1.1.5. Отношение математики к действительному миру

Пифагорейско-платоновский тезис содержит, по крайней мере, три компоненты: а) истинная реальность — это мир идей — вечных неизменных сущностей вне пространства и времени; б) реально существуют математи- веские сущности; в) два эти мира тождественны. Вторая компонента играет большую роль в дискуссиях о возможности или невозможности применения математики в науках о природе и обществе; поэтому остановимся на ней подробнее. Вот как характеризует эту доктрину В. В. Це- лишев: «Реализм как философия математики представляет собой доктрину, в соответствии с которой законы математики суть точное описание объектов некоторого рода. Крайняя форма реализма — платонизм — состоит в приписывании этим объектам внепространственных, внекон- цептуальных, безвременных характеристик, а также в утверждении полной познаваемости этих абстрактных объектов неэмпирическими средствами. Согласно платонизму, значимость математических формул состоит в том, что они правильно описывают логические взаимоотношения абстрактных объектов, подобно тому, как в эмпирических науках типа географии и зоологии описываются реки, горы, животные.

2. Реальный мир и мир математических сущностей изоморфны. Г. Вейль следующим образом формулирует эту точку зрения: «Представим себе сеть проводников постоянного тока, состоящую из отдельных однородных проволок, разветвляющихся в узловых точках, и назовем «точкой», произвольное распределение тока, которое сообщает каждой проволоке I силу тока В такой системе имеют силу законы эвклидова пространства с центром в О и такого количества измерений, сколько есть проволок в сети... Эта изоморфия вовсе не носит характера игры, ибо благодаря ей простые и важные геометрические понятия становятся в соответствие с простыми и важными, касающимися распределения тока в сети, понятиями физики. Например, основная задача — при заданной величине напряжений в каждой проволоке определить получающиеся в сети проводников распределение сил тока — тождественна с геометрической задачей перпендикулярного проектирования точки на заданную плоскость. Очевидно, что математика немедленно гарантирует однозначную разре- шимость этой задачи, а также дает в руки метод вычисления решения ее» [80, с. 55—56]. Следовательно, математические теоремы содержат сведения о реальном мире.

Радикальные выводы из этого следствия сделал в 1934 г. А. Эйнштейн: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов... Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность» [486, т.

Однако из изоморфизма физического и математического миров следует также, что можно использовать знания о физических процессах для обоснования математических теорем. Так, в примере Г. Вейля задачу построения перпендикуляра из заданной точки на заданную плоскость можно решить, замерив силу тока it в каждой проволоке I. Далее, если реальные системы и S2 изоморфны каждая математической системе S3, то они изоморфны и друг другу. Например, наблюдения за колебаниями пружины позволяют сделать вывод об изменении силы тока в электрическом контуре, а наблюдения за распределением сил тока — решить задачу об оптимальном распределении ресурсов в линейной модели экономики [155], [368]. Так как изоморфизм задает отношение эквивалентности, реальный мир + мир математики можно разбить на классы эквивалентности,— идея, лежащая в основе «общей теории систем» [42], [43] и ведущая в конечном счете к пифагорейско-платоновскому тезису, если считать мир математических сущностей реально, объективно существующим.

3. Математика — опытная наука, описывающая некоторую область реального мира. По словам Д. Стройка, «убеждение в вечной справедливости теоремы Пифагора или того, что 2x2 = 4, не основано на какой-либо априорной концепции. Равно его не может поколебать никакой умный математик, который по толстой книге с формулами заключает, что эти теоремы являются" лишь общим соглашением. Наше убеждение основано на том, что теоремы соответствуют свойствам действительного мира вне нашего сознания, которые можно проверить и которые поддаются проверке всех лиц с самого раннего возраста» [411, с. 277]. Убеждения, что математика, по крайней мере в своей основе, опытная наука, придерживался и В. Вундт [104], философ, по своим воззрениям далекий от материализма.

оо

г=0

Остается неясным также, какую именно часть реального мира отражают математические теоремы.

4. Мир математических сущностей — это мир чистых форм реального бытия. А. Александров в Философской энциклопедии определяет математику как науку «о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания... То общее, что есть в изоформных системах, и есть „чистая" форма. Соответственно (математика) рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений)... Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоятельных объектов, (математика) не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее... в ее абстрактности и точности заключается ее сила и ограниченность» [И, т. 3, с. 329—334].

Из этого можно сделать вывод о существовании двух типов наук о действительном мире — наук содержательных и наук формальных. Становится понятным вопрос, поставленный В. В. Потаповым: «Политическая экономия или экономическая математика?» [355, с. 81], некоторый смысл приобретает и ответ, который В. В. Потапов дает на свой вопрос: «...Теория ,,полезности" быстро начала превращаться в высокоабстрактную формально-логическую дисциплину. Математические символы заменили словесные определения категорий и описание законов, а методы формальной логики — методы социально-эконо- мической абстракции... Математика привлекательна для буржуазных апологетов тем, что для нее не важна природа изучаемых явлений» [355, с. 101].

5. Математика — это язык. Этот афоризм приписывается Г. Галилею. И. Ньютону; еще И. Кеплер писал: «Я... осмеливаюсь думать, что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии» [207. с. 112]. Если математика — это наука о формах, то, вообще говоря, закономерны вопросы: о формах чего? от содержания чего отвлечены эти формы? В предыдущем тезисе речь шла о формах действительного мира и, следовательно, об отвлечении от содержания действительного мира. Меньшим насилием над языком было бы говорить не о содержании мира, а о содержании высказываний о мире и о форме высказываний о мире. Но это уже другой тезис об отношении между миром математических сущностей и действительным миром.

Вопросы построения идеального языка науки были в центре внимания участников Венского кружка [93], [198], [310], [319], [452], [454], [478]. Можно говорить, что логические позитивисты математизировали язык науки, если приписывать именно им создание математической логики. «Экономическая мысль Запада,— пишет В. В. Потапов,— при активном участии американского монетариста М. Фридмана восприняла многие идеи логического позитивизма, широко используя методы дифференциального и интегрального анализа, линейной алгебры, программирования, теории игр и т. п.» [355, с. 16]. Таким образом, получается, что описывать действительный мир на языке линейной алгебры и дифференциальных уравнений — это значит воспринять идеи логического позитивизма. Даже самый нескромный участник Венского кружка не позволил бы себе сделать такого заявления. К тому же трудно понять, как О. Курно, У. Дже- вонс, JI. Вальрас, В. Парето, А. Маршалл и др. экономисты сумели воспринять идеи логического позитивизма задолго до того, как он появился, мы не говорим уж о тех математиках и физиках, которые создали и использовали для описания физического мира в XVII — XIX вв. дифференциальное и интегральное исчисление, теорию матриц и т. п. Вместе с тем JI. Витгенштейн, М. Шлик, Б. Рассел, О. Нейрат, Р. Карнап, а из экономистов Ф. Рамсей и др., причисляемые к логическим позитивистам философы внесли определенный вклад в развитие методологии науки, яо, конечно, не в связи с тем, что побудили кого-то использовать математический анализ и линейную алгебру. Ю. JI. Ершов следующим образом характеризует их реальный вклад: «Исторически применение формальных языков для уточнения ряда чисто философских проблем связано с деятельностью неопозитивистов. Следует заметить, что речь идет об опыте применения технических средств логики, а не о мировоззренческих проблемах. Некоторое недоверие отдельных советских философов к математической логике и ее использованию в философии в настоящее время преодолено, и обсуждение философских проблем математической логики стало довольно привычным явлением среди философов» [169, с. 86]. К числу мировоззренческих проблем, о которых упоминает Ю. JI. Ершов, относится основной тезис логического позитивизма об изоморфизме языка и мира [220], ведущий к их отождествлению или, по словам A. JI. Никифорова, к онтологизации структуры языка пропозициональной логики [319, с. 11]. Этот тезис (а точнее, так и нереали зованная программа) был сформулирован JL Витгенштейном следующим образом: «Предложение сообщает нам положение вещей, следовательно, оно должно быть существенно связано с этим положением вещей. И связь состоит именно в том, что оно является логическим образом этого положения вещей... Возможность предложения основывается на принципе замещения объектов знаками» [93, 4.03].

6. Математика — это грамматика (точнее — синтаксис) языка науки. Здесь основной упор делается на те функции, которые математика выполняет в развивающейся системе научных знаний. Прежде всего математика — это эффективное средство выдвижения гипотез, согласованных с наличным научным знанием. Пусть наличное научное знание — это некоторый научный закон, который в общем виде записывается следующим образом:

Vx(P(x) zd Q(x)). (1.1)

Здесь Р(х) и Q(x) обозначают то обстоятельство, что объект х имеет свойства Р и Q соответственно, У — квантор общности: Vx—всея, ZD—импликация: если ... то.

Выражение (1.1) означает, что все объекты, имеющие свойство Р, имеют свойство Q; например: свойство Р — быть товаром, свойство Q — иметь стоимость; тогда (1.1) — символическая запись утверждения: все товары имеют стоимость. Далее, математическая компонента знания — логическое 5 правило modus ponens: из истинности утверждений А и A zd В следует истинность И.

Пусть известно, что некоторый объект а имеет свойство Р. Тогда математика позволяет сделать вывод, что объект имеет свойство Q. Действительно: из истинности Р(а) и Р(а) zd Q(a) следует истинность Q(a).

Но что это значит: «следует истинность Q(a)»? А что, если после проверки окажется, что объект а не имеет свойства Q? Гарантирует ли правило modus ponens фактическую истинность Q(a) и если да, то в каком смысле?

Прежде всего отметим, что понятие истинности в логике и математике отличается от понятия истины в естественных науках [243], [284], [318], [419], [464]. По словам И. П. Меркулова, «в теоретической математике и логике понятие существования (и истинности) тождественно понятию выводимости из некоторого набора аксиом. Однако получаемые с помощью правил математического и логического выводов результаты... не влекут за собой никаких онтологических обязательств, т. е. непосредственно не свидетельствуют об объективном существовании и объективной истинности соответствующих сущностей, как это предполагается онтологией платоновского или наивно-материалистического типа» [284, с. 138— 139]. Таким образом, истины математики и логики хотя и непреложны, но всегда относительны. Так, утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно в геометрии Евклида и ложно в геометрии Лобачевского. В нашем примере утверждение, что Q(a) истинно относительно наличного знания (1.1), но может оказаться ложным относительно результатов наблюдений.

По сравнению с пифагорейско-платоновской концепцией, с концепцией изоморфизма действительного мира и математики и представлением о математике как о науке о формах действительного мира это выглядит скромно. Но зато — это твердая почва.

33

3 Р. Л. Гаяцкэс, М. К. Плану БОЕ

Как же обстоит дело с открытиями «на кончике пера»? А. Бувар и Д. Адаме на основе своих расчетов 6 выдвинули гипотезу о существовании планеты Нептун, согласованную с небесной механикой Ньютона—Лапласа, гипотезу, которая могла оказаться подтвержденной ре- альнъши наблюдениями или же неподтвержденной и которая оказалась верной. Аналогично П. Дирак не вычислил позитрон, а выдвинул гипотезу, согласованную с наличным знанием о физике микромира, о существовании «электрона с положительным зарядом», которая затем была подтверждена экспериментами.

7. Необходимо также остановиться на «бытовой» концепции математизации знания, по которой математические методы используются, если используются какие-то математические символы. В общем, действительно, в математизированных текстах используется определенная символика, хотя в тексте по математике (например, по топологии) можно не встретить ни одной формулы. Речь в данном случае идет о том, что Б. В. Бирюков называет изобразительной математикой [49]: бессодержательные, тривиальные утверждения облачаются в математические одежды. Примеров такой псевдоматематизации, когда нечеткие словесные определения заменяются «четкими» символами, которые затем либо не участвуют ни в каких математических преобразованиях, либо (что очень часто встречается в работах, использующих всякого рода экспертные оценки) подвергаются совершенно бессмысленным и неоправданным преобразованиям, можно, к сожалению, привести довольно много. И на эти примеры часто ссылаются в обоснование тезиса о невозможности, бесплодности, неэффективности применения математики в конкретной области науки. Мы согласны с Б. В. Бирюковым, который считает «изобразительную математику» болезнью роста, вызванной объективными трудностями математизации знания, но вред от этой псевдоматематизации, на наш взгляд, несколько преувеличен. Плохая работа плоха не потому, что в ней есть «изобразительная математика», а потому, что в ней ничего нет: ни мыслей, ни фактов. Можно ли улучшить плохую работу, убрав из нее «изобразительную математику»? Если нет, то выбрасывать псевдоформулы незачем — надо сразу выбросить всю работу. Если же да, то, видимо, в работе были допущены какие-то ошибки при формализации модели, теории и т. п., ошибки, которые в принципе исправимы. В этом случае неадекватную формализацию надо заменить адекватной, а не отказываться от попытки точно и математически ясно изложить материал.

