Страхование жизни

    Страховые организации проводят следующие виды страхования жизни: смешанное, дополнительных пенсий, детей, пожизненное на случай смерти. В этих видах страхования комбинируются различные виды страховой ответственности.

Страхование на дожитие до определенного возраста и на случай смерти

Задача 1.

Рассмотрим исчисление вероятностей страховых событий.

Данные из таблицы смертности.

Таблица 1.

    Для лица, чей возраст 43 года, вероятность прожить еще один год (P43) составляет:

Р43 = L43+1 = 85310 = 0,99050;

                                             L43         86182

вероятность умереть в течение предстоящего года (q43) жизни равняется:                   q43 = d43 = 872_  = 0,01012;

                                              L43      86182

вероятность прожить пять лет (5Р43) к ряду равняется:

5Р43 = L43+5 = 81208 = 0,94228;

                                              L43       86182

вероятность умереть в течение 5?предстоящих пяти лет (q43) равняется:

5? q43 = L43 – L 43 + 5 = 86182-81208= 0,05771;

                                           L43                   86182

вероятность умереть на пятом году ??жизни (q43) равняется:

?5q43 = L43+4 - L43+5 = 82327 - 81208 = 0,01298;

                                        L43                        86182

Задача 2.

    Страхователю 43 года, по условию договора страховщик обязан выплатить ему возмещение только при дожитии до 48 лет. При ставке i=5% единовременная премия (5Е43), которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется:

5Е43 =V5 xL43+5 = 0,7835 x 81208 = 0,7383,

                                       L43                      86182

где V5 = 1 / (1+i)  - дисконтирующий множитель 5-ой степени.

    Число 0,7383 - это тарифная ставка для лиц в возрасте 43 года, страхующихся на дожитие до 48 лет (5Е43). Ее значение определяется из таблицы коммутационных чисел (Табл. 2).

Данные из таблицы коммутационных чисел

при норме доходности 5%.

Таблица 2.

5Е43 = D43+5  = 7807 = 0,7383,

                                               D43        10574

где D43+5 и D43 - коммутационные числа.

    Если страховая сумма по данному договору равнялась 500 д.е., то страхователь должен был бы внести 369,15 д.е.

Задача 3.

    Страховщик обязуется выплачивать страхователю, которому 45 лет, пожизненно по 1 д.е. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос (а45) составит:

а45 = N46 = 120673= 12,85 д.е.

                                             D45      9391

    При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страховщиком в конце каждого года размер единовременного взноса (n?ax) определяется как:

n?ax = Dx + n+1 + Dx + n+2 + Dx + n+3 + ...+ Dx + n + w  = Nx + n+1 ,

                                                   Dx                                                 Dx

где Dx + n + w - предельный возраст таблицы смертности.

    Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 д.е. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя 5 лет. В этом случае единовременный страховой взнос страхователя, чей возраст 45 лет (5l а45), должен составить:

5l a45 =N51 = 81515 = 8,68 д.е.

                                               D45     9391

Задача 4.

    По условию договора страховщик должен выплачивать по 1 д.е. в течение пяти ближайших лет в конце года. Возраст застрахованного 45 лет. Нетто-премия страхователя (??a45) равняется:

?5a45 = N46 – N51 = 120673 - 81515 = 4,17 д.е.

                                         D45                 9391

Задача 5.

    Размер нетто-премии при пожизненном страховании лиц в возрасте 45 лет (А45) равняется:

А45 = М45 = 3197  = 0,34 д.е.,

                                             D45      9391

где М45 и D45 - коммутационные числа.

    Если договор на случай смерти заключен в сумме 10000 д.е., то единовременная нетто-премия составит 3400 д.е.

Задача 6.

   Срок страхования 5 лет. Размер нетто-ставки при страховании на случай 5?смерти в течении указанного срока ( A43) равняется:

     ?5 A43 = A43 - 5l A43 = M43 - M48 = 3402 - 2877 = 0,04965 д.е.

                                                   D43              10574

Задача 7.

    Размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 д.е. страховой суммы для лиц в возрасте 43 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 5 лет определяется как:

А43 = 0,7383 + 0,04965??5Е43 +  = 0,78795 д.е.

   Расчет может производиться также по формуле:

А43? ?? = D48 + M43 - M48 = 7807 + 3402 - 2877 = 0,7879 д.е.

                                D43                              10574

Резервы премий

Задача 8.

    Если страхователю 43 года, а договор на дожитие заключен сроком на 5 лет, то через 3 года при единовременном взносе 369,15 д.е. и соответствующей ему страховой сумме 500 д.е., величина теоретического резерва премий (3V43) окажется равной:

3V43 = D48 = 7807 x 500 = 441,6 д.е.

                                          D46    8838

Задача 9.

    Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор смешанного страхования жизни сроком на 5 лет. Сумма договора установлена в размере 500 д.е. Через 3 года резерв премий (3V45) составит:

3V45 = M48 – M50 + D50 = 2877 - 2663 + 6872 x 500 = 453,82 д.е.

                              D48                          7807

Задача 10.

    Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор пожизненного страхования на случай смерти со страховой суммой 10000 д.е., то через 5 лет с момента заключения договора резерв премий (5V45) будет равен:

5V45 = 1 –a50 = 1 – 13,85 = 1,077,

                                                   а45          12,86

где а45 = N45 ; a50 =N50

                D45             D50

                             2) 10000 x 0,077 = 77 д.е.

Задача 11.

    Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор смешанного страхования жизни сроком на 5 лет в сумме 5000 д.е. с выплатой годовых премий. Через 3 года резерв взносов (3V45) по данному договору составит:

3V45 = 1 - N48 – N50  :  N50 = 1 – 1,938 = 0,15069

                                            D48          D50          12,86

                  2) 5000 x 0,15069 = 753,45 д.е.