6.2. Методы построения прогноза динамики с учетом сезонных колебаний

Модель с аддитивной компонентой строится путем сложения составляющих. Уравнение временного ряда с учетом сезонных колебаний может быть представлено формулой

Уг = У< +Sl + Z» (6.1)

і де Si — сезонная компонента;

L — номер сезона.

Модель с аддитивной компонентой целесообразно использовать, если среднегодовые значения показателя остаются неизменными на протяжении длительного периода. Модель динамики среднегодовых или суммарных годовых данных близка к горизонтальной. В противном случае по мере удаления от момента разработки прогноза будет иозрастать его ошибка.

Модель с мультипликативной компонентой строится путем перемножения трендовой составляющей и индекса сезонности (IL) , соот- метственно, уравнение временного ряда может быть представлено формулой

Уг = УгЬ + ?г. (6.2)

Рассмотрим некоторые способы построения этих сезонных моделей для случаев, когда общая закономерность развития показателя описывается линейным трендом.

6.3. Построение прогнозной модели с аддитивной компонентой

Последовательность этапов. 1.

Построение и визуальный анализ графика сезонной волны. 2.

Расчет значений сезонной компоненты. Согласно данному способу расчета, сезонная компонента должна показать, на сколько единиц в среднем фактические значения в тот или иной сезон отличались от усредненных за период. Для выделения сезонной компоненты может быть использован метод скользящей средней. 3.

Десезонализация данных, т.е. вычитание сезонной компоненты из фактических значений. 4.

Расчет тренда на основе полученных десезонализированных данных. 5.

Оценка ошибки для оценки степени соответствия модели исходным данным. Расчет среднеквадратического отклонения. 6.

Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.

На основе информации о продаже мяса (табл. 6.1) в ретроспективном периоде требуется составить прогноз продаж на будущий период (III, IV кварталы текущего года).

Таблица 6.1

Объем продаж мяса, тыс. т Период продаж Объем продаж I квартал 2005 г. 1834 II квартал 2005 г. 1 641 III квартал 2005 г. 1 791 IV квартал 2005 г. 3 332 I квартал 2006 г. 1 658 II квартал 2006 г. 1 486 III квартал 2006 г. 1 617 IV квартал 2006 г. 3 045 I квартал 2007 г. 1 546 - II квартал 2007 г. 1404 1. Необходимо проанализировать совокупность исходных данных и установить, можно ли обнаружить тенденцию. С этой целью строится график сезонной волны, который предназначен для визуальной оценки характера внутригодовых колебаний. По горизонтали отмечают номер временного интервала внутри года, а по вертикали — фактические значения исследуемых характеристик. Если периоды их роста или снижения в одноименные периоды разных лет совпадают, то можно сделать вывод о сезонном характере внутригодовых колебаний. Если і лких совпадений нет, то колебания внутри года вызваны другими причинами и данная методика для их анализа и прогнозирования не может быть применена (рис. 6.1).

Объем продаж, тыс. т 3500-І

3000-

2500-

2000-

—?—2005 —а— 2006 —•— 2007

1500-

1000-

500-

0-І

I II НІ IV Период продаж

квартал квартал квартал квартал

Рис. 6.1. График сезонной волны

Как видно из графика сезонной волны, возможен убывающий тренд, содержащий сезонные колебания.

2. Расчет сезонной компоненты. Часто расчет сезонной компоненты осуществляют с использованием метода скользящей средней, который в нашем случае будет включать следующие процедуры.

2.1. Рассчитаем среднеквартальные объемы продаж для 2005 г. Среднеквартальный объем продаж в 2005 г. равен 2150 [(1834 + 1641 + і 1791 + 3332) : 4].

Полученное значение уже не содержит сезонной составляющей, поскольку представляет среднюю величину за год.

Таблица 6.2

Расчет скользящей средней Период продаж Алгоритм расчета Период скольжения Скользящая средняя за четыре квартала I квартал 2005 г. - - II квартал 2005 г. - - III квартал 2005 г. (1 834 + 1 641 + 1 791 + 3 332) 4 II- -III кварталы 2 150 IV квартал 2005 г. (1 641 + 1 791 + 3 332 + 1 658) 4 III —IV кварталы 2 106 I квартал 2006 г. (1 791 + 3 332 + 1 658 + 1 486) 4 IV —I кварталы 2 067 II квартал 2006 г. (3 332 + 1 658 + 1 486 + 1 617) 4 I- II кварталы 2 023 III квартал 2006 г. (1 658+ 1 486 +3 045): 4 II- -III кварталы 1952 IV квартал 2006 г. (1 486+ 1 617 + 3 045+ 1 546): А III —IV кварталы 1 924 I квартал 2007 г. (1 617 + 3 045+ 1 546+ 1 404): : 4 IV -I кварталы 1903 II квартал 2007 г. - - 2.2. Оценки значений тренда, полученные в результате расчета скользящих средних по четырем точкам, относятся к иным моментам времени, чем фактические данные. Например, первое значение 2150 тыс. т — это объем продаж за два последних месяца II квартала и два первых месяца III квартала. Нам же необходимы десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения. Их позволяет найти процедура центрирования, заключающаяся в расчете средней арифметической для каждой пары значений (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Расчет центрированной скользящей средней Период продаж Алгоритм расчета Центрированная скользящая средняя I квартал 2005 г. - - II квартал 2005 г. - - III квартал 2005 г. (2 150 + 2 106) : 2 2 128 Период продаж Алгоритм расчета Центрированная скользящая средняя IV квартал 2005 г. (2 106 + 2 067) 2 2 086 1 квартал 2006 г. (2 067 + 2 023) 2 2 045 11 квартал 2006 г. (2 023 + 1 952) 2 1987 III квартал 2006 г. (1 952 + 1 924) 2 1938 IV квартал 2006 г. (1 924 + 1 903) 2 1913 I квартал 2007 г.

