Анализ производственных функций с постоянной мобильностью отдачи факторов

Рассмотрим кратко связи СМР с некоторыми другими известными классами функций. Функции с единичной мобильностью отдачи факторов СЕОМР имеют внешнее сходство с так называемыми транслоговыми функциями («гибкие» функциональные формы):

которые обеспечивают аппроксимацию любой неотрицательной гладкой функции на R+ с точностью для бесконечно малых второго порядка.

СЕОМР и транслог не содержатся один в другом, т. к. в (22) отсутствуют произведения более чем двух сомножителей.

Класс функций СЕОМР можно трактовать как одно из обобщений функций Кобба - Дугласа

связанное с отказом от постоянства некоторых из коэффициентов ^α1, · · ·, ^an.

Аналогичным образом функции СЕМР можно рассматривать как обобщение линейно однородных функций с постоянной эластичностью замены факторов по Б.Н. Михалевскому (класс функций CESM) [3, 14]

Как правило, функции CMP являются существенно неоднородными из- за свободных членов и произведений переменных в сомножителях. Однако при некоторых условиях однородность все же имеет место. Сформулируем эти условия в виде теоремы.

Теорема 3.

1) Следующие условия эквивалентны:

а) f(x) - однородная функция CMP степени однородности γ,

б) функция f(x) имеет вид

2) Среди CEMP однородными степени однородности γ являются функции вида

3) Среди CUMP однородных функций нет.

4) Единственной однородной среди CEOMP является функция Кобба - Дугласа.

Заметим, что однородная функция CMP может иметь произвольную наперед заданную степень однородности только в тех случаях, когда она является функцией Кобба - Дугласа либо содержит функцию Кобба - Дугласа от части переменных в виде сомножителя.

При n = 2 единственными однородными функциями СМР являются функции Кобба - Дугласа и CES; при n = 3 однородная функция СМР может иметь один из следующих видов:

Для анализа поведения функции CMP рассмотрим эластичность выпуска по ресурсу i функции CUMP (16). Величина

Таким образом, класс функции постоянной мобильности отдачи факторов представляет собой широкий класс, включающий линейно однородные функции постоянной эластичности замены по Михалевскому и целый ряд неоднородных, таких как функции CUMP, CEMP и CEOMP. При этом CMP наследуются многие свойства CES. Так, если функции класса CESM становятся линейными относительно мультипликативных параметров после возведения переменныхy, X₁, ..., x_n в некоторую степень с, то функции CEMP также обладают этим свойством, однако к числу независимых переменных добавляются их произведения X_i ... Xi_r по r переменных. Если функции Кобба - Дугласа линейны в логарифмах переменных In у, In Xi,.,In X_n, то функции CEOMP также линейны относительно In у, In Xi,., In X_n и произведений In X_i ... In X_ir по r независимых переменных. Сфера применения CMP корреспондируется со сферой применения CES, хотя включает и ситуации, не допускающие отражения с помощью CES (в частности, неоднородность зависимости).

Приведем в заключение несколько рекомендаций по оценке и интерпретации параметров функций CMP.

Функция CEOMP

после логарифмирования приводится, как уже говорилось, к линейной форме относительно параметров a₀, OT₁,., a . _n, поэтому их оценка может производиться стандартными методами линейной регрессии. При этом целесообразно масштабировать переменные Xi,...,X_n таким образом, чтобы произведения логарифмов переменных не были слишком малыми или большими числами.

Интерпретацию параметров рассмотрим в частном случае двух переменных Xi, X2. При известных условиях, связанных с учетом в критерии оценки информации о первых производных функции f (X) (см. [3]), величину Oi можно интерпретировать как увеличение в процентах объема выпуска, вызванное увеличением фактора i на 1% в случае, когда исходной была точкаПараметр a 12, в свою очередь, от

ражает меру влияния процентного изменения первого (второго) фактора на уровень эластичности выпуска по второму (первому) факторам.

Перейдем к функциям CEMP и CUMP. С вычислительной точки зрения оценивание их параметров не сложнее оценивания параметров функции CESA и может в принципе производиться теми же методами и вычислительными средствами (см., например, [16]). Автор использовал для расчетов параметров этих функций пакет программ для построения и использования нелинейных производственных функций ПРОФЭР [17].

Основой для интерпретации параметров двухфакторной функции CEMP

т. е. аі приближенно показывает, на сколько процентов вырастет объем выпуска при увеличении і-го фактора на 1%, если исходным было значение Хі = 1.

В общем случае n-факторов число оцениваемых параметров для функции CEOMP равно 2ⁿ, для функции CEMP - 2ⁿ +1. Рассчитывать на получение значимой оценки и содержательной интерпретации всех параметров функции при n > 4 вряд ли возможно (это не препятствует, тем не менее, ее использованию в прогнозных расчетах).

При оцениваниипараметров этой функции числа

априорно не предполагаются различными, что позволяет рассматривать ее как достаточно характерный представитель классов CEMP и CUMP. Однако, поскольку практически совпадение двух оценокмаловероятно, то

можно с самого начала считать, что. В этом случае

функция вида (27) однозначно выделяется из класса CMP следующими условиями на мобильности отдачи ресурсов и эластичности выпуска:

а) мобильности отдачи факторовравны единице;

б) мобильности отдачи факторовпостоянны и не равны

между собой;

в) эластичность выпуска по фактору X_i не зависит от остальных факторов при

Каждые два из этих условий даже при выполнении третьего независимы.

Распределение переменных на группыипроиз

водится априорно, на основании информации о роли каждого фактора в производственном процессе: если X_i не может принимать нулевого значения при ненулевом уровне выпуска, то Xi включается в число первых k переменных.

Интерпретация параметров функции (27) не вызывает затруднений: при упоминавшихся выше условиях на критерий оценки параметров величина ai приближенно выражает рост в процентах объема выпуска при увеличении уровня фактора i на 1%, i = 1, ..., п, если исходным было значениеисходное значение может быть любым).