обозначаемого. Слово «красный» само цвета не имеет и, следовательно, отличается от красного. Под «обратимостью» и «необратимостью» формул понимается, видимо, следующее: «Можно вычислить момент времени в прошлом, когда произошло некоторое событие, но нельзя фактически вернуться в этот момент времени в прошлом». Это действительно так; по ведь в формуле X = = fi(Y) это и не утверждается. Пусть, например, Y — национальный доход, измеряемый индексом роста по сравнению с 1913 г., а X — время; пусть, далееА эта зависимость — экспонента:

У = f(X) = Y0e™t (5.138)

где Y0% X — параметры.

Обратная зависимость X = = ШпУ/Г0.

Зная параметры X и У0, можно вычислить X, такое, что Y

= 2; но речи о путешествии во времени в «обратимой» формуле (5.133), конечно, нет.

Здесь мы опять имеем дело с широко распространенным (а логическим позитивизмом возведенным в догму) отождествлением знака (формулы) и обозначаемого (причинно-следственной связи). Разумеется, по виду формулы Y

= f(X) нельзя заключить, описывает ли она причинно- следственную или какую-то другую связь. Ясно, например, что (5.133) описывает связь между национальным доходом и временем, но это не причинно-следственная связь. Постановка проблемы расширения выразительных средств формального языка, такого, что по внешнему виду формулы можно было бы «механически» установить, является ли она описанием причинно-следственных связей или нет, представляется вполне правомерной.

Заметим, что соответствующий символизм уже используется в модальной логике. Это позволяет считать данную проблему в каком-то смысле разрешимой. Но для нас здесь важно заметить, что, хотя обычный математический символизм, используемый в экономической науке, не различает разные виды связи, он все же не выступает препятствием для такого различения. Здесь уместно напомнить, что для построения термодинамики необратимых процессов не требуется никакого нового математического аппарата, отличного от математического аппарата, который используется в термодинамике обратимых процессов. Обратимость процесса и существование обратной функции настолько различные понятия, что трудно даже говорить об их различии,— они несопоставимы. Отрицание этого утверждения, вытекающее из условия изоморфности (если не тождественности) знака обозначаемому, влечет за собой требование: слово «короткий» должно быть короче слова «длинный» — и вывод: поскольку это не так, то слова «длинный» и «короткий» не являются подходящими словами для характеристики длины.

Не требуя ни тождественности (все-таки конец XX в.), ни изоморфизма, остановимся на одной (не специфической) особенности причинно-следственной зависимости, которая в ряде случаев должна быть отражена в уравнении, описывающем эту зависимость, и возможность отражения которой неоспорима, если речь идет об описании именно причинно-следственной зависимости. Современное представление о причинности предполагает существование механизма причинения следствия. В частности, это означает, что следствие не следует за причиной мгновенно. Следовательно, функциональная зависимость, описцвающая причинно-следственную связь, должна быть в общем случае уравнением с запаздыванием, например, вида

Y(t) = f(X(t-х)), (5.139)

где X — переменная, описывающая причину, Y — переменная, описывающая следствие, т — величина запаздывания.

Роль запаздываний в описании экономической динамики неоднократно подчеркивал Дж. Форрестер [449], [450]. Количество моделей экономических систем, в уравнении которых введены запаздывания, постоянно растет (см., например, [360], [449]). Запаздывание в уравнении систе- мы может быть введено несколькими способами. Например, записав (5.139) в эквивалентной форме

Y(t + т) = f(X(t))

и, разлагая левую часть в ряд Тейлора по величине запаздывания т, получаем

Y(t) + Y(t) т + V2Y(t)x41 +

+ 1/6У(*)т3 + ... = f(X{t)). (5.140)

При малых т члены с высокими степенями т во многих Г(ХШ) , Yd) г(хш) / Г

1 j Yd) г і f(XU)) . Yd) і (ХШ) /

/

/

/

/ /

<-YU) и Т Т о Г і

Рис. 5.2. Реакция системы Y(t) = f(x(t — т)) на единичный скачок

Рис. 5.3. Реакция системы первого порядка (5.142) на единичный скачок

важных случаях можно отбросить. Тогда получаем приближенное описание запаздывания с помощью линейного дифференциального уравнения, например:

Y(t) + Y(t)т + Y(t)x/2 « f(X(t)). (5.141)

Пусть f(X(t)) — функция единичного скачка в точке t = = 0, т. е. На рис. 5.2 показана реакция системы (5.139) на единичный скачок.