2.3. Оценка сезонной компоненты может быть получена в результате сравнения центрированной скользящей средней и фактических значений временного ряда за каждый квартал (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Оценка сезонной компоненты Период продаж Фактический объем продаж Центрированная скользящая средняя Сезонная компонента I квартал 2005 г. 1834 - - II квартал 2005 г. 1641 - III квартал 2005 г. 1791 2 128 337 IV квартал 2005 г. 3 332 2 086 1 246 I квартал 2006 г. 1658 2 045 -387 II квартал 2006 г. 1486 1987 -501 III квартал 2006 г. 1 617 1938 -321 IV квартал 2006 г. 3 045 1913 1 132 I квартал 2007 г. 1546 - - II квартал 2007 г. 1404 - - 2.4. Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты. Для прогнозирования будущих тенденций нам необходимо оценить среднее влияние сезонного фактора для каждого сезона. С этой целью найдем среднее значение для каждого квартала. К сожалению, расчет по средней арифметической дает некоторую погрешность. Для устранения погрешности рассчитаем корректирующую составляющую, разделив сумму сезонных компонент на количество сезонов (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Расчет средних значений сезонной компоненты Квартал Сезонная компонента Скорректированная сезонная компонента I квартал -387 -380 II квартал -501 -494 III квартал -329 -322 IV квартал 1 189 1 196 Итого -28 0 Значения сезонной компоненты подтверждают наш вывод о наличии сезонных колебаний. В IV квартале объем продаж мяса значительно, на 1196 тыс. т, превышает среднеквартальный, а в остальные — ниже среднеквартального.

3. Десезонализация данных (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Расчет десезонализированных данных Период продаж Фактический объем продаж Сезонная компонента Десезопализиро- ванный показатель I квартал 2005 г. 1834 -380 2 214 II квартал 2005 г. 1 641 -494 2 135 III квартал 2005 г. 1 791 -0322 2 113 IV квартал 2005 г. 3 332 1 196 2 136 I квартал 2006 г. 1 658 -380 2 038 II квартал 2006 г. 1 486 -494 1 980 III квартал 2006 г. 1 617 -322 1 939 IV квартал 2006 г. 3 045 1 196 1849 I квартал 2007 г. 1546 -380 1 926 II квартал 2007 г. 1 404 -494 1898 Десезонализированные значения можно использовать для построения модели основного тренда. Если по этим данным построить диаграмму, то можно сделать вывод о существовании линейного тренда. Поэтому для расчета параметров тренда воспользуемся табличным редактором Excel, выбрав из функций статистические, а в ней — функцию ЛИНЕЙН. В результате расчета получим следующие параметры тренда: а = 2176, Ъ = -38.

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид: ^=2176 -38*.

4. Оценка отклонения теоретических значений от фактических может быть осуществлена вычитанием из фактических значений значения, рассчитанного по уравнению тренда и сезонной компоненты (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Расчет ошибки для модели с аддитивной компонентой Период Фактическое значение Сезонная компонента Трендовое значение Ошибка I квартал 2005 г. 1834 -380 2 138 76 II квартал 2005 г. 1641 -494 2 100 35 III квартал 2005 г. 1 791 -322 2 062 51 IV квартал 2005 г. 3 332 1 196 2 024 102 I квартал 2006 г. 1 658 -380 1 986 52 II квартал 2006 г. 1 486 -494 1 948 32 III квартал 2006 г. 1 617 -322 1 910 29 IV квартал 2006 г. 3 045 1 196 1 872 -23 I квартал 2007 г. 1 546 -380 1834 92 II квартал 2007 г. 1 404 -494 1 796 102 Далее может быть использована любая из известных функций для оценки суммарной ошибки. Оценим ошибку традиционными статистическими характеристиками — дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Дисперсия составит 223 049, а среднеквадратическое отклонение 472,28.

5. Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение объема продаж в III квартале 2007 г.

уи = 2176 - 38 • 11 -322= 1436 тыс. т.

Прогнозное значение объема продаж в IV квартале 2007 г. yV2 = 2176 - 38 12 + 1196 = 2906 тыс. т.