ЗАМЕЧАНИЕ О ФУНКЦИИ РАСХОДОВ

Функция расходов имеет ряд возможных применений в экономике общественного сектора (государственного сектора. — Прим. ред.), однако она не рассматривается во многих учебниках (к исключениям можно отнести Диксита [Dixit, 1976а, с.

Функция расходов е может быть прямо определена как минимальный уровень единовременного дохода М, необходимого для достижения определенного уровня полезности U0, при данном векторе потребительских цен р, т. е.:

в (р, и0) = min (р-Х), так что U(X) ^ U0.              (1М)

Она              может              быть также получена и через косвенную              функцию

полезности.              Это дает максимально достижимый уровень              полез

ности при данных ценах и единовременном доходе Л/, т. е.:

V(р, М) = max U(X), так что р-Х lt; М.              (II-2)

Если предпочтения Удовлетворяют местному «ненасыщению» (non-satiation), тогда V является строго возрастающей функцией от М и мы можем инвертировать косвенную функцию полезности, чтобы получить функцию расходов.

Функция расходов, аналогичная функции издержек, используемой в теории производства, обладает многими свойствами, включая следующие:

1. она гомогенна со степенью 1 в ценах (р),
2. она вогнута по цене (р)
3. частная производная по у-ой цене равна компенсированной функ ции спроса на у'-ый товар.

Для более полного описания и получения из свойств U(квазивогнутость и местная «ненасыщенность») других выводов см. Дайверт [Diewert, 1979] и Варьян ]Varian, 1978]. Третье свойство функции расходов особенно полезно, если мы обозначим компенсированную функцию спроса , то:

*, (Р, U0) = де/дрг              (II_3)

Из определений следует, что это идентично верно, что компенсированный спрос при U0 равен некомпенсированному (заглавные буквы) при доходе е (р, UQ).

Xj ]р, с (р, и0) ] В Xj (р, UQ).              (И-4)

Дифференцируя по рк:

Ц Щ де _ Ц дрк Шдрк~дрк

Отсюда (используя (ІІ-3) и (ІІ-4)):

дХ1_ dxj__ dXt

Эа-Эа” ‘ЭЛ/'              (ІІ-5)

Это уравнение Слуцкого, где первое слагаемое определяет эффект замещения. Матрица вторых производных функции расходов является подстановочной, ее отрицательная полуопределенность следует из вогнутости функции расходов. Дифференцируя (ІІ-4) по U0:

Итак,

dXj _ d2e/dpj dUQ

ЬМ де/д U0 '              (II-6)

В функцию расходов может быть введена переменная предложения труда:

е              Р,              Щ = min              (р-Х - wL), так что U (X,              L) г              Uot              (ц_7)

где              е теперь              относится к              единовременному доходу, а              не к              общим

расходам.              Она              обладает              теми же свойствами,              что              и компен

сационная функция предложения труда

U0) = -de/dw              (Н-8)

(знак поменялся на обратный, так как мы работаем с фактором), и некомпенсированная функция предложения труда:

L [w, р, е (w, р, UQ)] = I (w, р, UQ).              (II-9)

Дифференцируя по w

ЭL dL де di dw dM dw Bw

ИЛИ

dL _dL + ?dL

dJlf              (II-10)

Это уравнение Слуцкого, данное в тексте (2-5).

Дополнительные сведения по двойственному подходу к поведению потребителя можно найти у Дайверта [Diewert, 1978], Гормена [Gorman, 1976] и Варьяна [Varian, 1978], Приложения в теории общественных финансов обсуждаются у Даймонда и МакФаддена [Diamond and McFadden, 1974].

ЛИТЕРАТУРА

Базовая теория предложения труда рассматривается параллельно с анализом потребительского спроса, представленного во многих книгах по микроэкономике, например, в порядке возрастания трудности Хикс [Hicks, 1939], Грин [Green, 1976], Маленво [Malin- vaud, 1972] и Варьян [Varian, 1978].

лении его замены налогом на расходы путем освобождения от налогов определенных форм сбережений (например, через политику страхования жизни или пенсионные фонды) или произведенного дохода. В популярных обсуждениях часто предполагается, что налог на расходы ведет к более высокому уровню сбережений. Мы обсуждаем теоретическую и эмпирическую обоснованность этого предположения.

2. Налоги на наследство. Большинство стран устанавливают в дополнение к подоходным налогам налоги на передачу богатства путем дарения или завещания. Эти налоги имеют первоначальной целью сокращение концентрации богатства (эта проблема рассматривается в Лекции 9), но также воздействуют на стимулы сбережению.
3. Налог на богатство. Некоторые страны устанавливают налоги на собственность на капитал, а в других введение такого налога активно обсуждается. Как его воздействие отличается от воздействия налога на доход с капитала?
4. Социальные гарантии. Государственные пенсионные проекты приобрели существенное значение и объясняется это тем, что они оказывают значительное влияние на общую норму сбережений в экономике.

Эго не весь список проблем, он лишь показывает, что центральные темы политических дискуссий так или иначе связаны с воздействием налогов на сбережения.

Лекция 3 построена аналогично Лекции 2. Раздел 3-1 рассматривает различные формы налогообложения и различные решения, принимающиеся под воздействием налогов и различных государственных программ. В разделе 3-2 рассматривается базовая межвременная модель, доказывается набор теорем об эквивалентности между различными видами налоговых структур, устанавливаются условия, при которых в упрощенной модели налогообложение должно, вероятно, стимулировать или лишать стимулов сбережения. Раздел 3-3 рассматривает альтернативные варианты базовой модели, в то время как раздел 3-4 посвящен оценке некоторых эмпирических данных о налогообложении и об эластичности сбережений по проценту.