6.4. Оптимальный портфель

Любой вид рисковых ценных бумаг мы будем характеризовать двумя величинами: ожидаемой эффективностью и мерой риска - вариацией или среднеквадратичным отклонением эффективности от ожидаемой.

Естественно, что и ожидаемая эффективность, и вариация портфеля будут зависеть от его структуры, т. е. долу исходного капитала, вложенной в каждый вид ценных бумаг. Инвестор всегда сталкивается с дилеммой: желание иметь наибольшую эффективность портфеля и желание обеспечить вложение с наименьшим риском. Поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор, который зависит от характера самого инвестора и от его склонности к риску. Однако разумный инвестор должен быть уверен, что, определив в качестве цели достижение наибольшей ожидаемой эффективности, он выберет такую структуру, которая поможет добиться этого с наименьшим риском.

Пусть, как и ранее, Xj - доля капитала, вложенного в ценные бумаги j-ro вида. Тогда, учитывая формулы (6.8), (6.10), можно свести задачу выбора оптимальной структуры портфеля к следующей математической проблеме¹.

Найти Xj , минимизирующие вариацию эффективности портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение m_p ожидаемой эффективности, т. е.

Поскольку x_i - доли, то в сумме они должны давать единицу:

Решение этой задачи обозначим знаком *.

Эта математическая формализация была впервые предложена Г. Марковицем (Н. Markovitz) в 1951 г. [28], за что позднее он был удостоен Нобелевской премии по экономике. Сам факт присуждения этой премии является свидетельством важности проблемы оптимального портфеля для экономической науки в целом.

Способы решения сформулированной математической задачи изложены в Дополнении 1 к этой главе? В основном тексте мы оіраничимся лишь описанием качественных особенностей оптимального портфеля» Для этого рассмотрим диаграммы, представленные на рис» 6.2 и 6.3.

а. С увеличением требуемой ожидаемой эффективности вклады в каждую ценную бумагу меняются линейно, если возможен short sale_r или кусочно-линейно, если такие операции запрещены. Некоторые вклады растут (это относится к более эффективным, но и более рисковым ценным бумагам), некоторые уменьшаются (менее эффективные и менее рисковые ценные бумаги).

б. Мера риска оптимального портфеля возрастает с ростом требуемой ожидаемой эффективности. При наличии капитала, взятого в долг, можно сформировать портфель с любой ожидаемой эффективностью, но при этом и риск будет неограниченно расти.

Если же взятие в долг невозможно, то предельная ожидаемая эффективность портфеля совпадает с эффективностью той ценной бумаги, эффективность которой самая большая, (в нее вкладывается весь наличный капитал). Если же имеется несколько видов таких предельно эффективных (но и рисковых) ценных бумаг, то капитал распределяется (диверсифицируется) между ними.

в. Наклон кривой, отображающей зависимость риска от эффективности, постепенно возрастает (в математике такая функция называется выпуклой вниз).

Авторами книги и их коллегами по Санкт-Петербургскому экспертноаналитическому центру "Информстат" разработан пакет прикладных программ SAOF, позволяющий в автоматическом режиме решать задачи выбора оптимального портфеля и подготавливать для них необходимую информацию (см. Дополнение 7.3).

Рис. 6.2 6.

Рис. 6.2. Изменение оптимальных вкладов с ростом требуемой ожидаемой эффективности портфеля.

а. При допущении short sale.

б. При запрещении short sale.

Через несколько лет после публикации знаменитой статьи Г.Марковица об оптимальном портфеле другой крупнейший американский экономист Д.Тобин (также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил [31 ], что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых ценных бумаг на рынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые) типа государственных обязательств с фиксированным доходом.

Рис. 6.3. Изменение минимального риска с ростом требуемой ожидаемой эффективности портфеля.

а. При допущении short sale.

б. При запрещении short sale.

Поэтому и на практике, и в теории главная задача - правильное распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями

Пусть r_o - эффективность безрискового вложения, а ожидаемая эффективность какого-либо портфеля рисковых ценных бумаг равна ш_г (и она, конечно, выше r_o). Известна также вариация V_r эффективности этого портфеля.

Неизвестна доля x? капитала, которую надо вложить в безрисковые ценные бумаги.

Эффективность комбинированного вклада объединенного портфеля (х₀ - в безрисковые, 1 - x_? - в рисковые) является случайной:

I

Ожидаемое значение равно

а вариация определяется только рискованной частью вклада и равна

Для СКО вклада имеем:

Исключая x_o, получим

т. е. связь между ожидаемым значением и СКО эффективности всего вклада линейна (рис. 6.4.).

Если весь капитал инвестируется в безрисковые ценные бумаги, то эффективность равна r_?, а риск равен нулю; если весь наличный капитал вложить в рисковые ценные бумаги, то ожидаемая эффективность равна m_r, а СКО равно O_r Любому же промежуточному решению (0 < x_o < 1) соответствует одна из точек на отрезке прямой, связывающей предельные, простые решения. Однако если возможно брать безрисковые ценные бумаги в долг (х₀ < 0), то достижима и любая ожидаемая эффективность, сопровождаемая соответственно растущим риском. Теория лишь указывает, каковы будут последствия решения инвестора.

Главный вывод, сделанный Тобиным, значительно интереснее: если имеется возможность выбирать не только между заданным рисковым портфелем и безрисковыми ценными бумагами, но и одновременно выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна такая структура, не зависящая от склонности инвестора к риску.

Доказательство этого вывода и формула для вычисления оптимальной структуры приведены в Добавлении 1 к этой главе. Здесь мы ограничимся лить диаграммой (рис. 6.5.), которая является следствием формальных результатов.

Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всех рисковых ценных бумаг. В зависимости от склонности к риску инвестор выберет одну из точек на кривой R. После этого возникает возможность вклада и в рисковые, и в безрисковые ценные бумаги.

Рис. 6.4.

Проведя касательную к кривой R из точки найдем точку с координатами ]даю

щими характеристики оптимального рискового портфеля. Все другие точки на касательной представляют характеристики оптимального комбинированного (из рисковых и безрисковых

ценных бумаг) портфеля, и пропорция x_? в этой комбинации, конечно, должна определяться самим инвестором.

ПримерЗ. Для иллюстрации приведем численный пример выбора портфеля, состоящего из 4 видов ценных бумаг.

В таблице указаны вероятностные характеристики, полученные путем статистической обработки временных радов (см. гл. 7).

Задаваясь различными желаемыми значениями ожидаемой эффективности портфеля m_p, вычисляем по формулам (6.14) структуру портфеля и соответствующий наименьший

возможный "риск", т. е. оптимальное СКО портфеля. Результаты расчетов сведены в таблицу: