Модель оценки основных активов

Для построения оптимального портфеля необходимо знание математических ожиданий и взаимных ковариаций эффективностей акций. Для этого, казалось бы, можно воспользоваться прямым статистическим подходом: поскольку данные о котировках акций на торговых площадках доступны в сети Интернет, можно в качестве оценок математических ожиданий ME_k, волатильностей о_к и ковариаций cov (E_k; E.) взять их выборочные аналоги — соответственно

где— эффективность акции с номером к в день с номером t.

Но не так все просто! Если даже считать, что на рынке обращается 500 акций (ровно столько акций представлено в популярном фондовом индексе Standard & Poor’s 500 — см. далее; на самом деле, акций на рынке обращается больше), то если взять данные за месяц (22 рабочих дня, по одной котировке в день), то получится 220 • 500 = 11 000 чисел, а оценить нужно 500 средних, 500 волатильностейи 124750 ковариаций— точность полу

ченных таким способом оценок будет весьма низкой. Если брать более длительные промежутки времени, то точность оценок все равно будет невысокой в силу того, что рыночная конъюнктура меняется очень быстро, иногда за неделю происходят весьма и весьма значительные изменения! Что же делать?

Выход довольно прост: рассматривать зависимость эффективностей акций от каких-либо ведущих факторов, объективно характеризующих финансовый рынок в целом. В качестве такого ведущего фактора можно взять, например, цены на энергоносители; все компании пользуются энергией — и в технологических процессах, и в процессе перевозок, поэтому эффективность работы компаний напрямую зависит от изменений цен на энергоносители.

Рассмотрим зависимость эффективности акции E от некоторого фактора F; в простейшем случае такую зависимость можно представить в виде модели линейной регрессии

где k — номер акции, a_k и P_k — некоторые постоянные, а s_k — N(0; a_Sk)

— случайный эффект влияния на доходность E_k неконтролируемых факторов.

Коэффициент P_k имеет смысл чувствительности доходности E_k данной акции к изменениям рыночного фактора F.

В качестве F часто выбирают какой-либо фондовый индекс — среднее взвешенное курсов акций важнейших эмитентов рынка акций; чаще всего используются следующие фондовые индексы:

• индекс Доу — Джонса — первый в мире фондовый индекс, предложенный в 1884 г. журналистом Ч. Доу и его партнером по выпуску газеты Wall Street Journal Э. Джонсом; в настоящее время рассчитываются индексы Доу — Джонса для различных групп компаний, например, индекс Dow Jones Industrial рассчитывается по 30 крупнейшим промышленным корпорациям США (http://indexes.dowjones.com/),

• индекс Standard & Poor’s 500 — взвешенный по рыночной стоимости индекс 500 акций крупнейших американских компаний, из которых 400 относятся к промышленности, 40 — к энергетике, 40 — к сфере финансов, а оставшиеся 20 — к транспорту (http://www.standardandpoors.com/),

• индекс обыкновенных акций Financial Times — самый первый фондовый индекс в Европе, появившийся на страницах газеты Financial Times в 1935 г.; рассчитывается как средняя геометрическая котировок акций 100 ведущих британских компаний (http://www.ftse.com/);

• индекс РТС; рассчитывается по данным 62 акций (в конце

2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе

(http://www.rts.ru/);

• индекс S&P/RUX; рассчитывается по данным 46 акций (в конце

2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе

(http://www.rts.ru/);

• индекс AK&M; рассчитывается по данным 36 (в конце 2003 г.) ведущих российских эмитентов акций (http://www.akm.ru/).

фондовый индекс, равный усредненной доходности различных акций, обращающихся на рынке, и оценка значения в оказывается больше единицы, это означает, что данная акция является агрес-

сивной, т. е. ее доходность растет в среднем быстрее, чем доходность по рынку в целом; если оценка в оказывается меньше единицы, это означает, что данная акция является оборонительной, ее доходность растет в среднем медленнее, чем доходность по рынку; для некоторых ценных бумаг оценка коэффициентаблизка к нулю, это значит, что ожидаемая доходность данной бумаги не зависит (или почти не зависит) от поведения рынка. Возможны случаи положительных и отрицательных коэффициентовв этих случаях доходность данной акции изменяется соответственно в том же направлении, что и доходность по рынку в целом или в противоположном направлении.

Если в модели (8.1.1) в качестве F выбрать

где r_M — доходность касательного портфеля n_M, i — процентная ставка безрисковых вложений и заимствований, то получим следующую регрессионную модель:

Рассмотрим портфель п, в который входит k-я акция с долей x_k и рыночный портфель п_м с долей (1 - x_k); его доходность будет равна

дисперсия доходности

среднее квадратичное отклонение (риск)

Производная

из равенства (8.1.2) получаем, что

Модель (8.1.5), описывающая зависимость премии за риск Е_к — і для данной акции с номером к от премии за риск r_M — i по рынку в целом, называется моделью оценки основных активов (Capital Asset Pricing Model). Она была предложена в 1964 г.

Кроме очевидной задачи, отмеченной в начале пункта, есть и еще одно важное практическое применение модели оценки основных активов, которое заключается в том, что данная модель может позволить выявить неверно оцененные акции: если реально наблюдаемая доходность акции выше (или ниже) той, что определяется моделью оценки основных активов, то такая акция называется переоцененной (соответственно недооцененной); эта разница образуется в результате рыночного неравновесия и должна со временем исчезнуть. Таким образом, представляется выгодной покупка недооцененных акций в ожидании повышения их доходности, а также игра на высокодоходных, но переоцененных, акциях (которая, конечно, может быть только краткосрочной).

Пример 8.1.1. Табл. 8.1.1 содержит данные о значениях доходности некоторой акции E и доходности рыночного портфеля r_M за последние 10 дней.

Таблица 8.1.1

___________________________________________________________ Изменения доходностей акции и рыночного портфеля ____________________________________________________________________________

Какой коэффициент в имеет данная акция, если ставка банковского процента равна 10% годовых?

Решение. Вначале перейдем от доходностей к премиям за риск (табл. 8.1.2).

Таблица 8.1.2

Изменения премии за риск для акции и для рыночного портфеля

Уравнение линейной регрессии, не содержащее свободного члена, получим с помощью какого-нибудь компьютерного статистического пакета:

140

Значение параметра (3 = 1,99 говорит о том, что при увеличении (r_M — і) на единицу можно ожидать роста премии за риск для данной акции (E — і) на 1,99. ?

8.2.