ПРЕДПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИИ

ОБСУЖДЕНИЕ

Моделирование динамических явлений средствами статики a priori очень актуально. Как можно заметить, динамическая ценовая конкуренция — очень сложное явление, и для многих приложений удобно было бы представить ее в «редуцированной форме» статической конкуренции. И это именно то, чем пытаются заниматься сторонники гипотезы ломаной кривой спроса и предположительных вариаций. Однако эта методология имеет один главный недостаток: статическая игра, по определению, это игра, в которой выбор каждого участника совершенно не зависит от выбора его соперников. В условиях очень синхронизированной и информативной структуры игры фирмы не могут реагировать на действия друг друга. Таким образом, любое предположение о реакции оппонента, отличающееся от отсутствия реакции, иррационально. Мы заключаем, что эта методология не является теоретически удовлетворительной, поскольку она не подчинена дисциплине, налагаемой теорией игр.385

Возможно, некоторые предполагаемые реакции в статической модели дадут точно такие же исходы, как и в полностью разработанной динамической ценовой игре. Но для того чтобы это выяснить, необходимо изучать динамические игры. Нужно также проверить, что эти два подхода предполагают одинаковую реакцию на экзогенные шоки спроса и затрат (а это маловероятно, поскольку статический подход не может описать траекторию приспособления к шоку).

СУПЕРИГРЫ 6.3.1.

ТЕОРИЯ

Здесь мы будем использовать двухфирменную модель, введенную в раз* деле 5.1. Две фирмы производят совершенные субституты с одинаковыми предельными затратами с. Фирма с более низкой ценой завоевывает весь рынок, но в случае установления одинаковой цены фирмы получают равные доли рынка. Единственное отличие здесь в том, что мы повторяем основную игру Бертрана Т + 1 раз, где Т может быть конечно или бесконечно. В этом случае игра называется повторяемой игрой, или суперигрой. Пусть TLl(pu^pjt) будет прибылью фирмы г в момент t (t = О, ...,!Г), когда фирма i назначает цену рц,

& ее конкурент назначает цену pjt. Каждая фирма пытается максимизировать дисконтированную ценность прибыли:

Т

V(pit,pjt),

где S — дисконтирующий множитель (? = е~ГТ, где г — моментная ставка процента, а г — реальное время между «периодами»), <5, близкая к 1, характеризует низкое нетерпение либо резкие изменения цены.

В каждый момент t фирмы одновременно назначают цены (p\t,p2t)• Никакой физической связи между периодами не существует; предыдущий выбор цены одним из соперников никоим образом не влияет на новую цену. Тем не менее мы будем считать, что выбор цены в момент t зависит от предшествующих цен. Таким образом, ценовая стратегия рц зависит от истории

Ht = (рю>р20; • • •; pi ,t—1»—1 )•

Мы выбираем стратегии для того, чтобы установить «совершенное равновесие» (см. главу 11). Таким образом, при любой истории Ht к моменту t фирма i выбирает начиная с момента t стратегию максимизации дисконтированной ценности будущих прибылей при данной стратегии фирмы начиная с того же момента.

Во-первых, сделаем предположение, что горизонт конечен, Т < +00. Что такое равновесие динамической ценовой игры? Согласно главе 11, нам необходимо методом «обратной индукции» («backward induction») получить совершенное равновесие. Сначала узнаем, как при данной истории игры Нт фирмы выбирают цены в последний период Т.

Pit = Р2Т = с.

А какими будут равновесные цены в период Т — 1? Поскольку выбор цены в период Т не зависит от выбора в период Т — 1, события развиваются так, как если бы период Т — 1 был последним. Следовательно, в период Т — 1 фирмы так же выбирают конкурентные цены, не считаясь с тем, что происходило до этого. Для любого Нт-i

Pi,Т-l = Р2,Т-1 = С.

И т. д. по обратной индукции. Исход (Т + 1)-периодной ценовой игры есть решение Бертрана, повторенное Т+1 раз. Следовательно, динамический элемент ничего не добавляет к общей модели.

Картина драматически меняется, когда горизонт бесконечен (Т = +оо). С одной стороны, легко проверить, что равновесие Бертрана, повторяемое бесконечно, и есть равновесие этой игры. Чтобы убедиться в этом, предположим следующую стратегию. Каждая фирма выбирает цену, равную предельным затратам в каждом периоде t, независимо от истории игры до t. Поскольку соперник назначает таким образом цену, равную с, то и другой фирме ничего лучшего, кроме как назначить такую же цену с, не остается. Но с другой стороны, ин* тересной чертой этой игры является то, что повторяемое равновесие Бертрана больше не является единственно возможным равновесием. Пусть рт обозначает монопольную цену (она максимизирует (р — c)D(p)), и предположим следующие (симметричные) стратегии: каждая фирма назначает рт в периоде О. Более того, она назначает цену рт в периоде t, если в каждом периоде, предшествующем t, обе фирмы назначили цену рт; другими словами, она назначает цену в соответствии с предельными затратами с навсегда.386 Такие стратегии называются стратегиями скачкообразного переключения (trigger strategies), потому что любое отклонение приводит к прерыванию сотрудничества. Они образуют равновесие, если дисконтирующий множитель достаточно высок; при установлении цены рт фирма получает половину монопольной прибыли в каждом периоде. Отклоняясь от этой цены, фирма может получить максимальную прибыль Пт в период отклонения (на самом деле она может получить прибыль, приблизительно равную Пт, путем незначительного снижения цены рт), но тогда в дальнейшем ее прибыль снижается до нуля.

ттт

—-(1 + « + <2 + ...)> П"\

как это следует, если 6 > 1/2, то эти стратегии скачкообразного переключения будут равновесными.

Результатом этого является формализация тайного сговора. Если фирма снижает монопольную цену, она получает прибыль в период уклонения, но она нарушает сговор в более поздние периоды — фирмы возвращаются к «жестокой стратегии» («grim strategy») (т. е. они играют чисто конкурентно навсегда, что, как мы знаем, и есть равновесие). Заметим, что сговор навязывается чисто некооперативным механизмом.

Существует много других равновесий в этой игре. Приведенные рассуждения действительно означают, что любая цена, между конкурентной и монопольной, может поддерживаться (инвариантно времени (times-invariant)) как равновесная цена так долго, как долго дисконтирующий множитель превышает 1/2 (это предполагает, что любая симметричная попериодная прибыль, лежащая в пределах от 0 до Пт, может быть равновесной прибылью). Пусть р принадлежит множеству [с,рт] и пусть каждая фирма назначает цену р до тех пор, пока никто не уклонится от этой цены. Если какая-то фирма уклонилась от цены в прошлом, обе фирмы будут все время устанавливать конкурентные цены. И снова, повторим, эти стратегии являются равновесными. По мере приближения к р каждая фирма получает

5М(1 + ? + *2+ ...).

Если фирма отклоняется, она получает в лучшем случае П(р) в период отклонения (так как соперник назначает цену р). Таким образом, она получает в лучшем случае П(р)/2 в течение этого периода и затем теряет половину прибыли при цене р навсегда:

Щ^(«+«* + ...) = П(р) 6

2(1-іУ

Таким образом, если 6 > (1 — 6), т. е. 6 > 1/2, уклонение от цены р не является частнооптимальным.

Данный результат является лишь одним из аспектов общего итога, известного как народная теорема (folk theorem).* Для рассматриваемых повторяемых ценовых игр народная теорема утверждает, что любая пара прибылей (П1, П2), таких что

П1 >0, П2 > 0, П1 + П2 < Пт,

является попериодной равновесной выплатой для ?, достаточно близкой к 1. Здесь, значит, и существует совершенное равновесие стратегий

{Р1«(Я(),р2((Я,)},

которые образуют совершенное равновесие так, что для всех г попериодная выплата фирме г,

оо

<=0

равна И1.12 Это показано на рис. 6.3. 12

Умножение межвременной выплаты на 1 —6 приводит к нормализации ее к попери- одному эквиваленту. Заметим в особенности, что если П*(рл ,р]г) независимо от времени и равняется П*, то

ОО

(1 - 6) ?<'пЧр.-.,ря) = (1 - «)0 + 6 + в2 +.. )п' = п1.

? = 0

* Народной теоремой в теории игр называют основную теорему теории повторяемых игр, которая давно и хорошо известна специалистам, но не имеет опубликованных ссылок на ее авторство. (Прим. ред.).

Упражнение 6.2***. Покажите, что любая выплата (Пг,П2), такая, что П1 > О, П2 > 0 и П1 + П2 < Пт, является равновесной выплатой при 6 —> 1.

Упражнение 6.3***. Покажите, что для 6

< 1/2 единственной равновесной прибылью является конкурентная (нулевая) прибыль. Ограничьтесь чистыми стратегиями. Указание: рассмотрите максимальную (критическую) попериодную прибыль, которой фирма может достичь в совершенном равновесии.

Таким образом, при 6 —> 1 все находится в равновесии («все*, потому что совокупная прибыль не может превышать Пт, и так как равновесные прибыли не могут быть отрицательными, фирма может всегда гарантировать себе получение неотрицательной прибыли посредством назначения цен, превышающих предельные затраты, либо может вообще уйти с рынка).

Народная теорема, приведенная здесь, была доказана Фридменом [38, 39]. Более общие версии этой теоремы были рассмотрены в [11, 70], а также в [42]. См. раздел 6.7.3.

Замечание. Самым легким путем принудить придерживаться данной цены (и, возможно, данной рыночной доли) являются максимально жесткие наказания за отклонения. В ценовой игре с совершенными субститутами максимально возможное наказание принимает простую форму. Оно соответствует конкурентному равновесию Бертрана (статическому или динамическому), при котором ни одна фирма не получит прибыли (здесь не существует более жесткого наказания, потому что фирма всегда может уйти с рынка или, что то же самое, назначить очень высокую цену и гарантировать себе нулевую прибыль после этого отклонения). Конечно же, такое наказание очень жестоко и для его исполнителей, но обычно на траектории равновесия это ничего не стоит, поскольку оно нена- блюдаемо (уклонения не происходят). Таким образом, для того чтобы увидеть, насколько такое поведение может действительно сохраняться в равновесии, достаточно предположить, что любое отклонение приведет к постоянному возвращению к поведению Бертрана. Такое утверждение является частью более общего принципа (см. [1, 2])387 и, как мы увидим в разделе 6.3.3, решительно зависит от совершенно наблюдаемого ценового выбора всех участников.

Теория суперигр по существу даже слишком преуспела в объяснении тайного сговора. Множество равновесий обусловливает множество затруднений. Каким-то образом фирмы должны координировать фокальное равновесие, чтобы концепция равновесия сохранила привлекательность. Как же выбирается это равновесие? Процесс отбора, обычно используемый в литературе, предполагает, что в симметричной игре фокальное равновесие симметрично и является Парето- оптимальным с точки зрения двух фирм (т. е. должно привести к платежу на границе допустимого множества попериодных прибылей). В предыдущем примере эти допущения обеспечивают отбор равновесных стратегий, которые приносят попериодные прибыли П1 = П2 = Пт/2 при 6 > 1/2 (под давлением, например, стратегии установления цены рт, если каждая фирма назначила цену рт раньше, и назначения с в случае уклонения).