1.3 Математические модели распространения инноваций

Моделирование и прогнозирование распространения инноваций стали актуальными направлением исследований начиная с 1960-х годов, после появления новаторских работ Л. Форта и Дж. Вудлока, Э.

Проведенный сравнительный анализ существующих моделей распространения инноваций позволил выделить шесть классов моделей, которые формировались во времени так, как показано на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 - Классы моделей распространения инноваций

Формирование классов и их наполнение конкретными реализациями идет вслед за ростом требований к адекватности моделей задачам исследований и разработок. Описание классов дано ниже, а характеристика приведена в табличном виде в приложении А.

В качестве критериев оценки были выбраны:

• используемый математический аппарат и заимствованная аналогия для построения математической модели;

•! используемые основные параметры и их характеристика: доступность для измерения, прямые (по количеству продаж) или косвенные (по количеству последователей), стоимость измерения (высокая, средняя, низкая);

• ! учет взаимного влияния инноваций в процессе распространения;

•! возможность построения алгоритма управления процессом

распространения инноваций на базе модели;

• ! готовность к встраиванию в контур управления.

Пространственные модели. Географ Т. Хегерстранд в 1950-х годах предложил учитывать пространственный аспект распространения инноваций [19]. Хегерстранд представил концепцию волнообразного распространения инноваций как предсказуемого пространственно-временного процесса, используя при этом для моделирования методы Монте-Карло. Он предположил, что для рассеивания инновации во времени и в пространстве должен существовать некий механизм соприкосновения и убеждения, чтобы передавать данное явление.

По Хегерстранду скорость и направление распространения инноваций зависят от расстояния от центра зарождения инновации и внутренних характеристик региона, а также от «пропускной способности» каналов передачи. В таком случае, не учитываются другие инновации на рынке. Для разных территорий построенная модель распространения будет различаться началом распространения, формой кривой и потенциальным максимумом [97].

Модель Хегерстранда имела значительное влияние на социально­экономическую географию в 1960-х и 1970-х годах, совершенствовалась такими исследователями как Л. Бауденом, Б. Йохансеном, С.П. Земцовым, А. Клиффом, Р. Морриллом, Д. Стрэнгом, Е. Шеппардом [96-102].

Несмотря на то, что модель Хегерстранда имеет определенные успехи в прогнозировании [103], однако обладает существенными ограничениями [104-107] в виде постоянства и доступности стоимостных параметров, доминирующего личного контакта при принятии решения и других, что не позволяет построить алгоритм управления процессом распространения.

Для описания процесса распространения инноваций достаточно широко используются модели, получившие название моделей рассеивания, или диффузные модели. Чаще в русскоязычных источниках такой класс моделей называется диффузным, однако подмена терминов не только может сузить рассматриваемую область, но и может дать неверные результаты в связи с ограничениями в применении данных моделей. Заметим, что этот класс моделей для более точного определения и для терминологического отличия от явления физической диффузии правильнее именовать именно так - модели рассеивания.

К 1962 году наиболее полно обобщить и систематизировать опыт изучения распространения инноваций удалось социологу Э. Роджерсу, который предложил модель описания процесса проникновения инноваций на рынок [18]. Он определил диффузию инноваций как «процесс, благодаря которому инновации передаются по определенным каналам среди элементов социальной системы в течение времени» [18, с. 5]. Затем Ф. Басс предложил математическое обоснование модели Роджерса в [4] и, адаптировав уравнение Ферхюльста, применил его для прогнозирования динамики потребления новых товаров. Модель Басса описывается уравнением, в котором отражается зависимость роста количества последователей инновации от эффекта рекламы и от эффекта межличностных коммуникаций, и не позволяет построить алгоритм управления процессом распространения. Такие модели стремятся показать отношения между уровнем распространения и числом потенциальных последователей согласно природе инноваций, каналов связи и

характеристик социальной системы, и не учитывают другие инновации, присутствующие на рынке.

