СЛУЧАЙ КОНТИНУУМА ТИПОВ
Для дальнейшего развития методов нелинейного ценообразования и получения нескольких дополнительных результатов допустим, что параметр вкуса
0 распределяется среди потребителей в соответствии с плотностью f(9) (с интегральной функцией распределения F(9)) на [0,0] (где 0 < 0 < 0).
460граничение может быть записано следующим образом:
02^(д2) ~ Г-1 > и (в 2) = тах[?02'/Г(92) — сд^]-
ч 2
47Альтернативное применение этой идеи могло бы иметь отношение к вертикальной интеграции.
Если покупатель — это фирма — производитель конечного продукта, он мог бы иметь выбор между покупкой одного из наборов монополиста — фирмы — производителя промежуточного товара и производством промежуточного товара самостоятельно (т. е. вертикально интегрируясь). В последнем случае он оплатил бы К — фиксированные затраты на инвестиции, чтобы иметь доступ к технологии производства при предельных затратах с (и величина к в этом контексте может быть равна 1). Покупатель с высоким спросом имел бы более сильный стимул вертикально интегрироваться (как в модели ценовой дискриминации третьей степени, упомянутой в тексте), и, таким образом, ограничение индивидуальной рациональности могло бы выполняться сверху.
Монополист предлагает нелинейный тариф Т(д). Потребитель с параметром вкуса В покупает д(В) единиц и платит Т(д(В)). Тогда прибыль монополиста
Монополист максимизирует эту прибыль при наличии двух ограничений. Во-первых, все потребители должны быть готовы покупать: для всех В
вУ{д(в)) - Т(д(в)) > 0.
(Монополист может пожелать исключить некоторых потребителей из потребления; на формальном уровне это можно представить как д(В) = Т(д(0)) = 0 для этих потребителей). Как в случае двух типов, фактически достаточно требования, чтобы ограничение индивидуальной рациональности (3.7) распространялось на потребителей с самым низким спросом:
9У(д(в)) ~ Ш1)) > 0.
Если ограничение (3.8) удовлетворяется, потребитель типа В также получает неотрицательный чистый излишек, так как он может выбирать набор потребителей типа В и получить полезность
вУ(д(в)) - Т(д(в)) > (в - ?)У(д(Ю) > 0.
Во-вторых, потребитель типа В не должен выбирать набор, выбранный потребителями типа В (где В ф В).
Ограничение совместимости стимулов для потребителей типа В и В
и(в) = вУ(д(в)) - Т(д(в)) > вУ(д(в)) - Г(?(Ограничение, представленное (3.9), не очень удобно для применения. К счастью, для данной проблемы будет достаточно требования, чтобы ограничение стимулов удовлетворялось «локально», т. е. для В = В — <1В, близкой к В (см. прим. 52),
вУ(д(в)) - Т(д(в)) > вУ(д(в - Щ) - Т(д(в - Щ).
Предполагая, что вУ(д(в)) - Т'(д(в)) = 0, (3.10)
это ясно выражает тот факт, что небольшое увеличение в количестве, потребляемом потребителями типа В, порождает предельный излишек ВУ(д(В)), равный
предельному платежу Т,(д(в)). Следовательно, потребитель не хочет изменять количество в пределе. Уравнение (3.10) может быть использовано для получения платежной функции, если функция количества д(9) известна. Предполагая, что оптимальная ^(0) строго монотонна при 0 (которая вскоре будет получена), имеем
Г(?) = а(?)»"(9), (3.11)
где а(-) — обратная функция количества, т. е. а(д) — тип, потребляющий количество д(а(д(9)) = в). Для получения оптимальной функции количества удобно использовать возможно менее характерное представление ограничения стимулов.279 Допустим, что и (в) обозначает (как и раньше) полезность, или чистый излишек, потребителя типа 0. Исходя из ограничения совместимости стимулов, имеем
и(в) = вУШ) - ТШ) = га_ах[вУ(,(в)) - Т(9(«))].
в
По теореме об огибающей производная и по 9 учитывает только непосредственное влияние 0 и не учитывает косвенного влияния, возникающего в результате регулирования количества:
^ = и'(в) = У(ч(в)). (3.12)
Интегрируя уравнение (3.12), можно выразить полезность потребителя типа в как280 ^
и[в)= [ У(д(и))(1и + и(6)= \ У(д{и^щ (3.13)
•/?
где используется ограничение индивидуальной рациональности (11(0) = 0).
Решающим окажется то, что полезность потребителя как функция 0 растет с тем же темпом, что и
Большие количества «дифференцируют» различные типы в большей степени, так как дифференциалы полезности выше. Поскольку оставление излишка потребителю обходится дорого монополисту (напомним, что передача Г( 0 в количестве, покупаемом потребителем типа 0, повышает полезность всех типов в' > в при У\д(9))8д > 0, но не влияет на полезность типов 0' < в. Следовательно, предполагается, что потребители с низким спросом потребляют значительно меньше своего социально оптимального количества, а потребители с высоким спросом (0 = 0) потребляют точно «вое социально оптимальное количество — вывод, аналогичный выводу 3
в тексте. Если это действительно так, монополист расширяет количественный спектр в направлении к малым количествам (т. е. низкие качества при качественной интерпретации). Попробуем доказать эти результаты формально.
Поскольку T(q(9)) = 9V(q(9)) — U{9), прибыль монополиста может быть записана в виде
П- = J* ^0V(qm - J* V(q(u))du - сЧ(в)\ mde.
Интегрирование по частям51 дает
пт = Г{[SV(9W) -сч(в) W) - ^W)!1 - птм-
Максимизация Пт относительно q(-) требует, чтобы подынтегральное выражение максимизировалось по q(9) для всех в:
вУ(ч(в)) = с + 1^Шу'(<г(9)). (3.14)
Таким образом, получаем вывод, что предельная готовность платить за товар превышает предельные затраты, за исключением потребителя с наивысшим спросом (9 = 9). Следовательно, монополист заставляет потребителей покупать субоптимальное количество.52
51В этом интегрировании по частям удобнее взять — [1 — как интеграл от /(9)<19. 52Мы представили ограничение совместимости стимулов условием первого порядка (3.10). Чтобы убедиться, что <у(0) действительно является оптимальным выбором потребителя типа 9, необходимо проверить условие второго порядка, связанное с оптимизацией потребителем количества как локально, так и глобально.
Пусть и(9, 9) обозначает полезность потребителя со вкусом 9, когда он потребляет количество, потребляемое потребителем со вкусом в:
щ»,в) = еу(ч(в))-т(ч(ё)).
Условие первого порядка для всех 9:
1^(М) = 0,
где индексы обозначают частные производные. Другими словами, выбор <у(0) является оптимальным для потребителя типа 9. Дифференцирование условия первого порядка по
Я дает
ии(в,в) = -ивё(0,0).
Локальное условие второго порядка, следовательно, эквивалентно
Далее, для этого типа потребительского предпочтения можно получить простое выражение для «ценовой накидки* («price-cost margin»). Пусть T\q) = = p(q) обозначает цену единицы товара высшего качества, когда потребитель уже потребляет q единиц. Из теории оптимизации потребителя известно, что
т'Ш) = вУ(ч(в)).
Подставляя в уравнение (3.14), получаем
р — с 1 — F(9)
(3.15)
где р = р(«№)-
Обычно делается предположение, что «степень риска* распределения типов
т
1 - /х#)
увеличивается с увеличением в.281 Это свойство удовлетворяется большим количеством распределений, включая однообразное, нормальное, Парето, логистическое, экспоненциальное и любое другое распределение с неуменьшающейся плотностью. При допущении, что степень риска увеличивается, величина
Й 1-г в~~т~
увеличивается с увеличением 0. Из уравнения (3.14) и того, что V вогнута, q(0) увеличивается с увеличением 0. Кроме того,
1 - т «т
уменьшается вместе с 9 так, что ценовая маржа уменьшается в зависимости от типа потребителей и, следовательно, от выпуска продукции. Теперь получим некоторые дополнительные свойства оптимальной платежной функции Г(-). Напомним, что Т'(д) = р(Т"(а№ = Лр^в (1д (1д/<19'
Но dq/dв > 0, а из уравнения (3.15) dp/d9 < 0. Следовательно, платежная функция вогнута. Она представлена на рис. 3.7. Из рисунка следуют два свойства.
•
Средняя цена за единицу Т(^)/д уменьшается в зависимости от д.54 (Это результат количественной скидки по Мэскину—Рейли).
Т(%)
•
Поскольку вогнутая функция — это огибающая, лежащая ниже касательных к ней, оптимальный нелинейный график платежей может быть также получен с помощью перечня (menu) двухставочных тарифов (где монополист позволяет потребителю выбирать среди континуума двухставочных тарифов). Это можно видеть на рис. 3.7, где потребитель типа 9 фактически выбирает двухставочный тариф с наклоном р(дг(0)).55
54Наклон Т в д(?) действительно меньше, чем наклон луча, проходящего через начало координат и точку (д(?), Т(д(в))):
IV'(Я(?)) < ?
так как V вогнута.
55Этот момент рассмотрен в другом контексте в работе [35]. Здесь правительство предлагает перечень контрактов регулируемой фирме, имеющей закрытую информацию
о своей технологии. Оптимальные контракты фактически могут быть выбраны линейно при затратах, превышающих допустимый уровень (cost overruns). Иначе говоря, правительство дискриминирует на базе доли компенсируемого фирме превышения затрат.
БОЛЕЕ ОБЩИЕ ФУНКЦИИ СПРОСА
Как было отмечено, приведенная выше теория справедлива для более общей функции валового излишка V(q,0) до тех пор, пока dV/dO > 0 (что является просто нормализацией) и d2Vfdqd0 > 0 (условие сортировки или единичных пересечений (single-crossing or sorting)). Уравнение (3.14) принимает вид
dV 1 - F(0) d2V
^W,e) = c+-^1—Whe). (3.14-)
Следующее упражнение, предложенное в [80], использует уравнение (3.14')-
Упражнение 3.7**. Монополист с предельными затратами с продает товар разнородным потребителям. Последние дифференцируются по своим транспортным затратам tq для покупки количества q. Параметр t распределяется в соответствии с интегральной функцией распределения G(t) на [0, оо] с плотностью g(t). Монополист не обеспечивает транспортировку. (Далее предположим, что потребители не могут проводить арбитраж между собой). Функция полезности потребителей
при покупке q единиц.
1.
Как вы определите 0, V(qy в), F(0) и f(0), чтобы можно было применить общую теорию?
2.
Пусть p(q) = T(q). Используйте уравнение (3.14') для расчета оптимальной величины pq.
3.
Предположим, что G(?) = ta на [0, 1] (где а > 0). Рассчитайте оптимальный нелинейный тариф и покажите, что он отражает количественные скидки.
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СКИДКИ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ НАДБАВКИ
Результат вычислений Мэскином и Рейли количественных скидок основан на возможном предположении относительно формы и распределения предпочтений потребителей. Однако обычно оптимальный нелинейный тариф может включать количественные надбавки вместо количественных скидок. Предположим, что потребление товара может быть только целочисленным и что имеются два типа потребителей. Потребитель с низким спросом хочет приобрести ровно
Использование линейных (т. е. двухставочных) тарифов более интересно в контексте стимулов благодаря существованию неопределенности. При нейтральности к риску линейные контракты являются, однако, действенными (оптимальными) при любом виде неопределенности затрат или ошибке измерения.
При двух типах потребителей оказывается, что два двухставочных тарифа не дают возможности осуществления оптимального нелинейного тарифа. Это выглядит странным, так как могло показаться, что было бы сложнее использовать двухставочные тарифы при большем количестве типов. Однако представьте двухточечное распределение как непрерывное распределение с двумя элементами. Это распределение вряд ли будет проводиться, в нем степень риска не монотонна (что было достаточным условием для осуществления при двухставочном тарифе).
одну единицу товара. Его валовой излишек составляет единицу, если он потребляет одну единицу или больше, и нуль в других случаях. Потребитель с высоким спросом хочет приобрести ровно 2 единицы товара. Его валовой излишек составляет 4, если он потребляет 2 единицы или больше, и нуль в других случаях. Оптимальный тариф для монополиста, несомненно, составляет T(q) = 1 для q = 1 и T(q) = 4 для q = 2. В этом особом случае монополист может проводить совершенную дискриминацию; и, что более важно, средняя цена будет 1 для покупки одной единицы товара и 2 — для покупки двух единиц.
При качественной интерпретации модели хороший пример надбавки представляют автомобильные производители, которые обычно стараются извлечь излишек у потребителей с высокой оценкой (т. е. у потребителей, которые высоко ценят предметы роскоши и престиж). Маржа прибыли для моделей автомобилей высшего класса и оборудования салона по заказу значительно выше, чем для основных моделей автомобилей и оборудования,56 и это предполагает наличие качественных надбавок.
Следовательно, нельзя определить a priori, что является оптимальным — количественные (или качественные) скидки или надбавки. Только тщательное рассмотрение вероятной формы и распределения потребительских предпочтений может определить оптимальную стратегию бизнеса.
АСПЕКТЫ БЛАГОСОСТОЯНИЯ
Кац [28] демонстрирует, что нелинейное ценообразование может дать либо слишком малый, либо слишком большой выпуск по сравнению с социально оптимальным уровнем. (К тому же распределение данного выпуска между потребителями не способствует максимизации благосостояния, поскольку эффективным средством распределения фиксированного выпуска продукции является единая цена). Однако, если выполняется условие единичного пересечения (как предполагалось в данном случае), монополист обычно выпускает слишком мало продукции.
3.5.1.3.
ОПТИМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ТАРИФЫ КАК ЦЕНЫ ПО РАМСЕЮ57
Проведем аналогию между оптимальным нелинейным тарифом (скажем, данным уравнением (3.15)) и правилом обратной эластичности с целью унификации теорий дискриминации второй и третьей степеней.
Для этого разложим функцию совокупного спроса на независимые функции спроса на предельные единицы потребления. Зафиксируем количество q и рассмотрим спрос для ?-й единицы потребления. Эта единица, по определению, имеет цену р. Доля потребителей, готовых купить эту единицу, составляет
Dq(p) s 1 - F(9'4(p)),
56Шерер [72, р. 394] цитирует меморандум по вопросу четырехдверного седана «Ford Galaxie*. В 1966 г. оптовая цена автомобиля со стандартным оборудованием превысила стандартные затраты на 17%, причем было обнаружено, что надбавки на дополнительное оборудование были слишком высоки, «например 293% — на более мощный двигатель V-8, 123% — на усиленный ручной привод и 58% — на кондиционеры*.
57ДанныЙ раздел написан под воздействием работ [9, 24].
где 9*(р) — тип потребителя, которому безразлично, купить или не купить 9-Ю единицу по цене р:
#;(р)у'(Спрос на 9-ю единицу независим от спроса на 9-ю единицу при 9 ф 9.282 Следовательно, мы можем применить правило обратной эластичности. Оптимальная цена для 9-й единицы определяется следующим выражением:
р — с dp Ид
Р <1ВЧ р
Однако
? - • %??
Таким образом, мы получаем
Р-С _ 1--г(*;(р))
р ЩРШЩР»’
а это не что иное, как уравнение (3.15).
3.5.2.