Можно даже утверждать, что «изобразительная» математика приносит некоторую пользу: использование символов хотя бы и в минимальной степениг но дисциплинц- рует. Противоречия, бессмыслица, грубые ошибки, бессодержательность вылезают наружу, если, конечно, они имеются в тексте. Приведем пример.

В часто цитируемой в литературе по системному анализу книге С. Оптнера [38], которая не содержит никаких формул или символов, т. е. заведомо свободна от греха псевдоматематизации, читаем следующие определения терминов «система», «свойство», «связи», «параметры» и т. п.: «Объекты есть параметры системы; параметрами являются вход, процесс, выход, управление с помощью обратной связи и ограничение... Свойства есть качества параметров объектов. Качества это внешние проявления того способа (т. е. процесса. — ПрРім. пер.), с помощью которого получается знание об объекте» [328, с. 90]. На с. 105 читаем: «Параметрами системы являются объекты системы: вход, процесс, выход, обратная связь и ограничение». Подставляем определение параметров системы с. 105 в определение объектов на с. 90. Мы не будем вводить символизм, которого у С. Оптнера нет, однако результат подстановки определения термина будем отмечать круглыми скобками. Получаем: объекты есть (объекты системы). Еще интереснее получается, если подставить определения терминов в определение свойства. При этом надо знать: параметры системы и параметры объектов — это одно и то же или нет? Допустим, что нет. Тогда получаем: свойства есть внешнее проявление того способа, с помощью которого получается знание об (параметрах системы) параметров (параметров системы). Если же предположить, что параметры системы и параметры объекта одно и то же, то получаем такое четкое и ясное определение свойств: свойства есть внешнее проявление того способа, с помощью которого получается знание о параметрах параметров параметров. Минимальная символизация типа: А есть В, В есть В и т. п. позволила бы избежать всей этой бессмыслицы.

Приведем еще один пример пользы от «изобразительной» математики. На наш взгляд, почти все формулы, содержащиеся в интересной книге Р. Акофа и Ф. Эмери [9], на самом деле ничего не формулируют. Так, читаем: «Общее количество мотивации, сообщенной получателю yG:

3*

35 где Vj и Vj — удельные ценности результатов в конечном и начальном состояниях соответственно» [10, с. 159] (здесь / — индекс результата, / — 1 ~ п). Что такое удельные ценности? На с. 46 читаем: «Для удельной ценности того или другого результата, так же как и для эффективности, не существует одной общепринятой меры. Однако, к счастью, такого всеобщего согласия и не требуется для наших целей. Все же удобно по возможности пользоваться какой-нибудь стандартной мерой. Безразмерная величина удельной ценности представляет собой такой удобный стандарт. Если все ценности (vj), приписываемые различным результатам, положительны, то мера удельной ценности (Vj) для каждого результата может быть получена так: Vj = Vj/^Vj [10, с. 46]. А что такое ценность результата? Ну, это попятно. Понятно также, что ценности Vj могут быть векторами, могут иметь разные размерпости, могут измеряться не в количественной, а в порядковой шкале; могут, наконец, оказаться вообще неизмеримыми, так что по формулам для Vj и yG в общем случае ничего нельзя вычислить. Но что можно выиграть, убрав эти формулы? В литературном отношении книга [10], конечно, выиграет. Но, с другой стороны, у читателя может сложиться впечатление, что с вопросами мотивации все ясно и что решения этих вопросов настолько общеизвестны, что авторы не считают нужным распространяться на эту тему. Формула для yG сразу показывает, что дело обстоит иначе.

Таким образом, валидность математизации нельзя признать иррелевантной.