В дальнейшем данные модели активно развивались и совершенствовались такими исследователями, как Р. Вейбером, Як. Голденбергом, Ш. Калишем, П. Котлером, Г. Лилиеном, В. Махаджаном, Н. Мидом, Дж. Муром, Е. Мюллером, Р. Перес, Р. Петерсоном [6, 8-10, 12, 14, 108-110] и др. Большинство исследований было нацелено на расширение структуры математической модели Басса, чтобы включить различные маркетинговые переменные (изменение рекламной кампании и ценовой политики во времени) [111], учесть такие явления, связанные с поведением покупателя, как повторные покупки, этапы осознания в принятии нового продукта [109, 112] и др. После 1980-х годов в исследованиях акцент сместился с агрегированного уровня (макро) на индивидуальный (микро): в фокусе стало поведение потенциального последователя инновации, его личностные мотивы при решении о принятии инновации [113, 114]. Такие модели перестали отвечать желаемой размерности, доступность данных серьезно ограничила практическое применение [115].

В сетевых моделях распространение инновации происходит по сети, начиная с одного или нескольких начальных наборов вершин (называемых ранними последователями). Инновации распространяется «по ребрам» с определенной вероятностью, и такое распространение продолжается до тех пор, пока все вершины в сети не получат информацию или больше не будет вершин-кандидатов для распространения.

К сетевым моделям можно отнести:

- модели с порогами (Linear Threshold Model) [116-118], основанных на использовании пороговых значений для вершин графа, переход возможен только из неактивного состояния вершины в активное;

- модели независимых каскадов (Independent cascade model) [6, 119], когда соседние вершины могут быть с определенной вероятностью активированы;

- модель просачивания и поражения (SIR, Suspectible - Infected - Recovered) [120, 121], в которой задается вероятность как активации вершины, так и вероятность ее деактивации, и может быть представлена с помощью цепей Маркова; и др. модели.

В работе [122] рассматривается распространение на случайных графах, утверждается, что вероятность успешного распространения не зависит от числа ранних последователей. В работе [119] предлагается объединение модели с линейным порогом и модели независимых каскадов и показывается их эквивалентность. Используемые параметры являются косвенными, не позволяют построить алгоритм управления процессом распространения.

Данная модель развивается в работах Т. Валенте, Як. Голденберг, М. Гомез- Родригез, М. Гранноветер, Д. Кемпе, Дж. Клейнберг, А. Краузе, Ю. Лесковес, Н. Меганатан, С. Мельник, С. Моррис, П. Феннель [118-124].

Теоретико-игровые модели распространения инноваций основаны на гипотезе, заключающейся в том, что при принятии нового поведения каждый человек делает рациональный выбор, чтобы максимизировать свой выигрыш. В этих моделях игроки принимают новое поведение, когда и их соседи в социальной сети приняли его, таким образом, инновации распространяются, потому что есть стимул к соответствию. Социальная сеть представляется графом, в котором каждый узел - агент в системе. Каждый агент должен сделать выбор между двумя альтернативными вариантами, а выплата каждого из двух вариантов для агента повышается с увеличением числа соседей, принявших тот же самый вариант.

Одна из первых работ, положившей начало данному подходу, - это работа Дж. Реинганум [125], в которой моделируется поведение на конкурентном рынке инноваций. Можно выделить и другие работы, например, в [126] рассматриваются модели, основанные на базе координационных игр, скорость сходимости характеризуется как функция структуры сети взаимодействия. При этом полученные прогнозы сильно отличаются от прогнозируемых эпидемиологических моделей. В работе [127] выведены оценки, которые не зависят от структуры и

размера сети, так что распространение инноваций протекает быстро, когда выигрыш от принятия инновации достаточно высок.

Там же приведен метод вычисления верхней границы ожидаемого времени, необходимого для того, чтобы инновация стала принятой в любой конечной сети. В работе [128] изучается вопрос конкуренции между двумя компаниями, а также компромисс между инвестированием большего количества денег на улучшение качества продукта и увеличением количества людей в социальной сети. Однако используемые параметры и аналогии не позволяют построить алгоритм управления данным процессом.