На рис. 5.3 показана реакция системы

Y(t) + У(*)т = f(X(t)) (5.142)

на единичный скачок.

На рис. 5.4 показана реакция системы (5.141) на единичный скачок.

Чем вьтпте йорядок дифферейцйальйоґо уравнений,

ближе переходной процесс к «идеальной» характеристике, показанной на рис. 5.4. Так, если в левой части (5.140) оставлено пять — шесть членов, то такое приближение только немного «размывает» идеальную характеристику,— см. рис. 5.5.

Практически же совпадение с «идеальной» характеристикой не всегда и нужно. Реальный переходной процесс может оказаться фактически размытым, как на рис. 5.5, и для его адекватного описания требуется не уравнение запаздывания типа (5.139), а линейное дифференциальное уравнение достаточно высокого порядка. f(xm)

Y(t)

YU)

Г(ХІП)

f(Xlii)

f(xtt)) / /

j YU)

/

/у (П Рис. 5.4. Реакция системы второго порядка (5.141) на единичный скачок

Рис. 5.5. Реакция системы высокого порядка на единичный скачок

Все это, конечно, не значит, что причинно-следственные зависимости всегда нужно описывать с помощью уравнений запаздывания, дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений. Абсолютно точных описаний нет; при очень малых запаздываниях т (5.139) практически обращаются в

Y(t) « f{X{t)). (5.142а)

Однако очень важно отметить, что в случае причинно- следственной зависимости уравнение типа (5.142а) всегда можно уточнить посредством введения запаздывания. Для связей же, которые не являются причинно-следственными, такое уточнение не всегда возможно.

В частности, такое уточнение невозможно для уравнений-определений, например для уравнения

n(t) = q(t)/L(t), (5.143) где я — производительность труда, q — объем выпуска, L — численность, занятость.

Определение производительности труда (5.101) — одновременное уравнение и уточнить его введением запаздывания в правую часть нельзя, так как оно точно. Хотя это и ясно, все же некоторые разъяснения оказываются (как мы увидим ниже) нелишними. Введем в (5.143) запаздывание т. Нельзя просто написать

(5Л44)

так как (5.144) будет совместимо с (5.143) только в частном случае

~ = const,

а мы предполагаем, что (5.143) справедливо для любых q и L. Следовательно, вводя в (5.143) запаздывание, мы тем самым вводим новый показатель

Экономического смысла этот показатель не имеет; т в (5.145) произвольно. (Время же запаздывания следствия — это величина, которая не может быть установлена произвольно или выведена априорно.)

Разобранный тривиальный пример позволяет разобраться в «очень сложном и еще не решенном вопросе» индексного моделирования. «Речь идет об установлении однозначной субординации между взаимосвязанными объектными и качественными показателями в смысле разграничения их на результативные и факторные (в нашем примере между показателями объема производства и производительности труда). Какой из них является причиной, а какой — следствием, допустима ли между ними .обратимость причинно-следственной зависимости?» [17, с. 26].

Вообще говоря, различение причины и следствия — внелогическая и, более того, внемодельная процедура. Для такого различения нужен эксперимент, опыт. Но в «индексном моделировании» все это — проблемы, решаемые рассуждениями. И В. Е. Андриенко продолжает: «Исходя ftx общетеоретического положения, суть которого заключается в том, что причина во времени должна предшествовать следствию, некоторые экономисты считают, что в таких случаях невозможно установить временную субординацию между объемными и исчисляемыми на их основе средними показателями, а поэтому связь между ними следует считать обратимой. В качестве доказательства приводится следующий аргумент. Численность работников как фактор во времени действительно предшествует объему продукции, но в отношении второго фактора (производительности труда) этого якобы сказать нельзя 42, поскольку он появляется одновременно с результативным показателем (объемом продукции) или даже позже него. Так, показатель производительности труда нельзя определить до тех пор, пока не сформируется показатель объема продукции. При таком подходе причинно-следственная зависимость развивается как бы по замкнутому кругу: производительность труда увеличивается или уменьшается, потому что производится больше или меньше продукции, и наоборот. На этом основании в качестве результативного показателя избирается любой из данных и аналогичных им взаимосвязанных показателей, что противоречит философскому тезису о необратимости причинно-следственных связей» [17, с. 26—27].

Парадокс этот объясняется в действительности просто: ни уравнение (5.143), ни эквивалентные ему уравнения

q(t) = n(t)-L(t) L(t) = q(t)/n(t)

не описывают причинно-следственных связей; все эти уравнения — определения показателя «производительность труда». Они тождества, и ни одно из них нельзя уточнить, введя запаздывание следствия по отношению к причине. Но В. Е. Андриенко «представляется, что подход к пониманию сущности причинно-следственных связей должен быть иным. Поскольку результативный показатель, например продукция, создается работниками производства, логически возникает вопрос: каким образом происходит процесс создания продукции? Естественно, при помощи труда 43, для которого характерен определенный уровень производительности. Правда, на протяжении коротких отрезков времени уровень производительности труда не регистрируется, но он объективно существует, и при необходимости его можно было бы измерить» [17ti с. 27].

Логически возникает вопрос: каким образом? Ведь всего несколькими строками выше В. Е. Андриенко совершенно справедливо утверждал: «...Показатель производительности труда нельзя определить до тех пор, пока не сформируется показатель объема продукции» [17, с. 26]. Вместо ответа на этот вопрос В. Е. Андриенко просто декларирует: «Следовательно, наряду с количественным фактором существует имманентно присущий ему качественный фактор. Их соединение ведет к образованию результативного показателя. Происходит это в виде непрерывного процесса, но направленность и очередность возникновения причинно-следственной связи очевидны. Причем причинно-следственная связь имеет характер созидательной деятельности одного явления по отношению к другому» [17, с. 27]. Но будем пытаться разгадать тайну слов: очередность причинно-следственной связи; поверим В. Е. Андриенко на слово, что она очевидна.

Обратимся снова к уравнению (5.139):

Y(t) = f(X(t - т)).

Это уравнение обратимо (в разбираемом здесь смысле), т. е. с его помощью можно решать как прямую задачу вычисления значения переменной Y в момент времени t по значению переменной X в момент t — т, так и обратную: вычисление значения (или, в случае неоднозначности обратного преобразования, множества значений) переменной X в момент t по значению переменной Y в момент t + т.

Таким образом, введение запаздывания в описание процесса не решает проблему механического опознания причинно-следственных зависимостей. Однако проблема обратимости уравнений, описывающих необратимые процессы, с нашей точки зрения, не является значимой методологической проблемой, так как нет никаких оснований требовать изоморфизма описаний описываемым процессам.

Если продукт создается при помощи труда, то труд — помощник. Логически возникает вопрос: чей?

Проблемы описания причинно-следственных связей были бы существенно проще, если бы уравнения с запаздываниями (или их эквиваленты) были пригодны только для описания причинно-следственных связей. Но это не так. Достаточно привести в качестве примера известный Гарвардский барометр (см., например, [138]). Уравнения этой модели — это уравнения с запаздываниями:

D(t) « T(t - 4), T(t) « F(t - 8),

где D — индекс денежного рынка, Т — индекс товарного рынка, F — индекс фондового рынка, t — время, измеренное в месяцах.

Эти уравнения не описывают причинно-следственных связей, хотя причинно-следственные связи между процессами на денежном, товарном и фондовом рынках существуют.

В то же время напрашивается аналогия между уравнениями с запаздыванием и уравнениями индикации. Вели- чина-индикатор заменяет непосредственно неизмеряемую величину. Будущее значение некоторой переменной в настоящий момент времени тоже непосредственно неизмеримо. Так же как с помощью одной (или нескольких) переменных-индикаторов можно в ряде случаев приписать численное значение непосредственно-неизмеряемой переменной, уравнения с запаздываниями позволяют приписать (вычислить) в настоящий момент времени будущее значение «индицируемой» переменной.

Индикация — это, конечно, не описание причинно- следственной связи.Но наряду с каузальными уравнениями уравнение индикации укладывается в общую логическую схему прогноза (5.135). А именно если между переменнымиX и Y существует какая-то (не обязательно каузальная) зависимость типа (5.139), то эта схема специфицируется следующим образом:

(Vt(Y(t) = f(X(t - т)) Д (X(tn) = = а) -> (Y(tn + т) = f(a)), где tn — момент времени, в котором делается прогноз.