Различные аспекты теоретико-игровых моделей освещаются в работах Л. Блюм, М. Магнани, Д. Монтеси, Р. Рамезаниани [125-130] и др.

Другая тенденция исследований в области распространения инноваций - использование имитационного моделирования на базе агентного подхода, в частности клеточных автоматов. Клеточные автоматы могут быть определены как модели, которые имитируют глобальные последствия на основании локальных правил поведения [115]. Модели клеточного автомата представляют собой дискретную динамическую систему, впервые были разработаны С. Уламом и Дж. фон Нейманом в 1940-х годах для исследования поведения сложных систем [131]. Клеточный автомат состоит из конечной совокупности клеток, определенным образом соединенных между собой и образующих равномерную решетку. Состояние каждой клетки в момент времени задается некоторым параметром, а совокупность состояний всех клеток решетки определяет состояние решетки. При этом состояние решетки может изменяться дискретно в соответствии с установленными правилами.

Данные модели позволяют расширить структуру модели Басса, задав отдельные правила поведения потенциальных последователей, то есть по сути явно учесть эффект влияния индивидуальных особенностей человека на процесс распространения инноваций.

Клеточные автоматы были применены для преодоления таких ограничений моделей рассеивания макро-уровня, как индивидуальная вероятность принятия

инновации в [132], сопротивление к инновациям [133], раннее прогнозирование успеха инновации в [134], воздействия сетевых внешних факторов [124] и т.д. Взаимосвязь между моделью Басса и моделей клеточных автоматов изучалась различными исследователями, например, [135-137], и была показана возможность агрегирования данных о микро-уровне принятия инновации для создания более адекватной модели Басса. Данные модели снимают такой недостаток модели рассеивания, как постоянность потенциальной емкости рынка, однако не позволяют построить алгоритм управления процессом распространения.

S-образные кривые, полученные в результате моделирования с помощью клеточных автоматов, соотносятся с кривыми модели Басса [115]. Тем не менее, вопрос об объединении микро и макро уровня принятия инноваций до сих пор не решен.

Идея применения клеточных автоматов для теории распространения инноваций достаточно нова, в отечественных научных публикациях данные вопросы встречаются редко, однако можно выделить следующих исследователей: О.Н. Лободина, С.Г. Ломакин, Р.М. Нижегородцев, А.М. Федотов, Ю.Д. Шмидт [20, 138, 139].

Следующий класс моделей распространения инноваций - эконофизический, изучающий экономические системы естественно-научными методами. Интенсификация становления эконофизического подхода наблюдается в последние 10-15 лет. Данные модели описывают распространение инноваций характерными для физических сред аналогичными зависимостями.

В работе [11] проводится аналогия между явлением молекулярной диффузии и диффузии инноваций в целях определения коэффициента распространения инноваций на рынке. В работах [140, 141] для моделирования распространения инноваций используется модель Изинга, предназначенная для описания намагничивания материала. В работе [103] выявлены процессы взаимодействия волн инноваций, исходящих из разных источников, такое взаимодействие названо интерференцией. В работе [142] применяется теория броуновского движения для моделирования движения агентов, принимающих инновацию.

В данных моделях предлагается использовать прямые параметры, отвечающие за распространение инноваций, а именно продажи инновации.

Данный подход обладает тем математическим аппаратом, который позволит учесть не только состояние рассматриваемой инновации, но и параметры среды, что позволит построить алгоритм управления процессом распространения.

Обобщение по результатам анализа моделей

Первые пять классов моделей рассматривают процесс распространения на основании некоторых поведенческих моделей покупателей, имеют целью дать лишь менее или более точное описание натурного движения инновации, объяснить причины, влияющие на принятие решения. Такие модели не достаточно формализованы для управления процессом распространения, не основаны на доступных метриках, не учитывают возможное взаимное влияние инноваций и параметры среды. Приведенные ограничения не позволяют широко применять на практике данные модели для целенаправленного управления процессами распространения инноваций.

Естественно-научный подход свободен от недостатков первых пяти классов моделей. Дальнейшее развитие эконофизического подхода позволяет ставить задачу управления распространением инноваций.